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Esempi di Calcolo del Lavoro

Tutti i casi tipici, uno per uno: da tenere aperto mentre fai gli esercizi.

Al termine di questa lezione saprai

applicare un metodo ordinato per calcolare il lavoro in qualunque situazione;
calcolare il lavoro di peso, attrito, reazione vincolare e forze applicate sul piano orizzontale;
affrontare il piano inclinato senza confondere seno e coseno;
determinare la reazione vincolare N nei casi in cui non è uguale a m · g;
calcolare il lavoro totale e interpretarne il segno.

1. Il metodo in quattro passi

Ogni esercizio sul lavoro, per quanto complicato sembri, si risolve con la stessa procedura. Prendi l'abitudine di seguirla sempre, anche quando il caso ti sembra ovvio.

Disegna tutte le forze che agiscono sul corpo: peso, reazione vincolare, forza applicata, attrito. Non dimenticarne nessuna.
Disegna lo spostamento con la sua direzione e il suo verso.
Per ogni forza, individua l'angolo α fra quella forza e lo spostamento e calcola L = F · s · cosα.
Somma algebricamente i lavori, rispettando i segni, per ottenere il lavoro totale.

Un controllo che salva

Prima di scrivere il risultato chiediti: questa forza favorisce o ostacola il moto? Se lo favorisce il lavoro deve venire positivo, se lo ostacola negativo. Se il segno che hai ottenuto non corrisponde, hai sbagliato l'angolo.

2. Casi sul piano orizzontale

Situazione	Angolo	Lavoro	Segno
Forza costante parallela e concorde allo spostamento	α = 0°	L = F · s	motore
Forza costante inclinata di α rispetto allo spostamento	0° < α < 90°	L = F · s · cosα	motore
Forza inclinata all'indietro	90° < α < 180°	L = F · s · cosα	resistente
Forza costante parallela e discorde allo spostamento	α = 180°	L = − F · s	resistente
Forza perpendicolare allo spostamento	α = 90°	L = 0	nullo
Reazione vincolare del piano	α = 90°	L = 0	nullo
Forza peso durante uno spostamento orizzontale	α = 90°	L = 0	nullo

Lavoro totale di più forze

Se sul corpo agiscono contemporaneamente F₁ concorde, F₂ discorde, F₃ inclinata di α e F₄ perpendicolare allo spostamento:

L_tot = F₁ · s − F₂ · s + F₃ · s · cosα + 0 Lo spostamento s compare in ogni termine, anche in quello con il coseno.

3. Il lavoro della forza peso

Situazione	Lavoro della forza peso	Lavoro della forza F applicata
Corpo lasciato cadere da un'altezza h	L_P = + m · g · h	—
Corpo sollevato a un'altezza h (a velocità costante, oppure fermo all'inizio e fermo alla fine)	L_P = − m · g · h	L_F = + m · g · h

In entrambi i casi il lavoro del peso dipende soltanto dal dislivello h, non dal percorso seguito né dal tempo impiegato. È la proprietà che rende la forza peso una forza conservativa e che studieremo a fondo nella lezione sull'indipendenza dal percorso.

4. Il lavoro della forza di attrito

L'attrito dinamico si oppone sempre al moto, quindi il suo lavoro è sempre negativo:

L_attrito = − k_d · N · s

Tutta la difficoltà sta nel determinare correttamente N, la reazione vincolare perpendicolare al piano. Si ottiene sempre dall'equilibrio delle forze nella direzione perpendicolare al piano stesso.

Situazione sul piano orizzontale	Reazione vincolare N	Lavoro dell'attrito
Nessuna forza verticale oltre al peso	N = m · g	− k_d · m · g · s
Forza F che spinge verso il basso, inclinata di α rispetto alla verticale	N = m · g + F · cosα	− k_d · (m · g + F · cosα) · s
Forza F che tira verso l'alto, inclinata di β rispetto all'orizzontale	N = m · g − F · senβ	− k_d · (m · g − F · senβ) · s

Attenzione all'angolo nella tabella

Nella seconda riga l'angolo α è misurato rispetto alla verticale, nella terza l'angolo β è misurato rispetto all'orizzontale: per questo in un caso compare il coseno e nell'altro il seno. In entrambi i casi si tratta sempre della stessa cosa, cioè della componente verticale della forza applicata. Non imparare a memoria le formule: ricava ogni volta la componente verticale dal disegno.

5. Il piano inclinato

È la situazione in cui si sbaglia più spesso, e quasi sempre per lo stesso motivo: si usa il coseno al posto del seno o viceversa. Fissiamo una volta per tutte la convenzione.

La nostra convenzione

Chiamiamo α l'angolo di inclinazione del piano rispetto all'orizzontale, cioè l'angolo alla base del triangolo. È la convenzione usata praticamente da tutti i libri di testo.

Figura 1 — Scomposizione della forza peso sul piano inclinato. La componente parallela al piano vale P · senα, quella perpendicolare P · cosα.

Le due formule fondamentali

Con questa convenzione, per uno spostamento s lungo il piano:

L_peso = ± m · g · senα · s = ± m · g · h Segno + se il corpo scende, segno − se sale. Il risultato coincide sempre con m · g · h, perché h = s · senα.

N = m · g · cosα → L_attrito = − k_d · m · g · cosα · s Valido se nessun'altra forza ha componenti perpendicolari al piano.

Il controllo che non sbaglia mai

Il lavoro del peso lungo un piano inclinato deve sempre coincidere con m · g · h, dove h è il dislivello verticale. Se calcoli m · g · senα · s e il risultato non corrisponde a m · g · h, hai scambiato seno e coseno. Questo controllo funziona sempre e in pochi secondi.

Se nel disegno α è misurato diversamente

In alcuni schemi l'angolo indicato non è quello alla base, ma quello fra la direzione della forza peso (la verticale) e la direzione dello spostamento, cioè l'angolo al vertice in alto del triangolo. Chiamiamolo θ: vale θ = 90° − α, ed è l'angolo che entra direttamente nella formula L = F · s · cosθ.

Con quella convenzione le formule diventano L_peso = m · g · cosθ · s e N = m · g · senθ: seno e coseno risultano scambiati rispetto a quelle scritte sopra. Le due scritture descrivono la stessa fisica e danno lo stesso numero; quello che non si può fare è mescolarle. Guarda sempre il disegno e stabilisci quale angolo ti viene dato prima di scrivere qualunque formula.

Tabella riassuntiva del piano inclinato

In tutte le righe α è l'inclinazione rispetto all'orizzontale, s lo spostamento lungo il piano, h = s · senα il dislivello.

Situazione	Lavori delle singole forze	Lavoro totale
Il corpo scende, piano liscio	L_P = + m g senα s L_N = 0	L_tot = + m g senα s
Il corpo scende, con attrito	L_P = + m g senα s L_a = − k_d m g cosα s	L_tot = m g senα s − k_d m g cosα s
Il corpo sale spinto da F parallela al piano, senza attrito	L_F = + F s L_P = − m g senα s	L_tot = F s − m g senα s
Il corpo sale spinto da F parallela al piano, con attrito	L_F = + F s L_P = − m g senα s L_a = − k_d m g cosα s	L_tot = F s − m g senα s − k_d m g cosα s

6. Esempi svolti

Esempio 1 — Forza inclinata che schiaccia

Una cassa di 30 kg viene spinta per 6,0 m su un pavimento orizzontale con una forza di 120 N inclinata di 40° rispetto alla verticale, diretta verso il basso e in avanti. Il coefficiente di attrito dinamico è 0,25. Calcola tutti i lavori (g = 9,8 m/s²).

Componente orizzontale di F: F_x = 120 · sen 40° = 120 · 0,643 = 77,1 N

L_F = + 77,1 · 6,0 = +463 J

Componente verticale di F: F_y = 120 · cos 40° = 91,9 N (verso il basso)

N = m g + F_y = 30 · 9,8 + 91,9 = 294 + 91,9 = 386 N

F_a = 0,25 · 386 = 96,5 N → L_a = − 96,5 · 6,0 = −579 J

L_P = 0, L_N = 0 (perpendicolari allo spostamento)

L_tot = 463 − 579 = −116 J

Il lavoro totale è negativo: spingendo così, la cassa rallenta. Spingere verso il basso è controproducente, perché aumenta la reazione vincolare e quindi l'attrito.

Esempio 2 — Discesa lungo un piano inclinato con attrito

Un blocco di 5,0 kg scivola per 4,0 m lungo un piano inclinato di 30° sull'orizzontale. Il coefficiente di attrito dinamico è 0,20. Calcola i lavori e il lavoro totale (g = 9,8 m/s²).

Dislivello: h = s · sen 30° = 4,0 · 0,50 = 2,0 m

L_P = + m g h = 5,0 · 9,8 · 2,0 = +98 J

N = m g cos 30° = 5,0 · 9,8 · 0,866 = 42,4 N

F_a = 0,20 · 42,4 = 8,49 N → L_a = − 8,49 · 4,0 = −34 J

L_N = 0

L_tot = 98 − 34 = +64 J

Verifica del controllo: m · g · senα · s = 5,0 · 9,8 · 0,50 · 4,0 = 98 J, uguale a m · g · h. Le formule sono state usate correttamente.

Esempio 3 — Salita lungo un piano inclinato

Lo stesso blocco di 5,0 kg viene spinto in salita per 4,0 m lungo lo stesso piano, con una forza di 40 N parallela al piano. Calcola il lavoro totale.

L_F = + 40 · 4,0 = +160 J

L_P = − m g h = − 98 J (ora il peso ostacola il moto)

L_a = − 34 J (l'attrito si oppone sempre, in salita come in discesa)

L_tot = 160 − 98 − 34 = +28 J

Il lavoro totale è positivo, quindi il blocco accelera lungo la salita. Se la forza applicata fosse stata di 33 N, il lavoro totale sarebbe stato nullo e il blocco sarebbe salito a velocità costante.

In sintesi

Quattro passi: disegna le forze, disegna lo spostamento, calcola un lavoro per ogni forza, somma algebricamente.
Le forze perpendicolari allo spostamento (reazione vincolare, peso durante spostamenti orizzontali) hanno lavoro nullo.
Il lavoro del peso vale sempre ± m · g · h, qualunque sia il percorso.
Il lavoro dell'attrito è − k_d · N · s: il punto critico è calcolare N, che non sempre vale m · g.
Sul piano inclinato, con α inclinazione rispetto all'orizzontale: L_peso = ± m g senα s e N = m g cosα.
Il controllo definitivo: il lavoro del peso deve sempre tornare uguale a m · g · h.

Verifica se hai capito

1. Un corpo scende lungo un piano inclinato di 45° per 3,0 m. Di quanto è sceso in verticale?

h = s · sen 45° = 3,0 · 0,707 = 2,1 m. Solo a 45° seno e coseno coincidono: è l'unico caso in cui uno scambio fra i due non viene scoperto dal calcolo, motivo in più per non affidarsi alla memoria.

2. Perché spingere una cassa dall'alto verso il basso rende più difficile spostarla?

Perché la componente verticale della forza si somma al peso e aumenta la reazione vincolare N. Essendo F_a = k_d · N, cresce anche l'attrito, e il lavoro resistente aumenta. Conviene invece tirare leggermente verso l'alto.

3. Un blocco sale lungo un piano inclinato e poi ridiscende fino al punto di partenza. Quanto vale il lavoro totale della forza peso sull'intero percorso? E quello dell'attrito?

Il lavoro del peso è nullo: negativo in salita, positivo in discesa, con lo stesso valore assoluto perché il dislivello complessivo è zero. Il lavoro dell'attrito invece è negativo in entrambi i tratti e si somma: dipende dalla lunghezza totale percorsa, non dal dislivello.

4. Calcola il lavoro della forza peso su un blocco di 8,0 kg che scende per 5,0 m lungo un piano inclinato di 20° (g = 9,8 m/s²).

h = 5,0 · sen 20° = 5,0 · 0,342 = 1,71 m; L_P = 8,0 · 9,8 · 1,71 = +134 J.

5. Nell'Esempio 3, quale forza sarebbe necessaria per far salire il blocco a velocità costante?

A velocità costante il lavoro totale è nullo, quindi F · s = 98 + 34 = 132 J, da cui F = 132 : 4,0 = 33 N. Equivalentemente: F deve equilibrare m g senα = 24,5 N più F_a = 8,49 N, cioè 33 N.

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