Officina dei Vettori › Parte 1 › Le proprietà dei vettori
Perché certe grandezze non si lasciano descrivere da un numero, e quali sono i tre elementi che individuano un vettore.
Se ti dico che la temperatura dell'aula è 21 °C, l'informazione è completa: non c'è altro da aggiungere. Se ti dico che la massa di un carrello è 400 g, idem. Grandezze come queste si chiamano scalari: per definirle basta un numero con la sua unità di misura.
Prova ora con un'altra frase: «il carrello si è spostato di 3 metri». Qui qualcosa manca, e si sente. Tre metri in che direzione? Verso dove? Senza quelle informazioni non sai dire dove sia finito il carrello. Lo spostamento è una grandezza vettoriale: per definirla servono un numero e un'indicazione di direzione e verso.
| Grandezze scalari | Grandezze vettoriali |
|---|---|
| massa, tempo, temperatura | spostamento, velocità, accelerazione |
| lunghezza, area, volume | forza, quantità di moto |
| energia, lavoro, densità | campo elettrico, campo magnetico |
| Bastano numero e unità di misura | Servono anche direzione e verso |
Lo spazio percorso è scalare, lo spostamento è vettoriale. Se fai un giro completo di pista torni al punto di partenza: hai percorso 400 metri di spazio, ma il tuo spostamento è nullo. Sono due grandezze diverse, non due nomi per la stessa cosa.
Il vettore è l'oggetto matematico costruito apposta per rappresentare queste grandezze. Si disegna come una freccia, e proprio la freccia porta con sé tutte e tre le informazioni che servono.
Una sola freccia porta tre informazioni: quanto, lungo quale retta, in che verso.
Nel linguaggio comune si usano come se fossero la stessa cosa: «vado in direzione del mare». In fisica no. Una direzione ammette sempre due versi opposti: la direzione verticale contiene sia «verso l'alto» sia «verso il basso». Due vettori che puntano in senso contrario hanno la stessa direzione e versi opposti.
C'è poi un quarto dato che in fisica conta spesso, anche se non fa parte della definizione matematica di vettore: il punto di applicazione, cioè il punto in cui la grandezza agisce. Per una forza fa tutta la differenza del mondo spingere una porta vicino ai cardini o vicino alla maniglia, pur con la stessa intensità, la stessa direzione e lo stesso verso.
Poiché il vettore e il suo modulo sono due cose diverse, si scrivono in modo diverso. Il vettore per intero si indica con la lettera in grassetto, oppure con una freccina sopra quando si scrive a mano. Il solo modulo si indica con la stessa lettera in tondo, oppure fra barre verticali.
Sembra una pignoleria da libro di testo, e invece è il punto in cui si generano metà degli errori. Scrivere «v = 12 m/s» è sbagliato: a sinistra c'è un vettore, a destra un numero. Si scrive v = 12 m/s, oppure si descrive il vettore per intero: 12 m/s diretti verso est.
Per rappresentare un vettore su un foglio serve una convenzione che leghi i centimetri del disegno alle unità della grandezza. Si sceglie una scala e la si dichiara, esattamente come sulle cartine geografiche.
Con la stessa scala, un vettore di modulo doppio si disegna lungo il doppio.
La regola pratica è sempre la stessa: lunghezza del disegno = modulo diviso la scala. Con la scala del disegno, una forza di 35 N si traccerebbe lunga tre quadretti e mezzo. E naturalmente vale anche il percorso inverso: misurando una freccia e moltiplicando per la scala si ricava il modulo, ed è così che leggerai i risultati delle costruzioni grafiche nelle prossime lezioni.
Due errori frequenti: non scrivere la scala accanto al disegno, e cambiarla a metà strada perché un vettore «non ci stava nel foglio». In una costruzione grafica tutti i vettori devono essere nella stessa scala, altrimenti il risultato che misuri non significa nulla.
Ecco una proprietà che sorprende sempre: due frecce disegnate in punti lontani del foglio possono rappresentare lo stesso vettore. Perché due vettori siano uguali servono e bastano tre condizioni: stesso modulo, stessa direzione, stesso verso. Dove sono disegnati non conta.
Un vettore si può traslare liberamente: resta lo stesso vettore.
La conseguenza è importante e la userai continuamente: un vettore si può spostare parallelamente a sé stesso senza cambiarlo. Quello che non puoi fare è ruotarlo o allungarlo: cambieresti la direzione o il modulo, cioè otterresti un altro vettore. Su questa libertà di traslazione si regge il metodo punta-coda, che incontrerai fra due lezioni.
Due casi particolari meritano un nome. Il vettore opposto di v, indicato con −v, ha lo stesso modulo e la stessa direzione, ma verso contrario. È la freccia rossa della figura precedente.
Il vettore nullo, scritto 0, ha modulo zero. Si riduce a un punto, quindi direzione e verso non sono definiti: non ha senso chiedersi dove punti una freccia lunga zero. Sembra un oggetto inutile, e invece è quello che esprime le situazioni più interessanti della fisica: risultante nulla significa equilibrio, spostamento nullo significa tornare al punto di partenza, velocità nulla significa fermo.
Nella simulazione I vettori puoi costruire un vettore regolandone modulo, direzione e verso e vedere come cambia la freccia. Prova a tenere fisso il modulo e a ruotare la direzione: è il modo più rapido per convincersi che il modulo è una cosa e la direzione un'altra.
No, è scalare: per definirla basta un numero con l'unità, 21 °C. Non ha senso chiedersi in che direzione punti una temperatura. Attenzione a non farsi ingannare dal segno: −5 °C è un numero negativo, non un verso.
No. Stessa direzione significa solo che giacciono su rette parallele. Possono avere moduli diversi, oppure versi opposti. Per essere uguali devono coincidere in tutte e tre le caratteristiche.
35 : 5 = 7 cm. E viceversa: una freccia lunga 4 cm in quella scala rappresenta 4 × 5 = 20 N. La scala si usa in entrambi i sensi, a seconda che tu stia disegnando o misurando.
Sì, purché tu lo trasli, cioè lo sposti mantenendo identici modulo, direzione e verso. Non puoi invece ruotarlo né accorciarlo. In fisica, però, se il vettore rappresenta una forza, spostare il punto di applicazione può cambiare l'effetto sul corpo: la libertà di traslazione vale per il vettore come oggetto matematico.
Un vettore di modulo negativo non esiste: il modulo è una lunghezza, quindi non può essere minore di zero. Il simbolo −v non indica un modulo negativo, indica un vettore con lo stesso modulo di v e verso contrario.