Officina del Moto Circolare › Parte 1 › La velocità angolare
Non quanti metri percorre il corpo, ma quanto angolo spazza.
Nella prima lezione avevamo scoperto un fatto scomodo: su una giostra ogni cavallo ha una velocità diversa, perché più è lontano dal centro più strada percorre. Dire «la giostra va a 3 metri al secondo» non significa nulla, se non si specifica a quale distanza dal centro.
Eppure la giostra gira in un modo solo. Serve quindi una grandezza che descriva la rotazione nel suo complesso, uguale per tutti i punti. L'idea è cambiare ciò che misuriamo: invece dei metri percorsi, l'angolo spazzato.
I due punti percorrono archi di lunghezza diversa, ma spazzano lo stesso angolo nello stesso tempo.
La costruzione è la stessa di tutte le velocità che hai incontrato: si prende la variazione della grandezza e la si divide per il tempo impiegato.
Il simbolo è la lettera greca omega minuscola. L'unità di misura è il radiante al secondo, rad/s: quanti radianti di angolo il corpo copre in un secondo.
| Velocità tangenziale v | Velocità angolare ω | |
|---|---|---|
| Che cosa misura | Metri percorsi al secondo | Radianti spazzati al secondo |
| Unità | m/s | rad/s |
| Dipende dal raggio? | Sì: più lontano, più veloce | No: uguale per tutti i punti |
| Descrive | Il singolo punto | L'intera rotazione |
La terza riga è il motivo per cui questa grandezza esiste. Tutti i punti di un corpo rigido che ruota hanno la stessa velocità angolare: il cavallo esterno e quello interno, il bordo del giradischi e il centro, la punta della lancetta e la sua base. Compiono il giro insieme, quindi spazzano lo stesso angolo nello stesso tempo.
In un periodo il corpo compie un giro completo, cioè spazza un angolo di 2π radianti. Applicando la definizione:
È la stessa struttura della velocità tangenziale v = 2πr/T, senza il raggio. E non è un caso: nella prossima lezione vedremo che le due formule sono legate da una relazione semplicissima.
La giostra compie un giro in 6 secondi. Qual è la sua velocità angolare?
ω = 2 · 3,14 / 6 = 6,28 / 6 = 1,05 rad/s.
Questo valore vale per ogni cavallo, indipendentemente da dove si trova. È la velocità angolare della giostra, non di un punto particolare.
Compie un giro in 60 s, quindi ω = 6,28 / 60 = 0,105 rad/s.
La lancetta dei minuti impiega 3600 s: la sua velocità angolare è sessanta volte più piccola, circa 0,0017 rad/s. Due lancette sullo stesso quadrante, due rotazioni diverse.
Dalla definizione si ricava l'angolo spazzato in un tempo qualsiasi:
Il confronto con il moto rettilineo uniforme è immediato: lì era s = v · t, qui è θ = ω · t. Stessa struttura, grandezze diverse. Chi ha capito bene il moto uniforme si ritrova in terreno familiare.
Un disco ruota con ω = 4 rad/s. Che angolo spazza in 5 secondi? E quanti giri compie?
Δθ = 4 · 5 = 20 rad. Per sapere quanti giri sono, si divide per 2π: 20 / 6,28 = 3,2 giri circa.
La velocità angolare va sempre espressa in radianti al secondo. Se un problema dà «30 giri al minuto», prima di usare quel dato bisogna convertirlo: 30 giri al minuto sono mezzo giro al secondo, cioè f = 0,5 Hz, quindi ω = 2π · 0,5 = 3,14 rad/s.
Nella simulazione La velocità angolare puoi osservare come l'angolo cresce regolarmente al passare del tempo: è il corrispettivo circolare del grafico spazio-tempo del moto uniforme, e anche qui viene una retta.
La velocità angolare, il periodo e la frequenza: ruotano insieme. Hanno invece velocità tangenziali diverse, perché percorrono circonferenze di lunghezza diversa.
ω = 6,28 / 4 = 1,57 rad/s, cioè π/2 rad/s. In un secondo spazza un quarto di giro.
L'angolo è 10 · 3 = 30 rad; diviso 6,28 dà circa 4,8 giri.
Perché misura l'angolo, non lo spazio. Due punti a distanze diverse spazzano lo stesso angolo nello stesso tempo: quello che cambia è la lunghezza dell'arco, cioè i metri percorsi.
600 giri al minuto sono 10 giri al secondo, quindi f = 10 Hz e ω = 2π · 10 = 62,8 rad/s.