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Esempi di Calcolo del Lavoro

Tutti i casi tipici, uno per uno: da tenere aperto mentre fai gli esercizi.

Al termine di questa lezione saprai

applicare un metodo ordinato per calcolare il lavoro in qualunque situazione;
calcolare il lavoro di peso, attrito, reazione vincolare e forze applicate sul piano orizzontale;
affrontare il piano inclinato senza confondere seno e coseno;
determinare la reazione vincolare N nei casi in cui non è uguale a m · g;
calcolare il lavoro totale e interpretarne il segno.

1. Il metodo in quattro passi

Ogni esercizio sul lavoro, per quanto complicato sembri, si risolve con la stessa procedura. Prendi l'abitudine di seguirla sempre, anche quando il caso ti sembra ovvio.

Disegna tutte le forze che agiscono sul corpo: peso, reazione vincolare, forza applicata, attrito. Non dimenticarne nessuna.
Disegna lo spostamento con la sua direzione e il suo verso.
Per ogni forza, individua l'angolo α fra la direzione della forza e quella dello spostamento e calcola L = F · s · cosα.
Somma algebricamente i lavori, rispettando i segni, per ottenere il lavoro totale.

Un controllo che salva

Prima di scrivere il risultato chiediti: questa forza favorisce o ostacola il moto? Se lo favorisce il lavoro deve venire positivo, se lo ostacola negativo. Se il segno che hai ottenuto non corrisponde, hai sbagliato l'angolo.

2. Casi sul piano orizzontale

Situazione	Angolo	Lavoro	Segno
Forza costante parallela e concorde allo spostamento	α = 0°	L = F · s	motore
Forza costante inclinata di α rispetto allo spostamento	0° < α < 90°	L = F · s · cosα	motore
Forza inclinata all'indietro	90° < α < 180°	L = F · s · cosα	resistente
Forza costante parallela e discorde allo spostamento	α = 180°	L = − F · s	resistente
Forza perpendicolare allo spostamento	α = 90°	L = 0	nullo
Reazione vincolare del piano	α = 90°	L = 0	nullo
Forza peso durante uno spostamento orizzontale	α = 90°	L = 0	nullo

Lavoro totale di più forze

Se sul corpo agiscono contemporaneamente F₁ concorde, F₂ discorde, F₃ inclinata di α e F₄ perpendicolare allo spostamento:

L_tot = F₁ · s − F₂ · s + F₃ · s · cosα + 0 Lo spostamento s compare in ogni termine, anche in quello con il coseno.

3. Il lavoro della forza peso

Situazione	Lavoro della forza peso	Lavoro della forza F applicata
Corpo lasciato cadere da un'altezza h	L_P = + m · g · h	—
Corpo sollevato a un'altezza h (a velocità costante, oppure fermo all'inizio e fermo alla fine)	L_P = − m · g · h	L_F = + m · g · h

In entrambi i casi il lavoro del peso dipende soltanto dal dislivello h, non dal percorso seguito né dal tempo impiegato. È la proprietà che rende la forza peso una forza conservativa e che studieremo a fondo nella lezione sull'indipendenza dal percorso.

4. Il lavoro della forza di attrito

L'attrito dinamico si oppone sempre al moto, quindi il suo lavoro è sempre negativo:

L_attrito = − k_d · N · s

Tutta la difficoltà sta nel determinare correttamente N, la forza premente, cioè la somma delle componenti delle forze che premono il corpo contro il piano. La reazione vincolare R è invece la forza esercitata dal piano sul corpo; se non c'è accelerazione perpendicolare al piano, R ha lo stesso modulo di N e verso opposto.

Situazione sul piano orizzontale	Forza premente N	Lavoro dell'attrito
Nessuna forza verticale oltre al peso	N = m · g	− k_d · m · g · s
Forza F che spinge verso il basso, inclinata di α rispetto all'orizzontale	N = m · g + F · senα	− k_d · (m · g + F · senα) · s
Forza F che tira verso l'alto, inclinata di α rispetto all'orizzontale	N = m · g − F · senα	− k_d · (m · g − F · senα) · s

Attenzione all'angolo nella tabella

In entrambe le righe α è l'angolo fra la direzione della forza e quella dello spostamento, che in questo caso è orizzontale. La componente parallela allo spostamento vale F · cosα e compie lavoro, mentre la componente perpendicolare vale F · senα e modifica la forza premente N. Cambia solo il segno: la componente verticale si somma al peso se la forza spinge verso il basso, si sottrae se tira verso l'alto. Non imparare a memoria le formule: ricava ogni volta le due componenti dal disegno.

5. Il piano inclinato

È la situazione in cui si sbaglia più spesso, e quasi sempre per lo stesso motivo: si usa il coseno al posto del seno o viceversa. Fissiamo una volta per tutte la convenzione.

La nostra convenzione

Indichiamo con β l'angolo di inclinazione del piano rispetto all'orizzontale. Indichiamo invece con α l'angolo fra la direzione della forza considerata e quella dello spostamento.

Figura 1 — Il blocco appoggia sul piano e la forza peso P, applicata nel suo baricentro, si scompone in una componente parallela al piano, P · senβ, e in una perpendicolare, P · cosβ. L'angolo fra P e la componente perpendicolare è uguale all'angolo β alla base. Se il blocco percorre tutto il piano, s è la sua lunghezza e h = s · senβ è il dislivello.

Vai a vedere

Osserva nella simulazione come cambiano le componenti al variare dell’angolo e, selezionando una componente, determina la sua espressione in funzione dell’angolo.

Componenti delle forze Osserva come cambiano le componenti al variare dell'angolo.

Le due formule fondamentali

Con questa convenzione, per uno spostamento s lungo il piano:

Lavora solo la componente del peso parallela al piano, P · senβ = m · g · senβ, perché ha la direzione dello spostamento. La componente perpendicolare non compie lavoro.

L_peso = ± m · g · senβ · s Segno + se il corpo scende, segno − se sale.

Nel triangolo della figura 1, il prodotto senβ · s è proprio il dislivello:

senβ · s = h

Sostituendo h al posto di senβ · s si ottiene quindi:

L_peso = ± m · g · h Il lavoro del peso lungo il piano inclinato è lo stesso che si avrebbe scendendo o salendo in verticale di h.

N = m · g · cosβ → L_attrito = − k_d · m · g · cosβ · s Valido se nessun'altra forza ha componenti perpendicolari al piano.

Forza motrice inclinata rispetto al piano

Per la forza motrice α è l'angolo fra la direzione della forza e quella dello spostamento. Poiché scegliamo l'asse x parallelo al piano e allo spostamento, α coincide anche con l'angolo fra la forza motrice e l'asse x. L'angolo β resta invece esclusivamente l'inclinazione del piano.

Se la forza è diretta nel verso del moto e inclinata verso l'esterno del piano:

F_∥ = F · cosα F_⊥ = F · senα

N = m · g · cosβ − F · senα La componente perpendicolare della forza motrice è diretta verso l'esterno del piano e riduce la reazione vincolare.

L_F = F · s · cosα L_attrito = − k_d · N · s

Contatto con il piano

Queste formule valgono finché il corpo resta appoggiato al piano, cioè finché N ≥ 0. Se la componente F · senα diventasse troppo grande, il corpo tenderebbe a perdere il contatto con il piano.

Il controllo che non sbaglia mai

Il lavoro del peso lungo un piano inclinato deve sempre coincidere con m · g · h, dove h è il dislivello verticale. Se calcoli m · g · senβ · s e il risultato non corrisponde a m · g · h, hai scambiato seno e coseno. Questo controllo funziona sempre e in pochi secondi.

Angolo fra peso e spostamento

Anche per la forza peso manteniamo la stessa regola: α è l'angolo fra la direzione della forza e quella dello spostamento, mentre β è sempre l'inclinazione del piano rispetto all'orizzontale.

Figura 2 — Nella discesa, se peso e spostamento sono disegnati con la stessa origine, l'angolo fra loro è α = 90° − β. In salita lo spostamento ha verso opposto e l'angolo diventa α = 90° + β.

La formula generale del lavoro resta quindi L_peso = m · g · s · cosα. In discesa α < 90° e il lavoro del peso è positivo; in salita α > 90° e il lavoro è negativo. La relazione con la scomposizione lungo il piano è la stessa, perché cos(90° − β) = senβ.

Tabella riassuntiva del piano inclinato

In tutte le righe β è l'inclinazione del piano rispetto all'orizzontale. Quando compare una forza motrice inclinata, α è l'angolo fra la forza e lo spostamento; poiché lo spostamento è parallelo all'asse x, coincide anche con l'angolo fra la forza e l'asse x. Inoltre h = s · senβ è il dislivello.

Situazione	Lavori delle singole forze	Lavoro totale
Il corpo scende, piano liscio	L_P = + m g senβ s L_R = 0	L_tot = + m g senβ s
Il corpo scende, con attrito	L_P = + m g senβ s L_a = − k_d m g cosβ s	L_tot = m g senβ s − k_d m g cosβ s
Il corpo sale spinto da F parallela al piano, senza attrito	L_F = + F s L_P = − m g senβ s	L_tot = F s − m g senβ s
Il corpo sale spinto da F parallela al piano, con attrito	L_F = + F s L_P = − m g senβ s L_a = − k_d m g cosβ s	L_tot = F s − m g senβ s − k_d m g cosβ s
Il corpo scende con F motrice inclinata di α verso l'esterno del piano, con attrito	L_F = + F s cosα L_P = + m g senβ s N = m g cosβ − F senα L_a = − k_d N s	L_tot = F s cosα + m g senβ s − k_d N s
Il corpo sale con F motrice inclinata di α verso l'esterno del piano, con attrito	L_F = + F s cosα L_P = − m g senβ s N = m g cosβ − F senα L_a = − k_d N s	L_tot = F s cosα − m g senβ s − k_d N s

Vai a vedere

Osserva nelle simulazioni come lavorano le forze sul piano inclinato, prima in discesa e poi in salita.

Il corpo scende lungo il piano Lavoro del peso, della reazione vincolare e dell'attrito in discesa Il corpo sale lungo il piano Lavoro della forza motrice, del peso e dell'attrito in salita

6. Esempi svolti

Esempio 1 — Forza inclinata che schiaccia

Una cassa di 30 kg viene spinta per 6,0 m su un pavimento orizzontale con una forza di 120 N inclinata di 50° rispetto all'orizzontale, diretta verso il basso e in avanti. Il coefficiente di attrito dinamico è 0,25. Calcola tutti i lavori (g = 9,8 m/s²).

L_F = F · s · cosα = 120 · 6,0 · cos 50° = 120 · 6,0 · 0,643 = +463 J

Componente verticale di F: F_y = 120 · sen 50° = 120 · 0,766 = 91,9 N (verso il basso)

N = m g + F_y = 30 · 9,8 + 91,9 = 294 + 91,9 = 386 N

F_a = 0,25 · 386 = 96,5 N → L_a = − 96,5 · 6,0 = −579 J

L_P = 0, L_R = 0 (perpendicolari allo spostamento)

L_tot = 463 − 579 = −116 J

Il lavoro totale è negativo: se la cassa sta già scorrendo in avanti, spingendo così rallenta. Spingere verso il basso è controproducente, perché aumenta la reazione vincolare e quindi l'attrito.

Esempio 2 — Discesa lungo un piano inclinato con attrito

Un blocco di 5,0 kg scivola per 4,0 m lungo un piano inclinato di 30° sull'orizzontale. Il coefficiente di attrito dinamico è 0,20. Calcola i lavori e il lavoro totale (g = 9,8 m/s²).

Dislivello: h = s · sen 30° = 4,0 · 0,50 = 2,0 m

L_P = + m g h = 5,0 · 9,8 · 2,0 = +98 J

N = m g cos 30° = 5,0 · 9,8 · 0,866 = 42,4 N

F_a = 0,20 · 42,4 = 8,49 N → L_a = − 8,49 · 4,0 = −34 J

L_R = 0

L_tot = 98 − 34 = +64 J

Verifica del controllo: m · g · senβ · s = 5,0 · 9,8 · 0,50 · 4,0 = 98 J, uguale a m · g · h. Le formule sono state usate correttamente.

Esempio 3 — Salita lungo un piano inclinato

Lo stesso blocco di 5,0 kg viene spinto in salita per 4,0 m lungo lo stesso piano, con una forza di 40 N parallela al piano. Calcola il lavoro totale.

L_F = + 40 · 4,0 = +160 J

L_P = − m g h = − 98 J (ora il peso ostacola il moto)

L_a = − 34 J (l'attrito si oppone sempre, in salita come in discesa)

L_tot = 160 − 98 − 34 = +28 J

Il lavoro totale è positivo, quindi il blocco accelera lungo la salita. Se il blocco fosse già in movimento e la forza applicata fosse stata di 33 N, il lavoro totale sarebbe stato nullo e il blocco sarebbe salito a velocità costante.

In sintesi

Quattro passi: disegna le forze, disegna lo spostamento, calcola un lavoro per ogni forza, somma algebricamente.
Le forze perpendicolari allo spostamento (reazione vincolare, peso durante spostamenti orizzontali) hanno lavoro nullo.
Il lavoro del peso vale sempre ± m · g · h, qualunque sia il percorso.
Il lavoro dell'attrito è − k_d · N · s: il punto critico è calcolare la forza premente N, che non sempre vale m · g.
Sul piano inclinato, con β inclinazione rispetto all'orizzontale: L_peso = ± m g senβ s e, in assenza di altre componenti perpendicolari, N = m g cosβ.
Il controllo definitivo: il lavoro del peso deve sempre tornare uguale a m · g · h.

Verifica se hai capito

1. Un corpo scende lungo un piano inclinato di 45° per 3,0 m. Di quanto è sceso in verticale?

h = s · senβ = 3,0 · sen 45° = 3,0 · 0,707 = 2,1 m. Solo a 45° seno e coseno coincidono: è l'unico caso in cui uno scambio fra i due non viene scoperto dal calcolo, motivo in più per non affidarsi alla memoria.

2. Perché spingere una cassa dall'alto verso il basso rende più difficile spostarla?

Perché la componente verticale della forza si somma al peso e aumenta la reazione vincolare N. Essendo F_a = k_d · N, cresce anche l'attrito, e il lavoro resistente aumenta. Conviene invece tirare leggermente verso l'alto.

3. Un blocco sale lungo un piano inclinato e poi ridiscende fino al punto di partenza. Quanto vale il lavoro totale della forza peso sull'intero percorso? E quello dell'attrito?

Il lavoro del peso è nullo: negativo in salita, positivo in discesa, con lo stesso valore assoluto perché il dislivello complessivo è zero. Il lavoro dell'attrito invece è negativo in entrambi i tratti e si somma: dipende dalla lunghezza totale percorsa, non dal dislivello.

4. Calcola il lavoro della forza peso su un blocco di 8,0 kg che scende per 5,0 m lungo un piano inclinato di 20° (g = 9,8 m/s²).

h = 5,0 · senβ = 5,0 · sen 20° = 5,0 · 0,342 = 1,71 m; L_P = 8,0 · 9,8 · 1,71 = +134 J.

5. Nell'Esempio 3, quale forza sarebbe necessaria per far salire il blocco a velocità costante?

A velocità costante il lavoro totale è nullo, quindi F · s = 98 + 34 = 132 J, da cui F = 132 : 4,0 = 33 N. Equivalentemente: F deve equilibrare m g senβ = 24,5 N più F_a = 8,49 N, cioè 33 N.

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