Officina del Moto Circolare › Parte 2 › Laboratorio di verifica
Due misure, quattro calcoli, tre controlli: le formule messe alla prova.
Nelle lezioni precedenti abbiamo ricavato quattro formule: ω = 2π/T, v = ωr, ac = v²/r e ac = ω²r. Sono state ottenute con ragionamenti geometrici, non con misure.
Un ragionamento però può contenere un errore, e una formula giusta sulla carta può descrivere male la realtà. Per questo ogni relazione fisica va messa alla prova con i dati: è lo stesso metodo che hai usato con il pendolo, dove l'ipotesi ricavata dal grafico è stata poi confermata con nuove misure.
Non si verifica «se la formula esiste», ma se i numeri che essa prevede coincidono con quelli osservati. Si calcola un valore a partire dai dati misurati, lo si confronta con quello effettivo, e si guarda se lo scarto è piccolo. Questo è tutto ciò che significa verificare una legge.
È la distinzione più importante dell'intera esperienza, e conviene fissarla prima di cominciare.
| Grandezza | Si ottiene | Come |
|---|---|---|
| Raggio r | misurando | distanza del corpo dal centro |
| Periodo T | misurando | tempo impiegato per un giro completo |
| Frequenza f | calcolando | f = 1/T |
| Velocità angolare ω | calcolando | ω = 2π/T |
| Velocità tangenziale v | calcolando | v = ωr |
| Accelerazione centripeta ac | calcolando | ac = v²/r oppure ω²r |
Due sole misure dirette, il raggio e il periodo: tutto il resto discende da lì. È un fatto notevole, e vale la pena fermarcisi un momento. Con un metro e un cronometro si arriva a conoscere l'accelerazione di un corpo, che è una grandezza che nessuno strumento sta misurando direttamente.
L'ordine dei passaggi è sempre lo stesso, e conviene seguirlo senza scorciatoie.
Raccogli i risultati in una tabella come questa, ripetendo le misure con raggi diversi e con periodi diversi.
| r (m) | T (s) | ω (rad/s) | v (m/s) | v²/r (m/s²) | ω²r (m/s²) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0,25 | 2,0 | 3,14 | 0,79 | 2,47 | 2,47 |
| 0,50 | 2,0 | 3,14 | 1,57 | 4,93 | 4,93 |
| 0,75 | 2,0 | 3,14 | 2,36 | 7,40 | 7,40 |
| 0,50 | 1,0 | 6,28 | 3,14 | 19,74 | 19,74 |
Una volta compilata la tabella, non fermarti a guardarla: interrogala. Ci sono tre verifiche da fare, e ciascuna mette alla prova una relazione diversa.
Primo controllo: le due colonne dell'accelerazione. Gli ultimi due valori di ogni riga devono coincidere. Se v²/r e ω²r danno numeri diversi, c'è un errore nei calcoli: le due formule sono la stessa cosa scritta in due modi, e non possono discordare. È il controllo più immediato ed è quello che intercetta gli errori di conto.
Secondo controllo: v proporzionale a r. Guarda le prime tre righe, ottenute tutte con lo stesso periodo. Al raddoppiare del raggio la velocità raddoppia, al triplicare triplica: 0,79 poi 1,57 poi 2,36. È la verifica della relazione v = ωr, e su un grafico i punti si dispongono lungo una retta passante per l'origine.
Terzo controllo: il quadrato nella formula dell'accelerazione. Confronta la seconda riga con la quarta: stesso raggio, periodo dimezzato, quindi velocità angolare doppia. L'accelerazione passa da 4,93 a 19,74, cioè diventa quattro volte maggiore. È la conferma sperimentale che in ac = ω²r la velocità angolare compare al quadrato.
Nessuna misura è esatta, quindi il valore calcolato e quello osservato non saranno mai identici fino all'ultima cifra. Si calcola lo scarto percentuale: differenza fra i due valori, divisa per il valore calcolato, moltiplicata per cento. Se ottieni 4,93 e leggi 4,85, lo scarto è dell'1,6%: i valori concordano. Uno scarto di pochi punti percentuali è misura, uno scarto del 50% è un errore da cercare.
Di tutte le grandezze in gioco, il periodo è l'unica che dipende dalla tua prontezza di riflessi. Un cronometro azionato a mano porta con sé un errore di circa due decimi di secondo: su un periodo di due secondi è il dieci per cento, ed è un errore che si propaga a tutti i calcoli successivi — anzi, si amplifica, perché nell'accelerazione la velocità angolare compare al quadrato.
Il rimedio è lo stesso che hai usato nel laboratorio del pendolo: non cronometrare un solo giro. Cronometra dieci giri consecutivi e dividi il tempo totale per dieci. L'errore di reazione resta lo stesso in valore assoluto, ma diviso per dieci diventa trascurabile.
Cronometrando un giro: 2,0 s con incertezza di 0,2 s, cioè il 10%.
Cronometrando dieci giri: 20,0 s con la stessa incertezza di 0,2 s. Dividendo per dieci si ottiene T = 2,00 s con incertezza 0,02 s, cioè l'1%.
Stesso strumento, stessa persona, stesso tempo di reazione: un errore dieci volte più piccolo, solo per aver contato meglio.
Come in tutte le indagini sperimentali, per capire l'effetto del raggio bisogna tenere fisso il periodo, e viceversa. Se cambi entrambi fra una misura e l'altra, i dati non sono confrontabili e nessuno dei tre controlli funziona.
L'esperienza completa è nella simulazione Laboratorio di verifica, dove velocità tangenziale e accelerazione centripeta vengono messe insieme. Comincia con tre misure a raggio diverso e periodo costante, compila la tabella e fai i tre controlli prima di passare oltre.
Soltanto il raggio e il periodo. Velocità angolare, velocità tangenziale e accelerazione centripeta si ricavano tutte con i calcoli a partire da questi due dati.
C'è un errore di calcolo: le due formule sono equivalenti e devono dare lo stesso numero. Conviene rifare i conti partendo da ω, che è il valore da cui dipendono entrambe.
Perché l'errore di reazione è lo stesso in entrambi i casi, ma dividendo il tempo totale per dieci quell'errore viene diviso per dieci. Si passa da un'incertezza del 10% a una dell'1%.
La velocità triplica, perché v = ωr con ω invariata. L'accelerazione, valendo ω²r, triplica anch'essa: cresce in proporzione al raggio, non al suo quadrato.
Sì. Lo scarto è di 0,20 su 7,40, cioè circa il 2,7%: compatibile con l'incertezza delle misure. Una legge si considera confermata quando lo scarto è dell'ordine dell'errore sperimentale, non quando i numeri coincidono esattamente.