Officina dell'Energia › Parte 1 › L'Energia Cinetica
L'energia che un corpo possiede in quanto si muove.
Abbiamo definito l'energia come la capacità di modificare lo stato di un altro sistema, e il lavoro come la quantità di energia trasferita da una forza. Ora chiudiamo il cerchio: se le forze agenti su un corpo libero di muoversi compiono complessivamente un lavoro non nullo, che cosa cambia nel suo stato di moto?
Cambia il modulo della velocità del corpo. La grandezza che misura l'energia associata al suo stato di moto si chiama energia cinetica (dal greco kinesis, movimento). Ricaviamola.
Consideriamo la situazione più semplice possibile: un corpo di massa m fermo all'istante iniziale t0 = 0, appoggiato su un piano orizzontale privo di attrito. Gli applichiamo una forza F costante e parallela al piano. Il peso e la reazione vincolare sono perpendicolari allo spostamento e compiono lavoro nullo: in questa situazione il lavoro di F coincide quindi con il lavoro totale delle forze agenti sul corpo.
Figura 1 — La situazione di partenza per la dimostrazione.
La forza produce un'accelerazione costante:
Poiché il corpo parte da fermo, lo spazio percorso e la velocità raggiunta dopo un tempo t valgono:
La forza F è parallela e concorde allo spostamento, quindi α = 0° e cosα = 1. Poiché le altre forze compiono lavoro nullo, questo è anche il lavoro totale:
Dalla legge della velocità ricaviamo t con la formula inversa: t = v / a. Sostituiamo:
L'accelerazione si semplifica e sparisce completamente dal risultato:
Poiché il corpo è partito da fermo, questa espressione rappresenta il lavoro totale necessario per portarlo dalla velocità iniziale nulla alla velocità v.
In questa situazione, con il corpo inizialmente fermo, il risultato non dipende da quanto intensa fosse la forza né dal tempo impiegato per raggiungere la velocità finale: dipende solo dalla massa e dal modulo della velocità finale. Due corpi identici che partono da fermi e raggiungono lo stesso modulo della velocità hanno ricevuto lo stesso lavoro totale, anche se uno vi è arrivato in poco tempo con una forza maggiore e l'altro più lentamente con una forza minore.
La quantità che abbiamo trovato dipende solo dallo stato di moto del corpo. La chiamiamo energia cinetica:
Alcune proprietà importanti:
La quantità di moto p = m · v è un vettore e dipende dalla velocità alla prima potenza. L'energia cinetica è uno scalare e dipende dal quadrato. Sono grandezze diverse, con proprietà di conservazione diverse: non vanno mai confuse.
Abbiamo dimostrato che il lavoro totale compiuto su un corpo inizialmente fermo è uguale all'energia cinetica acquistata. Apri il laboratorio virtuale, applica una forza a un cubo su un piano privo di attrito e osserva come variano lavoro, velocità ed energia cinetica. Modifica massa, forza e spostamento per verificare la relazione.
La dipendenza quadratica ha conseguenze pratiche enormi, e spesso controintuitive.
| Velocità di un'auto da 1000 kg | Energia cinetica | Rispetto a 25 km/h |
|---|---|---|
| 25 km/h (6,9 m/s) | 24 000 J | × 1 |
| 50 km/h (13,9 m/s) | 96 000 J | × 4 |
| 100 km/h (27,8 m/s) | 386 000 J | × 16 |
| 150 km/h (41,7 m/s) | 868 000 J | × 36 |
Raddoppiare il modulo della velocità non raddoppia l'energia cinetica: la quadruplica. Per questo, in un modello ideale e a parità di forza frenante media e di condizioni, lo spazio di frenata a 100 km/h è circa quattro volte quello a 50 km/h. Attenzione: si parla dello spazio percorso durante la frenata, non dello spazio totale di arresto, che comprende anche lo spazio percorso nel tempo di reazione.
Nella dimostrazione il corpo partiva da fermo. Se invece parte con una velocità iniziale vi e arriva con velocità finale vf, il risultato si generalizza così:
A parole:
Il lavoro totale compiuto da tutte le forze agenti su un corpo è uguale alla variazione della sua energia cinetica.
Il teorema riguarda la somma dei lavori di tutte le forze agenti sul corpo: peso, forza applicata, attrito, reazione vincolare e così via. In generale non si può sostituire Ltot con il lavoro di una sola forza. Se però le altre forze sono assenti oppure compiono lavoro nullo, allora il lavoro di quella forza coincide con il lavoro totale. Per esempio, nella caduta libera, trascurando la resistenza dell'aria, Ltot coincide con il lavoro della forza peso.
| Lavoro totale | Variazione di Ec | Effetto sul modulo della velocità |
|---|---|---|
| Ltot > 0 | aumenta | Aumenta |
| Ltot = 0 | invariata | Non cambia |
| Ltot < 0 | diminuisce | Diminuisce |
Il teorema è uno strumento potentissimo, perché collega direttamente forze e spostamenti a velocità, saltando completamente il calcolo del tempo e dell'accelerazione.
Un pallone da calcio di 0,45 kg viaggia a 25 m/s. Quanta energia cinetica possiede?
Ec = ½ · 0,45 · 252 = 0,5 · 0,45 · 625 = 141 J
Per avere un'idea dell'ordine di grandezza, 141 J equivalgono circa al lavoro necessario per sollevare verticalmente lo stesso pallone di 32 m, trascurando le perdite.
Un'auto di 1000 kg che viaggia a 20 m/s frena e si ferma in 40 m. Supponendo costante la forza risultante media che si oppone al moto, qual è il suo modulo?
ΔEc = 0 − ½ · 1000 · 202 = −200 000 J
Ltot = − F · s → − F · 40 = −200 000
F = 200 000 : 40 = 5 000 N
Nota che non abbiamo mai calcolato né l'accelerazione né il tempo di frenata: il teorema ci ha portati direttamente al risultato.
Riprendiamo la cassa di 20 kg spinta per 5,0 m con 80 N e attrito kd = 0,30, per cui avevamo trovato Ltot = +106 J. Se la cassa partiva da ferma, con quale velocità arriva?
Ltot = ½ · m · v2 − 0 → 106 = ½ · 20 · v2
v2 = 2 · 106 : 20 = 10,6 → v = 3,3 m/s
Se non ci fosse stato attrito il lavoro totale sarebbe stato 400 J e la velocità 6,3 m/s: quasi il doppio, con la stessa spinta.
Un carrello di 40 kg rallenta da 6,0 m/s a 2,0 m/s. Quanto lavoro totale hanno compiuto le forze agenti?
Ltot = ½ · 40 · 2,02 − ½ · 40 · 6,02 = 80 − 720 = −640 J
Il segno negativo indica che complessivamente le forze hanno sottratto energia al carrello.
Nella prossima parte del percorso introdurremo l'energia potenziale gravitazionale e vedremo che il lavoro della forza peso può essere espresso come l'opposto della variazione di energia potenziale. Collegando questa relazione al teorema dell'energia cinetica arriveremo al principio di conservazione dell'energia meccanica, quando agiscono soltanto forze conservative.
Il secondo. Da ½ m v² uguale per entrambi, se la massa raddoppia il quadrato della velocità deve dimezzarsi: il corpo più leggero viaggia √2 ≈ 1,41 volte più veloce.
Di nove volte, perché l'energia dipende dal quadrato della velocità: 3² = 9.
Zero. L'energia cinetica non varia, quindi per il teorema il lavoro totale è nullo. La forza gravitazionale è istante per istante perpendicolare alla velocità: il satellite possiede comunque un'accelerazione centripeta, perché cambia la direzione della velocità, non il suo modulo.
Ltot = ½ · 2,0 · 8,0² − 0 = 64 J.
Per far sì che, tra le forze agenti, l'unica a compiere lavoro fosse F: il peso e la reazione vincolare sono perpendicolari allo spostamento e hanno lavoro nullo. In questo modo possiamo identificare L = F · s con il lavoro totale. In presenza di attrito dovremmo includere anche il suo lavoro negativo, ma il teorema finale resterebbe valido.
La variazione di energia cinetica è nulla, perché la velocità non cambia. Ma il lavoro della spinta non è nullo: è positivo, ed è esattamente compensato dal lavoro negativo dell'attrito. Sommati danno zero, in accordo con il teorema.