Officina dell'Energia › Parte 2 › L'Energia Potenziale Gravitazionale
L'energia che un corpo possiede per il solo fatto di trovarsi in alto.
Solleviamo lentamente un corpo di massa m fino a un'altezza h. Come abbiamo visto nella lezione sul lavoro, se il sollevamento avviene a velocità costante la forza che applichiamo vale F = m · g e compie un lavoro
Alla fine dell'operazione il corpo è fermo, esattamente come all'inizio. La sua energia cinetica è la stessa di prima: zero. Dove è finito allora tutto quel lavoro?
La risposta si ottiene lasciando andare il corpo. Appena lo liberiamo, comincia a cadere e acquista velocità: alla fine della caduta avrà energia cinetica. Quell'energia non è comparsa dal nulla, e non l'abbiamo fornita in quel momento: era già lì, immagazzinata nella posizione elevata del corpo.
La trasformazione in energia cinetica non è immediata: il corpo sollevato non si muove, non ha ancora velocità. Per convertire quell'energia bisogna lasciargli il tempo di cadere. L'energia c'è, ma è «in attesa»: da qui il nome potenziale, cioè in potenza, disponibile ma non ancora manifesta.
Per attribuire un valore a questa energia procediamo così: fissiamo un piano di riferimento e calcoliamo il lavoro che la forza peso compirà quando il corpo cadrà fino a quel piano. Quel lavoro vale m · g · h, e sappiamo che durante la caduta si trasformerà interamente in energia cinetica.
Possiamo quindi dire che un corpo posto a un'altezza h possiede un'energia potenziale gravitazionale pari a:
Dipendendo dalla forza peso, e quindi dall'attrazione gravitazionale della Terra, questa energia si chiama gravitazionale.
Figura 1 — L'energia potenziale gravitazionale dipende soltanto dalla massa e dalla quota.
Diciamo per comodità che «il corpo possiede energia potenziale», ma a rigore l'energia è una proprietà del sistema corpo-Terra: nasce dall'interazione gravitazionale fra i due, e senza la Terra non esisterebbe. È lo stesso motivo per cui il valore di U dipende da g, che è una caratteristica del pianeta e non del corpo. Nei problemi la semplificazione non crea danni, ma è bene sapere com'è la situazione.
Quando un corpo passa da un'altezza hA a un'altezza hB, il lavoro della forza peso vale
È una relazione da leggere con attenzione, perché contiene tutta la logica dell'energia potenziale:
| Il corpo… | Lavoro del peso | Energia potenziale | Interpretazione |
|---|---|---|---|
| scende (hB < hA) | L > 0 | diminuisce | L'energia immagazzinata viene «spesa» e diventa cinetica |
| sale (hB > hA) | L < 0 | aumenta | Si sta mettendo energia da parte |
| resta alla stessa quota | L = 0 | invariata | Nessuno scambio con il campo gravitazionale |
Il segno meno nella formula L = −ΔU non è un dettaglio formale: dice che quando il peso compie lavoro positivo, l'energia potenziale cala. Il serbatoio si svuota per alimentare il movimento.
La forza peso gode di una proprietà particolare: il lavoro che compie su un corpo in movimento non dipende dal percorso seguito, ma solo dalla posizione iniziale e da quella finale. Che il corpo scenda in verticale, lungo uno scivolo o per una scala a chiocciola, il lavoro del peso è sempre m · g · h, con h il dislivello fra partenza e arrivo.
Per indicare questa proprietà diciamo che la forza peso è conservativa. È esattamente ciò che rende possibile definire un'energia potenziale: se il lavoro dipendesse dal percorso, non avrebbe senso associare a ogni punto dello spazio un valore di energia, perché quel valore cambierebbe a seconda di come ci si è arrivati.
Nella prossima lezione vedremo prima come si sceglie il piano di riferimento, e in quella successiva dimostreremo l'indipendenza dal percorso confrontando tre traiettorie diverse.
Un libro di 1,2 kg viene posato su uno scaffale alto 1,8 m dal pavimento. Quanta energia potenziale possiede rispetto al pavimento? (g = 9,8 m/s²)
U = m g h = 1,2 · 9,8 · 1,8 = 21 J
Un ascensore con dentro una persona, per una massa complessiva di 400 kg, sale dal piano terra al terzo piano, 9,0 m più in alto. Di quanto aumenta l'energia potenziale? Quanto lavoro ha compiuto la forza peso?
ΔU = m g (hB − hA) = 400 · 9,8 · 9,0 = +35 280 J
Lpeso = − ΔU = −35 280 J
Il motore dell'ascensore ha dovuto fornire almeno 35 280 J: in pratica di più, per vincere gli attriti.
Un corpo di 5,0 kg possiede 490 J di energia potenziale rispetto al suolo. A che altezza si trova?
h = U / (m g) = 490 : (5,0 · 9,8) = 490 : 49 = 10 m
Lo stesso corpo di 5,0 kg viene portato a 10 m di altezza sulla Luna, dove g = 1,6 m/s². Quanta energia potenziale possiede?
U = 5,0 · 1,6 · 10 = 80 J
Circa sei volte meno che sulla Terra: sollevare oggetti sulla Luna costa molto meno, e lasciandoli cadere si ottiene molto meno in cambio.
No: U è proporzionale alla massa, quindi il corpo più pesante ne ha di più. Cadendo però arrivano al suolo con la stessa velocità, perché nell'equazione della conservazione la massa si semplifica.
Perché nasce dal lavoro di una forza costante (il peso) lungo uno spostamento h, e il prodotto di una costante per h è lineare. L'energia cinetica invece nasce da un processo in cui la velocità cresce durante lo spostamento, e questo genera il quadrato.
Zero, perché il dislivello complessivo è nullo: il lavoro negativo della salita è compensato esattamente da quello positivo della discesa. È una conseguenza diretta del fatto che la forza peso è conservativa.
LF = 25 · 9,8 · 2,0 = +490 J; Lpeso = −490 J. L'energia potenziale del sacco è aumentata di 490 J.
Perché il corpo sollevato non manifesta alcun movimento: l'energia c'è ma non produce effetti finché non si lascia cadere il corpo, dando alla forza peso lo spazio per compiere lavoro.