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Dalla forza a distanza al concetto di campo: definizione, linee di forza e configurazioni a più cariche.
La legge di Coulomb descrive con precisione la forza che due cariche esercitano l'una sull'altra. Per descrivere però l'effetto che una carica produce nello spazio che la circonda, anche prima di collocarvi una seconda carica, è utile introdurre una nuova grandezza: il campo elettrico.
Una carica elettrica sorgente Q genera nello spazio circostante un campo elettrico: a ogni punto di quello spazio è associato un vettore E, presente anche in assenza di altre cariche. Quando una seconda carica viene posta in un punto, essa risente localmente della forza esercitata dal campo in quel punto.
La carica sorgente crea il campo nello spazio circostante; una carica posta in quello spazio risente della forza esercitata dal campo nel punto in cui si trova.
Per misurare il campo elettrico in un punto P dello spazio, si immagina di porre in quel punto una carica di prova (o carica esploratrice) q0, positiva e di valore sufficientemente piccolo da non alterare in modo apprezzabile la distribuzione delle cariche che generano il campo.
Sulla carica di prova agisce una forza elettrostatica F. Il vettore campo elettrico E nel punto P è definito come il rapporto tra la forza agente sulla carica di prova e il valore della carica stessa:
Per convenzione, direzione e verso di E sono quelli della forza che agirebbe su una carica di prova positiva posta nel punto considerato.
Se nel campo viene posta una qualsiasi carica q, la forza che essa subisce è:
Consideriamo una singola carica puntiforme Q posta nel vuoto. Per determinare il campo che essa genera in un punto P a distanza r, immaginiamo di porre in P una carica di prova positiva q0. La forza di Coulomb agente su q0 vale:
F = k0 · ( |Q| · q0 ) / r2
Applicando la definizione di campo E = F / q0, il valore di q0 si semplifica e si ottiene il modulo del campo generato da Q:
| Sorgente | Segno della carica | Direzione del vettore E | Verso del vettore E |
|---|---|---|---|
| Carica positiva | Q > 0 | Radiale (lungo la retta passante per la carica e per P) | Uscente (allontanamento dalla sorgente) |
| Carica negativa | Q < 0 | Radiale (lungo la retta passante per la carica e per P) | Entrante (diretto verso la sorgente) |
Per rappresentare graficamente l'andamento del campo elettrico nello spazio si utilizzano le linee di forza, introdotte da Faraday. Una linea di campo è una curva tracciata in modo tale che, in ogni suo punto, il vettore campo elettrico E sia tangente alla curva e orientato nello stesso verso.
Le linee di campo non sono oggetti fisici presenti nello spazio: sono uno strumento grafico che permette di visualizzare direzione, verso e intensità del campo.
Nella simulazione Il campo di una singola carica puoi variare la carica sorgente Q e osservare le linee di forza, uscenti quando la carica è positiva ed entranti quando è negativa. Attivando la carica di prova q0 puoi trascinarla nello spazio attorno alla sorgente: il vettore forza indica in ogni punto direzione e verso del campo e diventa più corto man mano che la distanza aumenta.
Quando nello spazio sono presenti più cariche, ciascuna genera il proprio campo elettrico. Il campo risultante in un punto P si ottiene applicando il principio di sovrapposizione: si sommano vettorialmente i campi prodotti dalle singole cariche.
Un dipolo elettrico è costituito da due cariche di valore assoluto identico ma di segno opposto (+q e −q), poste a una distanza fissa d. Le linee di campo partono dalla carica positiva e si incurvano fino a terminare sulla carica negativa.
Figura 1 — Linee di campo di un dipolo elettrico: partono dalla carica positiva e terminano sulla carica negativa.
Supponiamo che la carica positiva sia a sinistra e quella negativa a destra. Nel punto medio del segmento che le unisce, il campo dovuto alla carica positiva è diretto verso destra e anche il campo dovuto alla carica negativa è diretto verso destra. I due contributi hanno quindi lo stesso verso e si sommano: Etot = E1 + E2 ≠ 0.
Lo stesso ragionamento vale in qualsiasi punto dello spazio. Consideriamo una linea di campo del dipolo e poniamo la carica di prova q0 in punti diversi lungo di essa. In ciascun punto agiscono due forze: F1, esercitata dalla carica positiva, è repulsiva e diretta lungo la retta che congiunge +q e q0, allontanandosi da +q; F2, esercitata dalla carica negativa, è attrattiva e diretta verso −q. La loro somma vettoriale, ottenuta con la regola del parallelogramma, è la forza risultante F.
Figura 2 — Una carica di prova q0 posta in tre punti di una linea di campo del dipolo. In ogni punto la risultante F delle forze esercitate dalle due cariche è tangente alla linea di campo e ha il suo stesso verso. In ciascun punto le tre forze sono disegnate nella stessa scala; da un punto all'altro la scala cambia per rendere leggibili i vettori.
Vicino alla carica positiva prevale la forza F1, vicino a quella negativa prevale F2, mentre nel punto più alto della linea, alla stessa distanza dalle due cariche, le due forze hanno lo stesso modulo. In tutti i casi, però, la risultante è tangente alla linea di campo e orientata nel suo stesso verso. Non è una coincidenza: la forza sulla carica di prova è F = q0E, quindi ha la direzione e il verso del campo, e la linea di campo è costruita proprio in modo che E le sia tangente in ogni punto.
Se entrambe le cariche sono positive, le linee di campo si allontanano da entrambe senza mai congiungersi. Nel punto medio esatto tra due cariche uguali, i campi E1 ed E2 hanno lo stesso modulo ma versi opposti e quindi si annullano:
Nella simulazione Il campo di due cariche puoi scegliere valore e segno delle due cariche, cambiarne la distanza e visualizzare le linee di forza. Confronta le due situazioni: con cariche di segno opposto le linee partono da una carica e terminano sull'altra; con cariche dello stesso segno le linee si allontanano da entrambe senza congiungersi.
Il procedimento non cambia quando le cariche sono tre o più. Per determinare il campo risultante in un punto P conviene procedere in quattro passaggi:
Ex,tot = ∑ Eix
Ey,tot = ∑ Eiy
Nella simulazione Il sistema di tre cariche puoi variare tre cariche allineate e osservare su ciascuna la forza risultante insieme ai contributi delle altre due: ogni contributo si somma agli altri come se le altre cariche non ci fossero, secondo lo stesso principio di sovrapposizione che vale per il campo. Attivando le linee di forza puoi vedere il campo generato dall'insieme delle tre cariche.
Finora abbiamo considerato campi che cambiano da punto a punto. Un campo si dice invece uniforme quando, nella regione considerata, ha lo stesso modulo, la stessa direzione e lo stesso verso in ogni punto.
Una configurazione che permette di ottenere, con buona approssimazione, un campo uniforme è quella di due grandi lastre metalliche piane e parallele, cariche con segni opposti e poste a piccola distanza rispetto alle loro dimensioni. È la configurazione tipica di un condensatore piano. Nella regione centrale tra le lastre, le linee di campo sono rettilinee, parallele ed equidistanti e sono dirette dalla lastra positiva verso quella negativa.
Nella regione in cui il campo può essere considerato uniforme, il valore di E non cambia spostandosi da un punto all'altro.
Vicino ai bordi delle lastre le linee di campo si incurvano: il campo non è più uniforme e cambiano sia il suo modulo sia la sua direzione. L'approssimazione è tanto migliore quanto più le dimensioni delle lastre sono grandi rispetto alla loro distanza.
Nella simulazione Dentro al condensatore puoi cambiare l'area delle armature, la loro distanza e il materiale interposto e osservare le frecce del campo tra le lastre: sono parallele, equidistanti e tutte uguali, perché il campo è uniforme. Il pannello dei dati riporta il valore di E, lo stesso in ogni punto tra le armature.
In un campo uniforme una carica q risente di una forza F = qE costante. Trascurando altre forze, il modulo dell'accelerazione è a = |q|E/m; il verso dell'accelerazione coincide con quello di E per una carica positiva ed è opposto per una carica negativa. Se la carica entra nel campo con velocità perpendicolare alle linee, la traiettoria è parabolica finché resta nella regione di campo uniforme.
L'idea di campo può sembrare astratta, perché il campo elettrico non si vede. Due situazioni familiari aiutano a capire che cosa significa dire che la carica sorgente non agisce direttamente sulle altre cariche, ma per mezzo del campo che genera.
Un tappo di sughero galleggia fermo sul pelo dell'acqua di uno stagno. A qualche metro di distanza cade un sasso. Il tappo inizia a oscillare, ma non subito: il sasso non lo tocca e non agisce direttamente su di esso. Nel punto in cui il sasso cade si formano delle onde che si propagano sulla superficie dell'acqua e il tappo si mette in moto solo quando le onde lo raggiungono.
Il tappo, dunque, risponde a ciò che accade nel punto in cui si trova, cioè alla superficie dell'acqua che si muove sotto di lui. In modo analogo, una carica risponde al campo elettrico presente nel punto in cui si trova, e non direttamente alla carica sorgente lontana: la carica sorgente corrisponde al sasso, la carica di prova al tappo e le onde sull'acqua al campo.
Le onde sull'acqua hanno bisogno dell'acqua per propagarsi; il campo elettrico invece esiste anche nel vuoto, senza alcun mezzo materiale. Inoltre, attorno a una carica ferma il campo non oscilla: è sempre presente e costante nel tempo. Le onde, cioè un campo che si propaga, compaiono quando la carica sorgente si muove o cambia, e viaggiano alla velocità della luce.
Un messaggio viene inviato da un cellulare. Le onde radio che lo trasportano partono solo se c'è un altro telefono acceso pronto a riceverle, oppure partono anche se il telefono del destinatario è spento?
Le onde radio partono comunque. Il telefono che invia il messaggio emette un'onda elettromagnetica, cioè un campo elettrico e magnetico che si propaga nello spazio, e questa raggiunge l'antenna della rete in ogni caso: il suo viaggio non dipende dalla presenza di un ricevitore. Se il telefono del destinatario è spento, la rete conserva il messaggio e lo inoltra appena il telefono si riaccende.
Lo stesso vale per il campo elettrico di una carica: esiste in ogni punto dello spazio circostante anche quando lì non c'è nessuna carica a risentirne. La carica di prova non crea il campo, lo rivela, come un telefono acceso rivela le onde radio che già attraversano la stanza.
Calcola l'intensità del campo elettrico generato da una carica puntiforme Q = +5,0 nC a una distanza r = 30 cm nel vuoto.
Q = 5,0 × 10−9 C r = 0,30 m
E = k0 · |Q| / r2 = ( 9,0 × 109 N·m2/C2 · 5,0 × 10−9 C ) / (0,30 m)2
E = 45 / 0,090 = 5,0 × 102 N/C
Il vettore ha direzione radiale ed è rivolto verso l'esterno (uscente dalla carica positiva).
Due cariche puntiformi q1 = +16 μC e q2 = +4,0 μC sono collocate sull'asse x alle posizioni x1 = 0 m e x2 = 3,0 m. Determina il punto in cui il campo elettrico totale si annulla.
Essendo entrambe positive, i vettori E1 ed E2 hanno versi opposti solo nei punti interni al segmento congiungente (0 < x < 3). Ponendo la distanza da q1 pari a x, la distanza da q2 è (3,0 − x):
E1 = E2 → k0 · q1 / x2 = k0 · q2 / (3,0 − x)2
16 / x2 = 4 / (3,0 − x)2
Estraendo la radice quadrata da ambo i membri:
4 / x = 2 / (3,0 − x) → 2 · (3,0 − x) = x → 6,0 − 2x = x → 3x = 6,0 → x = 2,0 m
Il campo si annulla nel punto di coordinate x = 2,0 m (a 2,0 m da q1 e a 1,0 m da q2).
Resta invariato. Raddoppiando q₀ raddoppia proporzionalmente anche la forza F agente su di essa. Il loro rapporto E = F / q₀ rimane rigorosamente costante, poiché il campo dipende unicamente dalle cariche sorgente.
Si muoverà nel verso opposto a quello del vettore E. Dalla relazione F = q · E, se la carica q è negativa il vettore forza ha verso contrario al campo.
In nessun punto a distanza finita. Lungo la retta congiungente i campi delle due cariche non si cancellano mai (tra le cariche sono concordi, all'esterno prevale sempre la carica più vicina). Fuori da quella retta i due campi non hanno la stessa direzione, perché E1 è diretto lungo la retta che passa per +q e E2 lungo quella che passa per −q: due vettori non paralleli non possono avere somma nulla. Il campo tende a zero soltanto a distanza infinita.
Perché in ogni punto dello spazio il campo elettrico risultante è unico e ben definito. Se due linee si intersecassero in un punto, in quel punto esisterebbero due diverse tangenti e quindi due direzioni distinte per il vettore E, il che è impossibile.
No: nella regione centrale il campo è uniforme, quindi ha lo stesso valore in ogni punto. È una differenza netta rispetto al campo di una carica puntiforme, che invece decresce come 1/r2. Vicino ai bordi, invece, il campo non è più uniforme: cambiano sia il suo modulo sia la sua direzione.
L'intensità si riduce a un quarto del valore iniziale (1/4), poiché il modulo del campo è inversamente proporzionale al quadrato della distanza (1/r2).