Officina dei Vettori › Parte 2 › La somma di vettori paralleli
Il caso più semplice della somma vettoriale: quando i vettori giacciono sulla stessa retta o su rette parallele.
Su un corpo agiscono spesso due o più grandezze vettoriali dello stesso tipo: due forze che spingono lo stesso carrello, due spostamenti compiuti uno dopo l'altro. Sommare quei vettori significa trovare l'unico vettore che produce lo stesso effetto di tutti insieme. Questo vettore si chiama risultante e si indica di solito con R.
Il punto delicato l'hai già intuito nella lezione precedente: i vettori non si sommano come i numeri, perché portano con sé direzione e verso. Cominciamo però dal caso in cui il problema si semplifica al massimo, cioè quando i vettori sono paralleli: giacciono sulla stessa retta, oppure su rette parallele. Qui le direzioni coincidono e resta da badare solo al verso.
Due vettori paralleli si dicono concordi quando hanno lo stesso verso. In questo caso collaborano, e il risultato è quello che ti aspetteresti: la risultante ha la stessa direzione e lo stesso verso, e il suo modulo è la somma dei moduli.
Vettori concordi: i moduli si sommano, verso e direzione restano quelli di partenza.
Due vettori paralleli si dicono discordi quando hanno versi opposti. Qui uno lavora contro l'altro: il modulo della risultante è la differenza dei moduli, e il verso è quello del vettore più intenso.
Vettori discordi: i moduli si sottraggono e vince il verso del vettore maggiore.
Nella formula dei discordi devi mettere per primo il modulo maggiore, altrimenti ottieni un numero negativo, e un modulo negativo non esiste. Se ti viene R = −20, non hai trovato un vettore strano: hai solo scambiato l'ordine. Il modulo è 20 e il verso è quello dell'altro vettore.
Ricordare due formule diverse è scomodo, e diventa impossibile quando i vettori sono cinque o sei. C'è un modo molto più robusto, ed è quello che userai per tutto il resto della fisica.
Si traccia un asse orientato lungo la direzione comune e si sceglie liberamente quale verso chiamare positivo. Poi si scrive ogni vettore come un numero con segno: più se concorde con l'asse, meno se discorde. A quel punto si sommano i numeri, con le regole dell'algebra.
Con l'asse orientato la somma vettoriale diventa una somma algebrica.
Il segno del risultato dice il verso: positivo significa concorde con l'asse, negativo significa discorde. Il valore assoluto è il modulo. Due avvertenze utili: la scelta del verso positivo è libera, ma una volta fatta va tenuta per tutto il problema; e se cambi la scelta iniziale il risultato cambia segno, non fisicamente, perché il vettore risultante resta lo stesso, descritto rispetto a un asse diverso.
A destra tirano due ragazzi con 300 N e 250 N, a sinistra tre ragazzi con 200 N, 180 N e 210 N. Prendendo come positivo il verso verso destra: R = +300 + 250 − 200 − 180 − 210 = −40 N. Il segno meno dice che la fune si sposta verso sinistra, con una risultante di 40 N. Con cinque vettori le due regole separate non sarebbero servite a nulla: l'asse orientato sì.
Sottrarre un vettore non richiede una regola nuova. Basta ricordare che cosa avevamo chiamato vettore opposto: sottrarre v2 equivale a sommare il suo opposto.
Quindi la differenza di due vettori concordi si comporta come la somma di due discordi, e viceversa. Con l'asse orientato non devi nemmeno pensarci: cambi il segno del secondo numero e sommi.
Se due vettori paralleli sono discordi e hanno lo stesso modulo, la loro somma dà il vettore nullo. In simboli, R = 0.
È il caso più importante di tutti, perché descrive l'equilibrio. Due forze uguali e opposte applicate allo stesso corpo lo lasciano nello stato in cui si trova. Attenzione però a non leggere quel risultato come «non succede niente»: le due forze continuano ad agire, semplicemente il loro effetto complessivo si annulla. La fune del tiro alla fune resta ferma, ma è ben tesa.
Nella simulazione Sfida vettori paralleli puoi comporre vettori sulla stessa retta e confrontare la tua previsione con la risultante disegnata. Prova prima a calcolarla con l'asse orientato su un foglio, poi verifica: è il modo giusto di usare la simulazione, che serve a controllare il ragionamento, non a sostituirlo.
Solo due: 19 se sono concordi, 5 se sono discordi. Essendo paralleli non esistono casi intermedi. I valori intermedi compariranno nella prossima lezione, quando i vettori formeranno un angolo.
Che la risultante ha modulo 15 ed è diretta nel verso opposto a quello che avevi scelto come positivo. Il segno meno non è un errore e non è un modulo negativo: è l'informazione sul verso.
Sì: 8 − 5 + 3 − 6 = 0. La risultante è il vettore nullo, quindi lo stato di moto del corpo non cambia. Nota che non serve confrontare i vettori a due a due: basta la somma algebrica.
Si somma l'opposto di b, che è discorde rispetto ad a: R = 20 − 35 = −15. Il risultato ha modulo 15 e verso opposto a quello di a.
No. Cambiano tutti i segni, compreso quello della risultante, ma il vettore risultante è lo stesso: stesso modulo, stessa direzione, stesso verso. Cambia solo il sistema di riferimento con cui lo descrivi.