Officina dell'Energia › Parte 1 › L'Energia Cinetica
L'energia che un corpo possiede in quanto si muove.
Abbiamo definito l'energia come la capacità di modificare lo stato di un altro sistema, e il lavoro come la quantità di energia trasferita da una forza. Ora chiudiamo il cerchio: se una forza compie lavoro su un corpo libero di muoversi, che cosa cambia esattamente nel corpo?
La risposta è: cambia la sua velocità. E la grandezza che misura l'energia contenuta nel movimento si chiama energia cinetica (dal greco kinesis, movimento). Ricaviamola.
Consideriamo la situazione più semplice possibile: un corpo di massa m fermo all'istante iniziale t0 = 0, appoggiato su un piano orizzontale privo di attrito. Gli applichiamo una forza F costante e parallela al piano.
Figura 1 — La situazione di partenza per la dimostrazione.
La forza produce un'accelerazione costante:
Poiché il corpo parte da fermo, lo spazio percorso e la velocità raggiunta dopo un tempo t valgono:
La forza è parallela e concorde allo spostamento, quindi α = 0° e cosα = 1:
Dalla legge della velocità ricaviamo t con la formula inversa: t = v / a. Sostituiamo:
L'accelerazione si semplifica e sparisce completamente dal risultato:
Il risultato non dipende più da quanto intensa fosse la forza né da quanto tempo ha agito: dipende solo dalla massa e dalla velocità finale. Due corpi identici che raggiungono la stessa velocità hanno ricevuto lo stesso lavoro, che ci siano arrivati in un secondo con una spinta violenta o in un minuto con una spinta leggera.
La quantità che abbiamo trovato dipende solo dallo stato di moto del corpo. La chiamiamo energia cinetica:
Alcune proprietà importanti:
La quantità di moto p = m · v è un vettore e dipende dalla velocità alla prima potenza. L'energia cinetica è uno scalare e dipende dal quadrato. Sono grandezze diverse, con proprietà di conservazione diverse: non vanno mai confuse.
La dipendenza quadratica ha conseguenze pratiche enormi, e spesso controintuitive.
| Velocità di un'auto da 1000 kg | Energia cinetica | Rispetto a 25 km/h |
|---|---|---|
| 25 km/h (6,9 m/s) | 24 000 J | × 1 |
| 50 km/h (13,9 m/s) | 96 000 J | × 4 |
| 100 km/h (27,8 m/s) | 386 000 J | × 16 |
| 150 km/h (41,7 m/s) | 868 000 J | × 36 |
Raddoppiare la velocità non raddoppia l'energia: la quadruplica. Ecco perché lo spazio di frenata di un'auto a 100 km/h non è il doppio di quello a 50 km/h, ma circa il quadruplo. La stessa forza frenante deve dissipare quattro volte l'energia, e per farlo ha bisogno di quattro volte lo spazio.
Nella dimostrazione il corpo partiva da fermo. Se invece parte con una velocità iniziale vi e arriva con velocità finale vf, il risultato si generalizza così:
A parole:
Il lavoro totale compiuto da tutte le forze agenti su un corpo è uguale alla variazione della sua energia cinetica.
Il teorema riguarda la somma dei lavori di tutte le forze applicate al corpo: peso, forza applicata, attrito, reazione vincolare. Usare il lavoro di una sola forza è l'errore più comune. L'unica eccezione apparente è quando le altre forze hanno lavoro nullo (per esempio nella caduta libera, dove agisce solo il peso): in quel caso il lavoro di quella forza è il lavoro totale.
| Lavoro totale | Variazione di Ec | Effetto sul moto |
|---|---|---|
| Ltot > 0 | aumenta | Il corpo accelera |
| Ltot = 0 | invariata | Il modulo della velocità non cambia |
| Ltot < 0 | diminuisce | Il corpo rallenta |
Il teorema è uno strumento potentissimo, perché collega direttamente forze e spostamenti a velocità, saltando completamente il calcolo del tempo e dell'accelerazione.
Un pallone da calcio di 0,45 kg viaggia a 25 m/s. Quanta energia cinetica possiede?
Ec = ½ · 0,45 · 252 = 0,5 · 0,45 · 625 = 141 J
È l'energia che servirebbe per sollevare quello stesso pallone a circa 32 metri d'altezza.
Un'auto di 1000 kg che viaggia a 20 m/s frena e si ferma in 40 m. Qual è la forza frenante media?
ΔEc = 0 − ½ · 1000 · 202 = −200 000 J
Ltot = − F · s → − F · 40 = −200 000
F = 200 000 : 40 = 5 000 N
Nota che non abbiamo mai calcolato né l'accelerazione né il tempo di frenata: il teorema ci ha portati direttamente al risultato.
Riprendiamo la cassa di 20 kg spinta per 5,0 m con 80 N e attrito kd = 0,30, per cui avevamo trovato Ltot = +106 J. Se la cassa partiva da ferma, con quale velocità arriva?
Ltot = ½ · m · v2 − 0 → 106 = ½ · 20 · v2
v2 = 2 · 106 : 20 = 10,6 → v = 3,3 m/s
Se non ci fosse stato attrito il lavoro totale sarebbe stato 400 J e la velocità 6,3 m/s: quasi il doppio, con la stessa spinta.
Un carrello di 40 kg rallenta da 6,0 m/s a 2,0 m/s. Quanto lavoro totale hanno compiuto le forze agenti?
Ltot = ½ · 40 · 2,02 − ½ · 40 · 6,02 = 80 − 720 = −640 J
Il segno negativo indica che complessivamente le forze hanno sottratto energia al carrello.
Il teorema dell'energia cinetica sarà lo strumento con cui, fra due lezioni, dimostreremo il principio di conservazione dell'energia meccanica. L'idea è semplice: calcoleremo il lavoro della forza peso in due modi diversi, con la formula del lavoro e con il teorema dell'energia cinetica, e poi uguaglieremo i due risultati. Tienilo a mente, perché è la chiave di tutto il percorso.
Il secondo. Da ½ m v² uguale per entrambi, se la massa raddoppia il quadrato della velocità deve dimezzarsi: il corpo più leggero viaggia √2 ≈ 1,41 volte più veloce.
Di nove volte, perché l'energia dipende dal quadrato della velocità: 3² = 9.
Zero. L'energia cinetica non varia, quindi per il teorema il lavoro totale è nullo. Infatti la forza gravitazionale è sempre perpendicolare alla velocità.
Ltot = ½ · 2,0 · 8,0² − 0 = 64 J.
Per far sì che l'unica forza a compiere lavoro fosse F, e poter scrivere L = F · s come lavoro totale. Con l'attrito avremmo dovuto sottrarre il suo lavoro resistente, ma il risultato finale — cioè che il lavoro totale è uguale alla variazione di ½ m v² — sarebbe rimasto identico.
La variazione di energia cinetica è nulla, perché la velocità non cambia. Ma il lavoro della spinta non è nullo: è positivo, ed è esattamente compensato dal lavoro negativo dell'attrito. Sommati danno zero, in accordo con il teorema.