Officina del Moto Circolare › Parte 1 › L'angolo in radianti
Un'unità che sembra scomoda e che invece semplifica tutto.
Dividere l'angolo giro in 360 parti è una scelta antica, che risale ai Babilonesi: pare fosse legata al numero di giorni dell'anno e alla comodità del 60 come base di numerazione. Funziona benissimo, ma è una convenzione: non c'è nulla nella geometria di una circonferenza che indichi il numero 360.
La fisica preferisce unità che nascano dalla natura del problema, non dalla storia. E nel caso degli angoli esiste una scelta che nasce dalla circonferenza stessa.
Prendi un angolo con il vertice nel centro di una circonferenza. Quell'angolo «ritaglia» un arco. Confrontiamo la lunghezza di quell'arco con il raggio.
Di conseguenza, un radiante è l'angolo che ritaglia un arco lungo esattamente quanto il raggio. Se pieghi il raggio e lo appoggi sulla circonferenza, l'angolo che ottieni è un radiante.
Un radiante: l'angolo il cui arco misura quanto il raggio. Non dipende da quanto è grande la circonferenza.
Nota la cosa più importante: questa definizione non dipende dalle dimensioni della circonferenza. Se raddoppi il raggio, l'arco sotteso dallo stesso angolo raddoppia anche lui, e il loro rapporto resta identico. L'angolo misurato così è una proprietà dell'angolo, non del disegno.
Per l'angolo giro l'arco è l'intera circonferenza, che vale 2πr. Applicando la definizione:
Ecco spiegato il 2π che compare ovunque in queste formule: non è un abbellimento matematico, è semplicemente quanto misura un giro completo quando gli angoli si misurano in radianti.
| Angolo | In gradi | In radianti | Valore numerico |
|---|---|---|---|
| Giro completo | 360° | 2π | 6,28 |
| Angolo piatto | 180° | π | 3,14 |
| Angolo retto | 90° | π/2 | 1,57 |
| Un sesto di giro | 60° | π/3 | 1,05 |
| Un ottavo di giro | 45° | π/4 | 0,79 |
| — | 57,3° | 1 | 1 |
L'ultima riga è il radiante stesso: circa 57,3 gradi, un valore che non è un numero tondo ed è proprio questo a renderlo sospetto a prima vista. Ma il numero tondo, come abbiamo visto, ce l'hanno i gradi solo per convenzione.
Poiché 180° corrispondono a π radianti, la conversione si fa con una proporzione:
30° in radianti: 30 · 3,14 / 180 = 0,52 rad. Si può anche scrivere in forma esatta: π/6.
2 rad in gradi: 2 · 180 / 3,14 = 114,6°, poco più di un angolo retto.
Il vantaggio del radiante si vede subito invertendo la definizione:
Una formula di una semplicità disarmante: per sapere quanti metri ha percorso un corpo lungo la circonferenza basta moltiplicare l'angolo per il raggio. Con i gradi bisognerebbe invece scrivere arco = 2πr · (θ/360), portandosi dietro un fattore di conversione in ogni conto.
Un cavallo della giostra si trova a 3 m dal centro e compie un quarto di giro. Quanti metri percorre?
Un quarto di giro è π/2 = 1,57 rad. Quindi arco = 1,57 · 3 = 4,7 m circa.
Essendo il rapporto fra due lunghezze — metri diviso metri — il radiante non ha unità di misura: si semplificano. Si scrive «rad» solo per ricordare che quel numero rappresenta un angolo, ma nelle formule si comporta come un numero qualsiasi. È per questo che la velocità angolare si misura in rad/s, un'unità che in realtà equivale a 1/s.
Usare i gradi nelle formule della fisica. Tutte le relazioni che incontrerai da qui in avanti — arco = θr, v = ωr, ac = ω²r — valgono solo con gli angoli in radianti. Se un problema ti dà i gradi, la prima cosa da fare è convertirli. Controlla anche la calcolatrice: deve essere in modalità RAD, non DEG.
Nella simulazione L'angolo in radianti puoi costruire il radiante srotolando il raggio sulla circonferenza e vedere quante volte ci sta in un giro: sei volte, più un pezzetto. Quel pezzetto è la differenza fra 6 e 6,28, cioè fra sei radianti e l'angolo giro.
L'angolo al centro che sottende un arco lungo quanto il raggio. Vale circa 57,3°, e la sua definizione non dipende da quanto è grande la circonferenza.
270 · 3,14 / 180 = 4,71 rad, cioè 3π/2. È tre quarti di giro, e infatti è tre quarti di 6,28.
arco = 0,5 · 4 = 2 m. Con l'angolo in gradi (28,6°) il conto sarebbe stato molto più laborioso.
Perché è un rapporto fra due lunghezze: i metri dell'arco si semplificano con i metri del raggio. Resta un numero puro, e «rad» serve solo a ricordare che rappresenta un angolo.
No. Raddoppiando il raggio raddoppia anche l'arco sotteso, e il loro rapporto resta 1. L'angolo è lo stesso: è proprio questa indipendenza dalle dimensioni a rendere buona la definizione.