Officina del Moto Circolare › Parte 2 › Quanto vale l'accelerazione centripeta
Due formule per la stessa grandezza, e due dipendenze opposte dal raggio.
Prima di ricavare la formula, proviamo a indovinare da che cosa deve dipendere l'accelerazione centripeta. Due ingredienti sono evidenti.
La velocità. Più il corpo va veloce, più in fretta la direzione della sua velocità deve cambiare per stare sulla stessa curva. Quindi ac deve crescere con v.
Il raggio. Una curva larghissima piega poco la traiettoria, una curva stretta la piega moltissimo. Quindi ac deve essere maggiore quando r è piccolo: dipende da r in modo inverso.
Entrambe le intuizioni sono corrette, e la formula le mette insieme in modo preciso:
La dimostrazione completa richiede un po' di geometria, ma l'idea è semplice: mentre il corpo percorre un archetto, il vettore velocità ruota dello stesso angolo di cui ruota il raggio. Il triangolo formato dai due vettori velocità e da Δv risulta simile al triangolo formato dai due raggi e dall'arco. Dalla similitudine segue Δv / v = arco / r, e dividendo entrambi i membri per il tempo si ottiene proprio ac = v²/r.
Nella lezione precedente abbiamo trovato che v = ωr. Sostituendo nella formula:
ac = (ωr)² / r = ω²r² / r
Le due formule danno sempre lo stesso risultato: sono la stessa cosa detta con grandezze diverse. La scelta dipende solo da quale dato ti viene fornito.
| Se conosci | Usa |
|---|---|
| velocità tangenziale e raggio | ac = v²/r |
| velocità angolare e raggio | ac = ω²r |
| periodo o frequenza e raggio | ricava prima ω = 2π/T, poi ω²r |
Il cavallo si trova a 3 m dal centro, la giostra compie un giro in 6 s. Sappiamo già che v = 3,14 m/s e ω = 1,05 rad/s.
Prima formula: ac = 3,14² / 3 = 9,87 / 3 = 3,29 m/s².
Seconda formula: ac = 1,05² · 3 = 1,10 · 3 = 3,29 m/s².
Identiche, come dev'essere. Verificare un risultato per due strade diverse è sempre una buona abitudine.
Come già per lo spazio di frenata, il fatto che v compaia al quadrato ha conseguenze che l'intuizione sottovaluta.
| Situazione | Velocità | Raggio | ac |
|---|---|---|---|
| Auto in curva | 15 m/s (54 km/h) | 50 m | 4,5 m/s² |
| Stessa curva, doppia velocità | 30 m/s (108 km/h) | 50 m | 18 m/s² |
| Curva più stretta | 15 m/s | 25 m | 9 m/s² |
Confronta le prime due righe: velocità doppia, accelerazione quattro volte maggiore. Confronta la prima e la terza: raggio dimezzato, accelerazione doppia.
Questi numeri hanno un significato molto concreto. L'accelerazione centripeta dev'essere fornita dall'attrito fra pneumatici e asfalto, che però ha un limite: intorno ai 7-8 m/s² su asfalto asciutto. La seconda riga chiede 18 m/s², ben oltre il limite, e l'auto esce di strada. Non perché il guidatore sia inesperto: perché la fisica non lo permette.
Il cestello di una lavatrice ha raggio 25 cm e in centrifuga gira a 1200 giri al minuto. Quanto vale l'accelerazione centripeta al bordo?
1200 giri al minuto sono 20 giri al secondo, quindi ω = 2π · 20 = 125,7 rad/s.
ac = 125,7² · 0,25 = 3950 m/s² circa, cioè oltre 400 volte l'accelerazione di gravità. È per questo che l'acqua viene espulsa dai tessuti: nessuna forza di adesione regge a valori simili.
Qui c'è un punto che confonde quasi tutti, e vale la pena affrontarlo di petto. Guarda le due formule:
ac = v² / r ac = ω² r
Nella prima il raggio sta al denominatore, nella seconda al numeratore. Una dice che allargando la curva l'accelerazione diminuisce, l'altra che aumenta. Come è possibile, se sono la stessa formula?
La risposta è che le due affermazioni rispondono a due domande diverse, perché tengono fisse grandezze diverse.
| Che cosa resta fisso | Se il raggio aumenta | Esempio |
|---|---|---|
| La velocità v | ac diminuisce | Un'auto alla stessa velocità in una curva più larga: sterza di meno |
| La velocità angolare ω | ac aumenta | Un punto più esterno della stessa giostra: gira insieme agli altri ma corre di più |
Nel secondo caso, allontanandosi dal centro cresce anche la velocità tangenziale, perché v = ωr. Il raggio maggiore da solo ridurrebbe l'accelerazione, ma la velocità aumentata la fa crescere di più: il bilancio finale è un aumento.
Prima di usare una delle due formule, chiediti quale grandezza resta costante nel tuo problema. Se il testo parla di un veicolo che percorre curve diverse alla stessa andatura, è fissa v. Se parla di punti diversi di uno stesso corpo che ruota, è fissa ω. Entrambe le formule sono corrette: sbagliata è solo la conclusione tratta senza guardare che cosa si sta tenendo fermo.
ac = 36 / 2 = 18 m/s², diretta verso il centro.
ac = 3² · 0,5 = 4,5 m/s². Attenzione a convertire i centimetri in metri.
Perché l'accelerazione centripeta necessaria diventa quattro volte maggiore, e deve essere fornita dall'attrito, che ha un limite. Superato quel limite l'auto non curva e prosegue lungo la tangente.
Chi sta al bordo. Tutti hanno la stessa ω, e con ac = ω²r l'accelerazione cresce con il raggio. Non c'è contraddizione con l'altra formula: al bordo è maggiore anche la velocità.
Entrambe, e danno sempre lo stesso numero. Rispondono però a domande diverse: la prima a raggio variabile con v fissa, la seconda a raggio variabile con ω fissa. Prima di concludere qualcosa bisogna sapere che cosa resta costante.