Officina dei Vettori › Parte 2 › La regola del parallelogramma
La stessa somma vista da un altro punto di vista: due vettori applicati nello stesso punto e la diagonale che li riassume.
Il metodo punta-coda nasce dall'idea di spostamento: prima uno, poi l'altro. Ma molte situazioni fisiche non sono così. Quando due persone tirano lo stesso carrello con due funi, le due forze non agiscono una dopo l'altra: agiscono insieme, nello stesso punto e nello stesso istante. Disegnarle in fila, una attaccata alla punta dell'altra, è corretto dal punto di vista matematico ma non somiglia per niente a quello che succede.
La regola del parallelogramma risolve proprio questo: tiene entrambi i vettori applicati nel loro punto e ricava la risultante con una costruzione geometrica.
Si disegnano i due vettori con la coda nello stesso punto. Dalla punta di ciascuno si traccia la parallela all'altro: le due parallele si incontrano e si chiude un parallelogramma. La risultante è la diagonale che parte dal punto di applicazione comune.
La risultante è la diagonale uscente dal punto di applicazione comune.
Un parallelogramma ha due diagonali. Quella che rappresenta la somma è sempre quella che parte da O, il punto in cui sono applicati i vettori. L'altra diagonale, quella che unisce le due punte, non è la somma: rappresenta la differenza, come vedremo alla fine della lezione.
Guarda di nuovo la figura e segui il contorno: da O lungo v1 fino alla sua punta, poi lungo il lato tratteggiato fino al vertice opposto. Quel lato tratteggiato è parallelo a v2 e lungo quanto v2: è v2 traslato. Hai appena percorso la costruzione punta-coda.
Il triangolo inferiore del parallelogramma, insomma, è esattamente il triangolo del punta-coda; il triangolo superiore è quello che si ottiene invertendo l'ordine dei due vettori. Il parallelogramma contiene entrambe le costruzioni, ed è il motivo per cui la commutatività della somma, qui, si vede in un colpo solo.
Sono la stessa regola, quindi scegli in base al problema. Il parallelogramma è più chiaro con due vettori applicati nello stesso punto, come due forze su un corpo: fa vedere la situazione fisica per quello che è. Il punta-coda è più rapido quando i vettori sono tre o più, o quando rappresentano cose che avvengono in sequenza, come spostamenti successivi.
Finora abbiamo misurato la risultante con il righello. C'è però un caso in cui si calcola esattamente, senza disegnare nulla: quello in cui i due vettori formano un angolo retto. Il parallelogramma diventa un rettangolo e la diagonale è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo.
Con vettori perpendicolari la risultante si calcola: √(8² + 6²) = 10.
Nell'esempio: R = √(64 + 36) = √100 = 10. Nota che 10 è parecchio meno di 14, che sarebbe la somma dei moduli. La differenza è il «prezzo» dell'angolo: più i due vettori divergono, meno collaborano.
Tieni fissi i moduli e fai variare solo l'angolo α fra i due vettori. La risultante scorre con continuità fra i due estremi che già conosci. Con v1 = 8 e v2 = 6:
| Angolo α | Risultante | Che aspetto ha il parallelogramma |
|---|---|---|
| 0° | 14 | schiacciato su una retta: vettori concordi |
| 60° | circa 12,2 | parallelogramma stretto |
| 90° | 10 | rettangolo: vale Pitagora |
| 120° | circa 7,2 | parallelogramma largo |
| 180° | 2 | schiacciato dall'altra parte: vettori discordi |
La tabella conferma la disuguaglianza della lezione precedente: il modulo della risultante non può mai uscire dall'intervallo fra 2 e 14. E mostra una cosa che vale la pena portarsi dietro: la risultante diminuisce al crescere dell'angolo. Due forze che tirano quasi nella stessa direzione sono molto più efficaci di due forze che divergono, a parità di intensità.
Due rimorchiatori tirano una chiatta con 3000 N e 4000 N. Se i cavi sono perpendicolari, la risultante vale √(3000² + 4000²) = 5000 N, non 7000 N. Per avvicinarsi ai 7000 N i piloti devono stringere l'angolo fra i cavi: è il motivo per cui, quando serve il massimo tiro, si manovra per allineare i rimorchiatori.
Torniamo alla diagonale che avevamo lasciato da parte. Per costruire v1 − v2 si può procedere come sempre, sommando l'opposto: si ribalta v2 e si applica la regola. Ma c'è una scorciatoia grafica: la differenza è il vettore che unisce la punta di v2 alla punta di v1, cioè la seconda diagonale del parallelogramma.
Una diagonale dà la somma, l'altra la differenza. Il verso della seconda dice quale differenza stai facendo.
Il verso è la parte che si sbaglia più spesso: la freccia va verso il minuendo, cioè verso la punta del vettore che scrivi per primo. Se la disegni nell'altro verso ottieni v2 − v1, che è il vettore opposto. Nel dubbio, torna al metodo sicuro: ribalta il secondo vettore e somma.
Nella simulazione Sfida del parallelogramma puoi variare l'angolo fra due vettori e osservare la diagonale allungarsi e accorciarsi. Fai un giro completo da 0° a 180° tenendo fissi i moduli e confronta i valori che leggi con quelli della tabella qui sopra.
Quella che parte dal punto di applicazione comune dei due vettori. L'altra, che unisce le due punte, rappresenta la differenza.
R = √(25 + 144) = √169 = 13. È la terna 5-12-13, che conviene riconoscere a memoria come la 3-4-5.
Cala. Il massimo si ha a 0°, con i vettori concordi, e il minimo a 180°, con i vettori discordi. Fra i due estremi la variazione è continua.
No. Quella formula discende dal fatto che il parallelogramma diventa un rettangolo, il che accade solo a 90°. Con 70° devi ricorrere alla costruzione grafica, oppure al metodo delle componenti che vedrai fra due lezioni.
È la stessa diagonale percorsa nel verso opposto: va dalla punta di v1 alla punta di v2. Stesso modulo, stessa direzione, verso contrario, perché i due risultati sono uno l'opposto dell'altro.