Officina del Moto Accelerato › Parte 1 › La formula senza il tempo
Quando del tempo non ci importa nulla: velocità e spazio, direttamente.
Un'automobile viaggia a 30 m/s e frena con decelerazione 5 m/s². In quanti metri si ferma?
È la domanda che conta davvero quando si guida: nessuno si preoccupa di quanti secondi durerà la frenata, si preoccupa di quanto spazio serve. Eppure, con le formule che abbiamo, per rispondere bisogna passare per il tempo: prima calcolare quanti secondi servono a fermarsi, poi mettere quel tempo nella legge oraria.
Funziona, ma è un giro lungo per una quantità che non ci interessa. Esiste una scorciatoia: una formula che lega direttamente velocità e spazio, senza tempo.
Non è una formula nuova calata dall'alto: si ottiene dalle due che già conosci, eliminando il tempo.
Dalla legge della velocità v = v0 + a · t si ricava il tempo: t = (v − v0) / a.
Questo valore si sostituisce nella legge oraria al posto di t. I conti richiedono qualche passaggio algebrico, ma il risultato è quello scritto sopra: il tempo sparisce e restano solo velocità e spazio.
Se il corpo parte da fermo, v0 = 0 e la formula diventa v² = 2a·Δs. Provala sul carrello del laboratorio: con a = 0,68 m/s² su 1,2 m si ottiene v² = 1,63, cioè v = 1,28 m/s. Con la formula v = 2s/t usata in laboratorio, dove t valeva 1,87 s, si trova 2 · 1,2 / 1,87 = 1,28 m/s. Stesso risultato per due strade diverse: è il modo migliore per fidarsi di una formula.
La regola pratica è semplicissima: se nel problema il tempo non compare né fra i dati né fra le domande, usa questa formula. In tutti gli altri casi conviene la legge oraria.
| Se conosci | E cerchi | Usa |
|---|---|---|
| v0, a, t | la velocità v | v = v0 + a · t |
| s0, v0, a, t | la posizione s | s = s0 + v0t + ½at² |
| v0, a, Δs | la velocità v | v² = v0² + 2a · Δs |
| v0, v, a | lo spazio Δs |
Tre formule in tutto, e la tabella dice quale scegliere. Vale la pena tenerla a mente: buona parte degli errori negli esercizi non nasce dai calcoli, ma dall'aver scelto la formula sbagliata e essersi poi arrampicati sui vetri.
Riprendiamo la domanda iniziale: v0 = 30 m/s, a = −5 m/s², velocità finale v = 0. Quanti metri servono?
Isoliamo Δs dalla formula: Δs = (v² − v0²) / (2a) = (0 − 900) / (−10) = 90 metri.
Nota i due segni meno che si elidono: lo spazio risulta positivo, come dev'essere. Se venisse negativo, c'è un errore nei segni.
Un carrello parte da fermo e accelera a 0,8 m/s² per 1,5 m. Con che velocità arriva?
v² = 0 + 2 · 0,8 · 1,5 = 2,4, quindi v = 1,55 m/s circa.
Senza questa formula avremmo dovuto prima ricavare il tempo dalla legge oraria e poi la velocità: due passaggi invece di uno.
In questa formula compaiono v² e v0², non v e v0. Alla fine dei conti quasi sempre bisogna fare una radice quadrata per trovare la velocità. Dimenticarla è l'errore tipico: si ottiene un numero che è il quadrato del risultato giusto.
C'è una conseguenza di questa formula che va molto oltre l'esercizio, e che prepara la Parte 2 del percorso.
Poiché la velocità compare al quadrato, lo spazio necessario a fermarsi non è proporzionale alla velocità, ma al suo quadrato. Raddoppiando la velocità non servono il doppio dei metri: ne servono quattro volte tanti.
| Velocità iniziale | v0² | Spazio per fermarsi (con a = −5 m/s²) |
|---|---|---|
| 10 m/s | 100 | 10 m |
| 20 m/s | 400 | 40 m |
| 30 m/s | 900 | 90 m |
| 40 m/s | 1600 | 160 m |
Guarda la prima e l'ultima riga: la velocità è quadruplicata, lo spazio è diventato sedici volte più grande. È una crescita molto più rapida di quanto l'intuizione suggerisca, ed è la ragione per cui i limiti di velocità non sono un'opinione.
Nelle prossime due tappe studieremo a fondo proprio questo caso: che cosa succede quando l'accelerazione si oppone al moto.
Quando il tempo non è dato e non è richiesto: per esempio quando si conoscono velocità iniziale, finale e accelerazione e si cerca lo spazio. Usare la legge oraria funzionerebbe lo stesso, ma richiederebbe un passaggio in più.
v² = 2 · 2 · 25 = 100, quindi v = 10 m/s. Fermarsi a 100 e scrivere «100 m/s» è l'errore da evitare: manca la radice.
Δs = (0 − 400) / (2 · −4) = −400 / −8 = 50 m. I due segni negativi danno un risultato positivo.
Quattro volte tanti: 200 m. La velocità è raddoppiata, ma è il suo quadrato a comparire nella formula, e 40² è quattro volte 20².
Quasi certamente un errore di segno: probabilmente hai scritto l'accelerazione positiva in una frenata, o hai invertito velocità iniziale e finale. Lo spazio percorso non può essere negativo.