Officina dei Vettori › Parte 3 › Il metodo delle componenti
Come smettere di disegnare: si proietta tutto sugli assi, si somma con l'algebra e si ricompone il risultato.
Le costruzioni grafiche hanno un difetto che si fa sentire appena i vettori diventano tre o quattro: la precisione. Ogni freccia tracciata a mano porta un piccolo errore, e gli errori si accumulano lungo il poligono. Serve un metodo che dia numeri esatti.
L'idea è semplice e potente. Un vettore obliquo è scomodo perché agisce «un po' in orizzontale e un po' in verticale». Proviamo allora a sostituirlo con due vettori comodi, uno lungo l'asse x e uno lungo l'asse y, scelti in modo che la loro somma sia esattamente il vettore di partenza. Questi due vettori si chiamano componenti cartesiane.
Il guadagno è enorme: tutti i vettori del problema, per quanto orientati diversamente, si riducono a numeri su due sole rette. E su una retta, come sappiamo dalla seconda lezione, sommare significa sommare con i segni.
Si fissano due assi perpendicolari e si disegna il vettore con la coda nell'origine. Dalla punta si tracciano le perpendicolari ai due assi: i segmenti che si leggono sugli assi sono le componenti, vx e vy.
Il vettore e le sue due componenti formano un triangolo rettangolo: l'ipotenusa è il vettore.
Il triangolo che vedi è rettangolo, il vettore ne è l'ipotenusa e le componenti sono i cateti. A questo punto entra in gioco la lezione precedente: vx è il cateto adiacente all'angolo θ, vy quello opposto.
Le componenti non sono lunghezze, sono numeri con segno: il segno dice da che parte dell'asse punta la componente. Positivo verso destra e verso l'alto, negativo verso sinistra e verso il basso. È l'asse orientato della seconda lezione, applicato due volte.
Il segno di ciascuna componente dipende solo dal verso in cui punta lungo il proprio asse.
Non affidarti alla calcolatrice per i segni finché non padroneggi gli angoli maggiori di 90°. Il metodo più sicuro è questo: calcola il valore assoluto della componente con seno e coseno dell'angolo acuto che il vettore forma con l'asse x, poi guarda il disegno e metti il segno a mano. Un vettore che punta in basso a sinistra avrà entrambe le componenti negative, e nessuna formula può dirtelo meglio dei tuoi occhi.
Ecco il cuore del metodo. Poiché tutte le componenti x stanno sulla stessa retta, e così tutte le componenti y, la somma si spezza in due somme algebriche indipendenti.
Il procedimento completo è sempre lo stesso, qualunque sia il numero dei vettori:
L'ultimo passo è il percorso inverso della scomposizione. Avendo le due componenti della risultante, il modulo viene da Pitagora e la direzione dalla tangente.
L'angolo che ottieni dalla calcolatrice va sempre confrontato con il disegno: i segni di Rx e Ry dicono in quale quadrante si trova la risultante, e la calcolatrice da sola non lo sa.
Su un anello agiscono: F1 = 50 N a 0°, F2 = 40 N a 90°, F3 = 30 N a 180°.
Scomposizione. F1: x = 50 · cos0° = 50, y = 0. F2: x = 0, y = 40. F3: x = −30, y = 0.
Somme. Rx = 50 + 0 − 30 = 20 N; Ry = 0 + 40 + 0 = 40 N.
Ricomposizione. R = √(400 + 1600) = √2000 ≈ 44,7 N; tanθ = 40/20 = 2, da cui θ ≈ 63°. Entrambe le componenti sono positive, quindi la risultante sta nel primo quadrante: 44,7 N a circa 63° sopra l'orizzontale.
Gli assi li scegli tu, e una scelta accorta può dimezzare il lavoro. La regola pratica: orienta gli assi in modo che il maggior numero possibile di vettori ci cada sopra. Ogni vettore già allineato con un asse ha una componente nulla e non va scomposto.
Nell'esempio dell'anello si vede bene: due forze su tre stavano già sugli assi, e la scomposizione è costata zero fatica. Nei problemi sul piano inclinato, che incontrerai studiando le forze, conviene invece inclinare gli assi lungo il piano: il moto avviene in quella direzione e i conti si semplificano.
Quando hai scomposto un vettore, nelle somme entrano vx e vy, non v. Lasciare anche il vettore originale significa contarlo due volte, ed è l'errore che fa saltare l'intero esercizio. Nel disegno, conviene barrare la freccia obliqua appena hai tracciato le due componenti.
Nella simulazione Somma per componenti puoi comporre vettori e vedere le proiezioni sugli assi aggiornarsi. Prima di premere il pulsante, calcola Rx e Ry su un foglio: la simulazione serve a confermare il conto, non a evitarlo.
vx = 100 · cos30° = 87; vy = 100 · sen30° = 50. Controllo: √(87² + 50²) ≈ 100. Entrambe sono minori di 100, come devono essere.
Entrambe negative: vx < 0 perché punta verso sinistra, vy < 0 perché punta verso il basso. È il terzo quadrante.
Che la risultante è il vettore nullo e il sistema è in equilibrio. Attenzione però: servono entrambe le condizioni. Se solo Rx fosse nulla, il corpo sarebbe in equilibrio in orizzontale ma accelererebbe in verticale.
Perché dà risultati esatti e non peggiora all'aumentare del numero dei vettori: con dieci vettori si fanno due somme algebriche invece di dieci costruzioni successive, ciascuna con il proprio errore di disegno.
Zero, perché l'angolo con l'asse x è 90° e cos90° = 0. Un vettore già allineato con un asse non va scomposto: ha una sola componente, uguale a sé stesso.