L'accelerazione istantanea
Lo stesso passaggio al limite, applicato alla variazione della velocità.
Al termine di questa lezione saprai
- definire l'accelerazione istantanea come limite dell'accelerazione media;
- riconoscere la simmetria fra la costruzione della velocità e quella dell'accelerazione;
- spiegare perché l'accelerazione istantanea è un vettore e dove punta nei moti rettilinei e curvilinei.
1. La stessa idea, un passo più in là
Come la velocità media, anche l'accelerazione media descrive ciò che accade in un intervallo di tempo, non in un singolo istante. Se un'auto accelera lungo un rettilineo da 0 a 100 km/h in 10 secondi, l'accelerazione media ci dice quanto è cambiata complessivamente la velocità durante quei 10 secondi, ma non come stava cambiando in ciascun istante.
Per conoscere l'accelerazione in un preciso istante si procede come per la velocità istantanea: si calcola l'accelerazione media su intervalli di tempo sempre più piccoli e si osserva a quale valore tende il rapporto.
Scrivere Δt → 0 non significa porre Δt = 0. Il rapporto Δv/Δt viene calcolato per intervalli di tempo sempre più piccoli ma diversi da zero; l'accelerazione istantanea è il valore a cui questo rapporto tende.
La costruzione è perfettamente parallela a quella della velocità:
| Aspetto | Velocità | Accelerazione |
|---|---|---|
| Che cosa descrive | come cambia la posizione | come cambia la velocità |
| Valore medio | Δs / Δt | Δv / Δt |
| Valore istantaneo | limΔt→0 Δs / Δt | limΔt→0 Δv / Δt |
| Direzione | tangente alla traiettoria, nel verso del moto | quella verso cui sta variando istantaneamente il vettore velocità |
2. Un vettore con una sua direzione
Come la velocità, anche l'accelerazione istantanea è un vettore. La velocità indica in ogni istante la direzione del moto ed è tangente alla traiettoria; l'accelerazione indica invece come sta variando il vettore velocità. Nei moti rettilinei l'accelerazione ha la direzione della retta del moto. Nei moti curvilinei, la variazione della direzione della velocità produce una componente dell'accelerazione rivolta verso il lato concavo della traiettoria, cioè verso l'interno della curva. Se cambia anche il modulo della velocità, è presente anche una componente tangenziale. La somma di queste componenti dà l'accelerazione istantanea, che quindi può essere obliqua rispetto alla traiettoria.
Nella simulazione L'accelerazione puoi costruire il vettore Δv fra due istanti e osservare che cosa accade quando l'intervallo Δt si restringe. Man mano che i due istanti si avvicinano, il rapporto Δv/Δt tende al vettore accelerazione istantanea. È il modo più diretto per vedere perché, nei moti curvilinei, la direzione dell'accelerazione non coincide in generale con quella del moto.
In sintesi
- L'accelerazione istantanea è il limite del rapporto Δv/Δt quando Δt tende a zero.
- Il procedimento è analogo a quello usato per la velocità istantanea: al posto di Δs compare Δv.
- Δt tende a zero, ma non viene mai posto uguale a zero nel rapporto.
- L'accelerazione istantanea è un vettore e indica come sta variando, in quell'istante, il vettore velocità.
- Nei moti curvilinei può avere una componente verso l'interno della curva e, se cambia anche il modulo della velocità, una componente tangenziale.
Verifica se hai capito
1. Un'auto accelera lungo un rettilineo da 0 a 100 km/h in 10 s. Posso dire che in ogni istante la sua accelerazione era la stessa?
No. Il dato descrive soltanto la variazione complessiva della velocità nell'intervallo considerato. L'accelerazione istantanea può essere stata maggiore in alcuni istanti e minore in altri. Accelerazione media e accelerazione istantanea coincidono in ogni istante soltanto quando l'accelerazione è costante.
2. Calcolando l'accelerazione media su intervalli sempre più piccoli ottieni 3,4 – 3,2 – 3,05 – 3,01 m/s². A quale valore tende l'accelerazione istantanea?
I valori si avvicinano a 3,0 m/s²: questo è il limite del rapporto Δv/Δt nell'esempio.
3. Un'auto percorre una curva e il tachimetro indica sempre lo stesso valore. La sua accelerazione è nulla?
No. Il modulo della velocità resta costante, ma la sua direzione cambia continuamente. Il vettore velocità quindi varia e l'accelerazione non è nulla: in questo caso è diretta verso l'interno della curva.
4. Un corpo si muove lungo una retta e sta rallentando. Dove punta la sua accelerazione?
L'accelerazione ha la direzione della retta del moto e verso opposto a quello della velocità. Per questo il modulo della velocità diminuisce.
5. Che cosa hanno in comune la velocità istantanea e l'accelerazione istantanea?
Il procedimento con cui vengono definite: entrambe si ottengono facendo tendere a zero un intervallo di tempo. Per la velocità si considera il rapporto Δs/Δt; per l'accelerazione il rapporto Δv/Δt. Entrambe sono grandezze vettoriali.