Officina del Moto › Parte 3 › L'accelerazione istantanea
Lo stesso passaggio al limite, applicato alla variazione della velocità.
L'accelerazione media ha lo stesso limite della velocità media: descrive un intervallo, non un istante. Se un'auto passa da 0 a 100 km/h in 10 secondi, l'accelerazione media dice quanto è cambiata la velocità in complesso, non quanto stava cambiando nell'istante in cui il conducente ha scalato marcia.
La soluzione è quella che conosci già. Si calcola l'accelerazione media su intervalli sempre più piccoli e si guarda a quale valore si avvicina il risultato.
Vale la pena fermarsi un momento su questa simmetria, perché è la chiave per ricordare tutta la cinematica senza impararla a memoria:
| Grafico | Pendenza della secante | Pendenza della tangente |
|---|---|---|
| spazio-tempo (s-t) | velocità media | velocità istantanea |
| velocità-tempo (v-t) | accelerazione media | accelerazione istantanea |
C'è un caso particolare che in prima è il più importante di tutti: quello in cui l'accelerazione non cambia mai. Si chiama moto uniformemente accelerato.
Se l'accelerazione è costante, allora la velocità cresce sempre allo stesso ritmo: guadagna ogni secondo la stessa quantità. Il grafico velocità-tempo è quindi una retta, e la sua pendenza vale a. Come per il moto uniforme nel grafico s-t, qui secante e tangente coincidono: accelerazione media e istantanea sono uguali in ogni intervallo.
Ecco la coppia di grafici da tenere in mente per il moto uniformemente accelerato che parte da fermo.
Accelerazione costante: nel grafico v-t una retta, nel grafico s-t una parabola.
Perché nel grafico spazio-tempo viene una curva e non una retta? Perché la velocità aumenta: nel primo secondo il corpo percorre poco spazio, nel secondo di più, nel terzo ancora di più. I tratti percorsi si allungano istante dopo istante, e la linea si impenna.
Ricorda dalla lezione sulla velocità istantanea che la pendenza della tangente al grafico s-t è la velocità. Su questa parabola la tangente all'inizio è quasi orizzontale — il corpo è quasi fermo — e diventa via via più ripida. È lo stesso fatto raccontato dall'altro grafico.
Quella curva ha un'equazione precisa, che vale per un corpo che parte da fermo:
Il fatto che compaia t² e non t ha una conseguenza che si verifica facilmente in laboratorio: raddoppiando il tempo, lo spazio percorso quadruplica; triplicandolo, diventa nove volte tanto.
Un carrello parte da fermo con accelerazione 0,5 m/s².
Dopo 1 s ha percorso 0,25 m. Dopo 2 s: 1,0 m, cioè quattro volte tanto. Dopo 3 s: 2,25 m, nove volte tanto. Nel moto uniforme, a parità di tempi, gli spazi sarebbero stati 1, 2 e 3 volte: la differenza fra i due moti si vede tutta qui.
Da s = ½at² si ricava subito a = 2s / t²: misurando lo spazio percorso e il tempo impiegato a partire da fermo, si ottiene l'accelerazione senza bisogno di misurare nessuna velocità. È esattamente il conto che farai con il carrello nella prossima lezione.
Nella simulazione L'accelerazione puoi costruire il vettore Δv fra due istanti e osservare come cambia restringendo l'intervallo. È il modo più diretto per capire che l'accelerazione, come la velocità, è un vettore con una sua direzione — e che quella direzione, nei moti curvilinei, non coincide con quella del moto.
È proprio da questa osservazione che parte la prossima lezione.
Uniformemente accelerato: la pendenza è costante, quindi l'accelerazione non cambia. Se la retta sale la velocità aumenta, se scende diminuisce.
s = ½ · 2 · 3² = 9 m. In 6 s, cioè in un tempo doppio, percorrerebbe 36 m: quattro volte tanto, non il doppio.
Perché la velocità cambia. Una retta nel grafico s-t significherebbe pendenza costante, cioè velocità costante: sarebbe moto uniforme. Qui i tratti percorsi in tempi uguali si allungano, e la linea si incurva.
a = 2s/t² = (2 · 0,80) / 4,0 = 0,40 m/s². Ed è anche la formula che userai per ricavare l'accelerazione dai dati della rotaia.
Il procedimento: entrambe si ottengono facendo tendere a zero l'intervallo di tempo, ed entrambe si leggono come pendenza di una tangente. Cambia solo il grafico su cui si lavora: s-t per la velocità, v-t per l'accelerazione.