Officina dell'Elettrostatica › Modulo 4 › Energia Potenziale e Potenziale Elettrico
Dal lavoro del campo elettrico al potenziale, fino alle superfici equipotenziali, ai conduttori e alla gabbia di Faraday.
Quando una carica elettrica si sposta all'interno di una regione in cui è presente un campo elettrico E, su di essa agisce la forza elettrostatica F = q · E. Se la carica compie uno spostamento, la forza compie un lavoro, trasferendo o sottraendo energia al sistema.
Se una carica positiva si muove spontaneamente nel verso delle linee di campo, la forza favorisce il moto: il lavoro compiuto dal campo è positivo (motore) e l'energia cinetica della carica aumenta a spese dell'energia del campo. Se invece forziamo la carica a muoversi in verso opposto al campo, il lavoro del campo è negativo (resistente) e occorre spendere lavoro dall'esterno contro le forze elettrostatiche.
Se una forza costante F produce uno spostamento di modulo s, il lavoro dipende anche dall'angolo α tra la forza e lo spostamento. Conta infatti soltanto la componente della forza nella direzione del moto.
Un sistema può possedere energia perché i suoi corpi sono in movimento: è l'energia cinetica. Può però possedere energia anche per il modo in cui le sue parti sono disposte nello spazio: è l'energia potenziale.
Nel caso elettrico, separare o avvicinare cariche contro la forza elettrica richiede lavoro esterno. Quel lavoro può rimanere immagazzinato nella configurazione del sistema come energia potenziale elettrostatica.
Proprio come la forza peso studiata in meccanica, anche la forza elettrostatica gode di una proprietà fondamentale verificata sperimentalmente:
L'energia potenziale ha significato rispetto a un riferimento. Si sceglie una configurazione alla quale attribuire convenzionalmente U = 0 e si confrontano con essa tutte le altre configurazioni.
Vicino alla superficie terrestre scegliamo spesso il suolo come livello di riferimento. Un corpo posto a quota h possiede energia potenziale gravitazionale U = mgh rispetto al suolo. In elettrostatica si usa spesso come riferimento una distanza molto grande, idealmente infinita, tra le cariche.
Una forza che possiede questa proprietà si definisce forza conservativa. Di conseguenza:
Il lavoro del campo coincide con la diminuzione dell'energia potenziale del sistema tra lo stato iniziale e quello finale:
Se una carica parte da A e, dopo un percorso qualsiasi, ritorna esattamente in A, lo stato iniziale e quello finale coincidono. Perciò la variazione di energia potenziale è zero e anche il lavoro totale del campo è zero.
La stessa proprietà si esprime dicendo che la circuitazione del campo elettrostatico lungo una linea chiusa è nulla:
Un campo elettrico si dice uniforme se possiede lo stesso modulo, la stessa direzione e lo stesso verso in ogni punto dello spazio. Una configurazione di questo tipo si realizza sperimentalmente nello spazio compreso tra due armature metalliche piane, parallele e cariche con segni opposti (il modello del condensatore piano).
Figura 1 — In un campo uniforme, la forza su una carica positiva è costante e parallela alle linee di campo: il lavoro compiuto è L = q · E · d.
Essendo il campo costante, anche la forza F = q · E è costante. Per uno spostamento rettilineo di modulo d parallelo alle linee di campo, il lavoro si calcola direttamente:
Se lo spostamento forma un angolo α con le linee di campo, si considera la sola componente parallela: L = q · E · d · cosα.
Immaginiamo di andare da A a B in un campo uniforme. Possiamo seguire il segmento diretto oppure un percorso spezzato. Nei tratti perpendicolari al campo il lavoro è nullo; nei tratti inclinati conta soltanto la proiezione dello spostamento nella direzione del campo.
Alla fine, qualunque sia il cammino scelto, la somma delle proiezioni nella direzione del campo è sempre la stessa. Il lavoro dipende quindi soltanto dalla posizione iniziale e finale.
In un campo uniforme, se tra A e B la distanza misurata lungo la direzione del campo è d, il lavoro del campo è sempre L = qEd, anche se la carica raggiunge B seguendo un percorso più lungo e tortuoso.
Nel campo generato da una singola carica puntiforme Q, l'intensità del campo non è costante ma decresce con il quadrato della distanza (E ∝ 1/r2). Calcolando il lavoro compiuto dal campo per spostare una carica q da una distanza rA a una distanza rB dalla sorgente:
Fissando per convenzione il livello zero dell'energia potenziale a distanza infinita (U(∞) = 0), l'energia potenziale elettrostatica di due cariche puntiformi a distanza r risulta:
La formula U(r) = k0Qq/r si può ricavare dividendo lo spostamento della carica in molti piccoli tratti e osservando che, nella somma dei lavori, i termini intermedi si cancellano progressivamente.
La dimostrazione completa è riportata in una pagina separata, così puoi leggerla con calma senza interrompere il filo principale della lezione.
Vedi la dimostrazione →Per un sistema formato da più cariche, l'energia potenziale totale si ottiene sommando l'energia di ogni coppia di cariche una sola volta.
Con tre cariche A, B e C le coppie sono AB, AC e BC. Quindi:
L'energia potenziale U descrive il sistema di cariche nel suo complesso. Vogliamo ora definire una grandezza che sia una proprietà esclusiva dello spazio, indipendente dal valore della carica di prova posta nel punto.
Dividendo l'energia potenziale per la carica di prova q0, si ottiene il potenziale elettrico V:
Una collina possiede una certa quota anche se sulla sua cima non c'è nessun oggetto. Se vi appoggiamo una pietra, la sua energia potenziale dipende sia dalla quota sia dalla massa della pietra.
Allo stesso modo, il potenziale elettrico descrive la «quota elettrica» di un punto dello spazio. L'energia potenziale di una carica posta in quel punto dipende dal potenziale del punto e dal valore della carica: U = qV.
Il potenziale è uno scalare. Se più cariche sorgente contribuiscono al potenziale in uno stesso punto, non servono scomposizioni vettoriali: si sommano semplicemente i contributi con il loro segno.
| Che cosa descriviamo | Punto di vista delle forze | Punto di vista dell'energia |
|---|---|---|
| Proprietà dello spazio creata dalle sorgenti | Campo elettrico E [N/C] | Potenziale elettrico V [J/C = V] |
| Effetto su una carica q | F = qE | U = qV |
Un punto P dello spazio ha un potenziale di 1 volt se una carica di 1 coulomb posta in P possiede un'energia potenziale di 1 joule.
Per le particelle elementari il joule è un'unità enorme e scomoda. Si usa allora l'elettronvolt (eV): è l'energia acquistata da una carica pari a quella dell'elettrone quando attraversa una differenza di potenziale di 1 volt.
L'elettrone dell'Esempio 1, accelerato da 200 V, acquista quindi esattamente 200 eV. Attenzione: l'elettronvolt è un'unità di energia, non di potenziale.
Nei problemi pratici e nei circuiti non si misura quasi mai il potenziale assoluto, bensì la differenza di potenziale ΔV tra due punti A e B:
Posto il riferimento nullo a distanza infinita, il potenziale generato da una carica puntiforme Q a distanza r vale:
In un campo uniforme il lavoro può essere scritto sia come L = q · E · d sia come L = −q · ΔV. Se lo spostamento avviene nel verso del campo, il potenziale diminuisce:
Si definisce superficie equipotenziale il luogo geometrico di tutti i punti dello spazio in cui il potenziale elettrico assume il medesimo valore costante (V = cost).
Figura 2 — Superfici equipotenziali (cerchi tratteggiati) e linee di campo (frecce continue): in ogni punto intersezione le due famiglie di curve sono rigorosamente perpendicolari.
Le superfici equipotenziali godono di due proprietà geometriche e fisiche determinanti:
Le linee di campo sono perpendicolari alle superfici equipotenziali e puntano, per convenzione, nel verso in cui il potenziale diminuisce più rapidamente. Per questo compare il segno meno nella relazione tra campo e potenziale.
Un conduttore si trova in equilibrio elettrostatico quando al suo interno non è presente alcun moto ordinato di cariche elettriche (le correnti transitorie si sono esaurite). Da questa condizione discendono quattro proprietà:
| Proprietà | Enunciato fisico | Conseguenza |
|---|---|---|
| Campo interno nullo | Einterno = 0 | Se non fosse nullo, gli elettroni liberi si muoverebbero per effetto di F = qE, violando l'ipotesi di equilibrio. |
| Carica solo in superficie | qinterna = 0 | Le cariche in eccesso dello stesso segno si respingono alla massima distanza possibile, disponendosi sulla superficie esterna. |
| Potenziale costante | V = costante in tutto il volume | Essendo E = 0 ovunque all'interno, non c'è dislivello di potenziale: l'intero corpo conduttore è una regione equipotenziale. |
| Campo perpendicolare alla superficie | E ⊥ superficie esterna | Se il campo esterno avesse una componente parallela, le cariche scorrerebbero lungo la superficie rompendo l'equilibrio. |
Consideriamo un conduttore cavo. Anche in presenza di una cavità interna vuota priva di cariche, all'equilibrio elettrostatico il campo elettrico all'interno della cavità rimane rigorosamente nullo, qualunque sia la carica presente sul conduttore e qualunque sia il campo elettrico esterno applicato.
Questo fenomeno è noto come schermo elettrostatico o gabbia di Faraday (dal celebre esperimento in cui Michael Faraday si rinchiuse all'interno di una grande gabbia metallica colpita da scariche elettriche senza subire conseguenze):
Un elettrone (m = 9,11 × 10−31 kg, q = −1,60 × 10−19 C), inizialmente fermo, viene accelerato da una differenza di potenziale ΔV = 200 V tra due piastre. Calcola il lavoro compiuto dal campo e la velocità finale dell'elettrone.
L = − q · ΔV = − (−1,60 × 10−19 C) · (+200 V) = +3,20 × 10−17 J
Per il teorema dell'energia cinetica (L = ΔEc = ½ m vf2 − 0):
vf = √( 2L / m ) = √( (2 · 3,20 × 10−17) / (9,11 × 10−31) ) = √( 7,025 × 1013 ) ≈ 8,38 × 106 m/s
Due cariche puntiformi q1 = +6,0 nC e q2 = −2,0 nC sono poste nel vuoto alle coordinate x1 = 0 cm e x2 = 8,0 cm. Calcola il potenziale elettrico totale nel punto medio P (xP = 4,0 cm).
La distanza di P da entrambe le cariche è r = 0,040 m. Il potenziale è una grandezza scalare: non occorre alcuna scomposizione vettoriale, si sommano semplicemente i valori algebrici:
V1 = k0 · q1 / r = ( 9,0 × 109 · 6,0 × 10−9 ) / 0,040 = 54 / 0,040 = +1 350 V
V2 = k0 · q2 / r = ( 9,0 × 109 · (−2,0 × 10−9) ) / 0,040 = −18 / 0,040 = −450 V
Vtot = V1 + V2 = 1 350 + (−450) = +900 V
Tre cariche qA = +2,0 nC, qB = +3,0 nC e qC = −1,0 nC si trovano ai vertici di un triangolo con distanze rAB = 0,10 m, rAC = 0,20 m e rBC = 0,15 m. L'energia potenziale totale si ottiene sommando i tre contributi di coppia:
Utot = k0[(qAqB/rAB) + (qAqC/rAC) + (qBqC/rBC)]
Il segno di ogni termine dipende dal prodotto delle due cariche: coppie dello stesso segno danno un contributo positivo, coppie di segno opposto un contributo negativo.
| Errore comune | Spiegazione corretta |
|---|---|
| Trattare il potenziale come un vettore | Il potenziale è uno scalare: si somma algebricamente con il segno di ciascuna carica, senza seni o coseni. |
| Confondere r ed r2 nelle formule del potenziale | Il campo elettrico decresce come 1/r2; il potenziale elettrico decresce come 1/r. |
| Dimenticare il segno meno nella relazione L = −ΔU | Il lavoro compiuto dal campo corrisponde alla diminuzione dell'energia potenziale: L = UA − UB. |
| Pensare che cariche negative scendano verso potenziali minori | Le cariche negative si muovono spontaneamente verso potenziali maggiori (ΔV > 0). |
| Ritenere che la gabbia di Faraday schermi la gravità | Lo schermo elettrostatico funziona esclusivamente per le forze elettriche; la gravità non può essere schermata. |
| Usare E = ΔV/d senza considerare il verso | In forma orientata lungo la linea di campo vale ΔV = −Ed, quindi E = −ΔV/d. Se si usano soltanto i moduli, E = |ΔV|/d. |
| Contare due volte le coppie nell'energia potenziale di più cariche | Ogni coppia deve comparire una sola volta: per tre cariche si sommano soltanto AB, AC e BC. |
Il lavoro è esattamente zero. Trattandosi di una traiettoria lungo una superficie equipotenziale, il dislivello di potenziale è nullo (ΔV = 0), quindi L = −q · ΔV = 0.
E = ΔV / d = 120 V / 0,020 m = 6 000 V/m (o 6 000 N/C).
Se E fosse diverso da zero, gli elettroni liberi risentirebbero di una forza non nulla (F = qE) e comincerebbero a muoversi in modo ordinato, generando una corrente elettrica. Questo contraddirebbe la definizione di equilibrio elettrostatico, che richiede cariche macroscopicamente ferme.
Si distribuiscono istantaneamente e interamente sulla superficie esterna del conduttore a causa della mutua repulsione coulombiana. Sulla parete della cavità interna e nello spessore metallico la densità di carica netta è esattamente zero.
No. Il campo elettrico è legato alla derivata spaziale (variazione) del potenziale (E = −ΔV/Δs). Il campo è nullo dove il potenziale è costante, non necessariamente zero. L'interno di un conduttore carico ne è la dimostrazione: E = 0 ovunque, ma V assume un valore costante non nullo.
Perché il potenziale è uno scalare: basta sommare algebricamente i contributi k0Qi/ri. Il campo elettrico è invece un vettore e richiede di considerare anche direzione e verso.
Significa che, se una carica percorre un tragitto chiuso e torna al punto di partenza, il lavoro totale compiuto dal campo è zero. È una conseguenza diretta del fatto che il campo elettrostatico è conservativo.