Officina dei Vettori › Parte 2 › Il metodo punta-coda
La costruzione grafica che somma due vettori qualunque, e che si estende a quanti ne vuoi.
Nella lezione precedente i vettori stavano tutti sulla stessa retta e la somma si riduceva a un conto con i segni. Ora togliamo quella condizione: due spostamenti in direzioni diverse, due forze applicate da due punti diversi, due velocità che si compongono. Qui l'asse orientato non basta più, perché non esiste un'unica retta su cui proiettare tutto.
Serve un metodo nuovo, e il più naturale nasce dall'idea di spostamento. Se cammini 40 metri verso est e poi 30 metri verso nord, dove sei finito rispetto al punto di partenza? La risposta è una sola freccia, quella che unisce il punto di partenza al punto di arrivo. Questa freccia è esattamente la somma dei due spostamenti.
Il metodo traduce quell'idea in tre passaggi:
La risultante chiude il triangolo: parte dalla coda del primo e arriva alla punta del secondo.
La costruzione è lecita grazie a una proprietà che abbiamo stabilito nella prima lezione: un vettore si può traslare senza diventare un altro vettore. Il v2 traslato è identico all'originale, perché conserva modulo, direzione e verso. Sposti soltanto il punto in cui lo disegni.
Il primo: ruotare il secondo vettore per farlo combaciare. La traslazione mantiene l'inclinazione, quindi il vettore traslato deve restare parallelo all'originale. Il secondo: tracciare la risultante dalla punta del primo alla punta del secondo. La risultante parte sempre dalla coda del primo: il triangolo va chiuso, non percorso.
Che cosa succede se, invece di traslare v2 sulla punta di v1, fai il contrario? Ottieni un triangolo diverso, ribaltato, ma la risultante è la stessa freccia. La somma vettoriale è commutativa, esattamente come la somma fra numeri.
Torna utile il significato fisico: se cammini prima verso est e poi verso nord, oppure prima verso nord e poi verso est, arrivi nello stesso punto. Il tragitto cambia, lo spostamento complessivo no. I due triangoli messi insieme, del resto, formano proprio un parallelogramma, ed è il legame con la regola che vedrai nella prossima lezione.
Qui sta il vero vantaggio del metodo. Con tre, quattro o dieci vettori non serve nulla di nuovo: si continua ad agganciare ciascun vettore alla punta del precedente, e alla fine si unisce la coda del primo alla punta dell'ultimo. La figura che si ottiene si chiama poligono dei vettori.
Il poligono dei vettori: si aggancia ciascuno al precedente e si chiude dalla prima coda all'ultima punta.
C'è un caso che vale la pena riconoscere a colpo d'occhio: se agganciando tutti i vettori il poligono si chiude da solo, cioè l'ultima punta cade esattamente sulla prima coda, allora la risultante è il vettore nullo e il sistema è in equilibrio. È il criterio grafico dell'equilibrio, e nelle costruzioni si vede prima di qualsiasi calcolo.
Guardando il triangolo della costruzione si ricava una limitazione che vale sempre e che conviene tenere a mente per controllare i risultati. In un triangolo ogni lato è minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza. Applicato alla risultante:
I vettori paralleli, allora, non erano un argomento a parte: erano i due casi limite del punta-coda, quelli in cui il triangolo si appiattisce su una retta. Con un angolo qualunque fra i due vettori, la risultante sta da qualche parte in mezzo.
Riprendiamo la passeggiata dell'inizio. I due spostamenti sono perpendicolari, quindi il triangolo è rettangolo e la risultante è l'ipotenusa: R = √(40² + 30²) = 50 m. Hai camminato per 70 metri, ma ti trovi a 50 metri dal punto di partenza. Il controllo torna: 50 sta fra 10 e 70, come previsto dalla disuguaglianza.
Nella simulazione Sfida punta coda puoi costruire la catena dei vettori e vedere comparire la risultante. Prova a invertire l'ordine dei due vettori: il triangolo si ribalta ma la freccia rossa resta identica, ed è la commutatività vista con gli occhi.
Parte dalla coda del primo vettore e arriva alla punta dell'ultimo. Chiude il triangolo, non lo percorre: se la disegni da punta a punta ottieni tutt'altro vettore, che in realtà rappresenta la differenza.
No. Il minimo possibile è 9 − 4 = 5, che si ottiene solo se sono discordi. Qualunque angolo dà un valore fra 5 e 13. Un risultato di 3 segnala un errore nel disegno o nel conto.
Perché un vettore è individuato solo da modulo, direzione e verso: traslandolo non cambia nessuno dei tre, quindi resta lo stesso vettore. Quello che non si può fare è ruotarlo o cambiarne la lunghezza.
Zero. L'ultima punta coincide con la prima coda, quindi la freccia che le unisce ha lunghezza nulla. È la condizione di equilibrio riconosciuta graficamente, senza calcoli.
Lo spostamento risultante è nullo, perché il poligono si chiude: sei tornato al punto di partenza. Lo spazio percorso è 10 km. È di nuovo la differenza fra grandezza vettoriale e grandezza scalare della prima lezione.