Officina dei Vettori › Parte 3 › Seno e coseno
Gli strumenti che trasformano un angolo in un numero, e che permettono di calcolare quello che finora abbiamo solo disegnato.
Fino a qui abbiamo sommato vettori con il righello e il goniometro. Il metodo funziona, ma ha due limiti seri: la precisione dipende dalla mano, e con angoli qualunque non esiste una formula che dia il risultato esatto. L'unica eccezione era il caso perpendicolare, dove Pitagora ci ha salvato.
Il passaggio decisivo consiste nello smettere di misurare le frecce e cominciare a proiettarle sugli assi. Ma per proiettare serve saper rispondere a una domanda precisa: dato un vettore lungo 10 unità inclinato di 30°, quanto è lungo il pezzo orizzontale? La risposta viene da seno e coseno. Per questo li affrontiamo adesso, un attimo prima del metodo delle componenti.
Prendi un triangolo rettangolo e fissa uno dei due angoli acuti, chiamiamolo θ. I tre lati hanno nomi precisi rispetto a quell'angolo: l'ipotenusa è il lato opposto all'angolo retto, il cateto adiacente è quello che forma l'angolo θ insieme all'ipotenusa, il cateto opposto è quello che sta di fronte a θ.
I nomi dei lati dipendono da quale angolo stai guardando: cambiando angolo, opposto e adiacente si scambiano.
Ora il fatto sorprendente, quello su cui si regge tutta la trigonometria. Se disegni un secondo triangolo rettangolo con lo stesso angolo θ ma grande il doppio, tutti i lati raddoppiano. E allora il rapporto fra due lati resta identico, perché numeratore e denominatore sono raddoppiati entrambi. Quel rapporto, quindi, non dipende dalle dimensioni del triangolo: dipende solo dall'angolo.
Tanto vale dargli un nome. I due rapporti che ci servono sono:
Nei problemi di fisica non parti quasi mai dai lati per trovare l'angolo: parti dall'angolo e dal modulo del vettore, e vuoi i cateti. Basta rigirare le due definizioni.
Un vettore di modulo 10 è inclinato di 30° sull'orizzontale. Il pezzo orizzontale misura 10 · cos30° = 10 · 0,87 = 8,7; il pezzo verticale misura 10 · sen30° = 10 · 0,50 = 5. Controllo con Pitagora: √(8,7² + 5²) = √(75,7 + 25) ≈ 10. Torna, ed è il controllo da fare ogni volta.
È la regola più pericolosa che si possa memorizzare, perché vale solo quando l'angolo è misurato dall'orizzontale. Se il testo ti dà l'inclinazione rispetto alla verticale, le due funzioni si scambiano di posto. La regola sicura è l'unica che si basa sul disegno: il coseno va con il lato adiacente all'angolo, il seno con quello opposto. Guarda dov'è l'angolo, poi decidi.
Cinque angoli compaiono così spesso che conviene averli in testa. Non sono valori da imparare a forza: guardando la tabella per un minuto si notano le regolarità che li rendono facili da ricordare.
| θ | senθ | cosθ | Come appare il vettore |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | tutto orizzontale, niente in verticale |
| 30° | 0,50 | 0,87 | prevale nettamente l'orizzontale |
| 45° | 0,71 | 0,71 | i due pezzi sono uguali |
| 60° | 0,87 | 0,50 | prevale nettamente la verticale |
| 90° | 1 | 0 | tutto verticale, niente in orizzontale |
Tre osservazioni che valgono più della tabella stessa. Primo: scendendo, il seno cresce e il coseno cala, e i valori sono gli stessi letti in ordine inverso. Secondo: a 45° le due funzioni coincidono, ed è l'unico angolo acuto in cui succede. Terzo, e più importante:
Questa disuguaglianza è il tuo controllo di sicurezza. Moltiplicare il modulo di un vettore per un seno o per un coseno dà sempre un risultato minore del modulo di partenza. Se scomponendo un vettore di 100 N ottieni una componente di 120 N, hai sbagliato qualcosa: non serve nemmeno rifare il conto per saperlo.
C'è un modo molto efficace di vedere seno e coseno tutti insieme. Disegna una circonferenza di raggio 1 e un raggio inclinato di θ rispetto all'asse orizzontale. Il triangolo rettangolo che si forma ha ipotenusa 1, quindi le formule si semplificano: il cateto orizzontale vale esattamente cosθ e quello verticale esattamente senθ.
Su una circonferenza di raggio 1, coseno e seno sono direttamente le due proiezioni del raggio.
Immagina ora di far ruotare il raggio da 0° verso 90°. La proiezione orizzontale si accorcia da 1 fino a 0, quella verticale si allunga da 0 fino a 1: è proprio l'andamento della tabella, visto muoversi. E si capisce anche perché nessuna delle due possa superare 1: sono pezzi di un raggio lungo 1.
Seno e coseno servono a passare dall'angolo ai lati. Per il percorso contrario, cioè per ricavare l'angolo conoscendo i due cateti, si usa una terza funzione, la tangente.
La userai insieme a Pitagora ogni volta che, avendo le due proiezioni di un vettore, vorrai tornare al vettore stesso: Pitagora dà il modulo, la tangente dà la direzione. È l'operazione che chiude il metodo delle componenti, e la incontrerai nella prossima lezione.
Nella simulazione Seno e coseno puoi far ruotare il raggio e vedere le due proiezioni cambiare insieme all'angolo. Fermati sui cinque valori notevoli e confronta i numeri che leggi con quelli della tabella: è il modo più rapido per fissarli senza impararli a memoria.
20 · cos60° = 20 · 0,50 = 10. Quella verticale vale 20 · sen60° = 20 · 0,87 = 17,4. A 60° il vettore «punta» soprattutto verso l'alto, e i numeri lo confermano.
No. Il coseno di un angolo acuto è il rapporto fra un cateto e l'ipotenusa, e il cateto è sempre più corto: il rapporto non può superare 1. Un valore maggiore di 1 segnala sempre un errore di calcolo.
Sì, identico. Tutti i lati sono tre volte più lunghi, quindi il rapporto opposto/ipotenusa non cambia. È esattamente il motivo per cui ha senso definire seno e coseno come funzioni del solo angolo.
Perché a 45° il triangolo rettangolo è isoscele: i due cateti hanno la stessa lunghezza, quindi sen45° = cos45° = 0,71. Il vettore «si divide a metà» fra le due direzioni.
Modulo: √(36 + 36) = √72 ≈ 8,5. Angolo: tanθ = 6/6 = 1, quindi θ = 45°. Nota che 8,5 è minore di 12, la somma dei due numeri: le componenti non si sommano fra loro.