Officina del Moto Circolare › Parte 1 › La relazione v = ω · r
Il ponte fra le due velocità: una descrive la rotazione, l'altra il singolo punto.
Mettiamo vicine le due formule ricavate nelle lezioni precedenti.
v = 2πr / T ω = 2π / T
Sono quasi identiche: l'unica differenza è il raggio, presente nella prima e assente nella seconda. Sostituendo la seconda nella prima — dato che 2π/T è proprio ω — si ottiene immediatamente:
E le due forme inverse, che servono altrettanto spesso:
Nella lezione sul radiante avevamo trovato che arco = θ · r. Dividendo entrambi i membri per il tempo impiegato, a sinistra compare lo spazio diviso il tempo, cioè v, e a destra l'angolo diviso il tempo, cioè ω, moltiplicato per r. Si ritrova la stessa relazione per una strada diversa — ed è un buon segno.
La formula dice una cosa precisa: in un corpo che ruota, ω è la stessa dappertutto e v è proporzionale alla distanza dal centro.
È esattamente ciò che si osserva su una giostra, ed è la risposta al problema lasciato aperto nella prima lezione. La giostra ha una sola velocità angolare, che la descrive per intero; ogni cavallo ha poi la sua velocità tangenziale, che si ottiene moltiplicando quella velocità angolare per la sua distanza dal centro.
| Distanza dal centro | ω (rad/s) | v = ωr (m/s) |
|---|---|---|
| 1 m | 1,05 | 1,05 |
| 3 m | 1,05 | 3,14 |
| 5 m | 1,05 | 5,24 |
La colonna centrale non cambia mai: è la giostra. L'ultima colonna cresce: sono i cavalli. Confronta questa tabella con quella della prima lezione, calcolata con v = 2πr/T: i valori sono gli stessi, ottenuti però con un conto molto più rapido.
Un disco gira a 33 giri al minuto, cioè f = 0,55 Hz. Qual è la velocità di un punto del bordo, a 15 cm dal centro? E di un punto a 5 cm?
Velocità angolare: ω = 2π · 0,55 = 3,46 rad/s, la stessa per tutto il disco.
Al bordo: v = 3,46 · 0,15 = 0,52 m/s.
A 5 cm: v = 3,46 · 0,05 = 0,17 m/s, esattamente un terzo, perché il raggio è un terzo.
La ruota della bicicletta. Se la bici procede a 5 m/s e la ruota ha raggio 0,35 m, la velocità angolare è ω = 5 / 0,35 = 14,3 rad/s, cioè poco più di due giri al secondo. Nota il ragionamento: la velocità con cui avanza la bicicletta è la velocità tangenziale del bordo della ruota, perché è il bordo a toccare terra.
La rotazione terrestre. La Terra compie un giro in circa 24 ore, quindi la sua velocità angolare è piccolissima: 7,3 centomillesimi di radiante al secondo, uguale per tutti i punti del pianeta. Ma il raggio all'equatore è enorme, 6370 km, e la velocità tangenziale risulta di circa 465 m/s, quasi 1700 km/h. Alle nostre latitudini il raggio della circonferenza percorsa è minore, e la velocità scende di conseguenza. Nessuno se ne accorge, perché ci muoviamo tutti insieme all'atmosfera: è la relatività del moto della primissima lezione.
Gli ingranaggi. Due ruote dentate a contatto hanno la stessa velocità tangenziale nel punto di contatto, non la stessa velocità angolare. Da v = ωr segue che la ruota più piccola deve girare più in fretta: è il principio di tutti i cambi di velocità, dalla bicicletta all'automobile.
La relazione v = ωr vale esclusivamente con l'angolo misurato in radianti, perché discende da arco = θr, che vale solo in radianti. Con i gradi comparirebbe un fattore di conversione e la formula perderebbe la sua semplicità. È la ragione per cui la lezione sul radiante veniva prima di questa.
Con questa lezione si chiude la Parte 1. Ecco tutte le grandezze che descrivono un moto circolare uniforme e i loro legami.
| Grandezza | Simbolo | Unità | Come si calcola |
|---|---|---|---|
| Periodo | T | s | tempo di un giro |
| Frequenza | f | Hz | f = 1/T |
| Velocità angolare | ω | rad/s | ω = 2π/T = 2πf |
| Velocità tangenziale | v | m/s | v = 2πr/T = ωr |
Quattro grandezze, tutte ricavabili l'una dall'altra: basta conoscerne una insieme al raggio per determinare tutte le altre. È un quadro completo, ma descrive soltanto come si muove il corpo.
Resta la domanda più interessante, quella che abbiamo rimandato fin dalla prima lezione: se la direzione della velocità cambia in continuazione, allora c'è accelerazione. Quanto vale? E soprattutto: dove punta? È l'argomento della Parte 2.
v = 8 · 0,25 = 2 m/s. Attenzione a convertire i centimetri in metri prima di moltiplicare.
La velocità del secondo è tripla, perché ω è la stessa e v è proporzionale a r. Il rapporto fra le velocità è lo stesso rapporto fra i raggi.
ω = 12 / 0,3 = 40 rad/s, cioè circa 6,4 giri al secondo.
Perché il giro dura 24 ore, quindi ω è minuscola; ma il raggio è di migliaia di chilometri, e nella formula v = ωr quel numero enorme compensa ampiamente. Il prodotto dà circa 465 m/s all'equatore.
No: hanno la stessa velocità tangenziale nel punto di contatto. Da v = ωr segue che la ruota più piccola gira con una velocità angolare maggiore.