Elettrostatica › Metodo per risolvere i problemi
Una sequenza di domande da porsi, sempre nello stesso ordine, per calcolare la forza di Coulomb e il campo elettrico generati da più cariche.
Questa pagina ti guida nell'ordine delle domande da porti quando affronti un problema con più cariche puntiformi. Se un passaggio non è chiaro, torna alla teoria, in La legge di Coulomb e in Il campo elettrico.
Quando le cariche sono più di due, non basta una sola applicazione della legge di Coulomb. Vale il principio di sovrapposizione: ogni carica agisce sulle altre come se fosse da sola e la forza totale si ottiene sommando vettorialmente le forze esercitate dalle singole sorgenti. Un problema con molte cariche si riduce quindi a tanti problemi con due sole cariche, risolti uno alla volta.
Per ogni coppia di cariche la legge di Coulomb fornisce soltanto il modulo della forza:
Tutto il resto si legge sul disegno:
Il segno delle cariche non entra quindi nella formula: serve a decidere il verso della freccia. Non serve ricordare regole diverse per ogni disposizione: per ciascuna coppia basta chiedersi quanto distano le due cariche, lungo quale retta si trovano e se si attraggono o si respingono.
Le domande vanno poste sempre in quest'ordine. Le domande 2, 3 e 4 si affrontano sul disegno, prima di iniziare i calcoli.
La forza che agisce su una carica oppure il campo elettrico in un punto? Individua il bersaglio: la carica che subisce la forza, oppure il punto P in cui si vuole il campo. Tutte le altre cariche sono le sorgenti.
Osserva la figura o, se manca, disegna le cariche nelle loro posizioni, con il segno di ciascuna. Scegli due assi x e y e scrivi le coordinate di ogni carica e del bersaglio. Scegli gli assi in modo da semplificare il più possibile coordinate, distanze e componenti; quando possibile, conviene farli passare per alcune delle cariche.
Unisci ogni sorgente al bersaglio con un segmento. Di ciascun segmento ti servono due informazioni:
Disegna sul bersaglio una freccia per ogni sorgente, lungo il segmento che le unisce. Per una forza: se le due cariche hanno lo stesso segno la freccia punta via dalla sorgente; se hanno segno opposto punta verso la sorgente. Per il campo elettrico: se la sorgente è positiva il campo punta via dalla sorgente, se è negativa punta verso la sorgente. Prova a prevedere, prima di calcolare, da che parte punterà la risultante. Il calcolo dovrà confermare la tua previsione.
Trasforma prima i dati nelle unità del Sistema Internazionale: le cariche in coulomb (1 μC = 10−6 C, 1 nC = 10−9 C) e le distanze in metri. Per la forza applica la legge di Coulomb a una coppia sorgente-bersaglio alla volta, usando i valori assoluti delle cariche. Per il campo elettrico calcola invece il contributo di ciascuna sorgente con E = k0 · |Q| / r².
Scomponi ogni vettore lungo x e lungo y, attribuendo il segno a ogni componente in base al disegno. Somma algebricamente le componenti x tra loro e le componenti y tra loro. Dalle due somme ricava il modulo con il teorema di Pitagora. Per la direzione ricava prima l'angolo di riferimento con tan θ = |Vy| / |Vx|, dove V rappresenta la risultante, poi usa i segni delle due componenti per stabilire in quale quadrante si trova. Infine controlla le unità di misura e che il verso coincida con la previsione della domanda 4.
Questa è la parte del problema in cui la fisica lascia il posto alla geometria. Si lavora su una coppia alla volta: una sorgente S e il bersaglio P.
Se sorgente e bersaglio si trovano sulla stessa retta, si sceglie quella retta come asse x. La distanza è la differenza delle posizioni, presa in valore assoluto:
Non servono angoli: ogni forza è diretta lungo l'asse e ha una sola componente, positiva se punta nel verso dell'asse, negativa se punta nel verso opposto. La risultante è la somma algebrica.
Se le cariche non sono allineate, si costruisce un triangolo rettangolo che ha per ipotenusa il segmento che unisce la sorgente al bersaglio e per cateti gli spostamenti lungo i due assi.
Figura 1 — Il triangolo delle posizioni (cateti Δx e Δy, ipotenusa r) e il triangolo delle componenti della forza (cateti Fx e Fy, ipotenusa F) hanno lo stesso angolo φ.
Si calcolano gli spostamenti dalla sorgente al bersaglio:
La distanza è l'ipotenusa del triangolo e si ricava con il teorema di Pitagora:
L'angolo φ tra il segmento e l'asse x si ricava dai due cateti:
La forza è diretta lungo lo stesso segmento; per scomporla si usa quindi lo stesso angolo acuto di riferimento φ. Le sue componenti valgono, in modulo:
I due triangoli della figura 1 sono simili, quindi il coseno e il seno di φ si leggono direttamente sul triangolo delle posizioni: cos φ = |Δx| / r e sin φ = |Δy| / r. Le componenti si ottengono così senza calcolare φ: |Fx| = F · |Δx| / r e |Fy| = F · |Δy| / r.
Il modulo di ogni componente viene dal triangolo, il segno viene dal disegno: una componente è positiva se punta nel verso dell'asse, negativa se punta nel verso opposto. Chi preferisce una regola può usare gli spostamenti Δx e Δy, che sono stati calcolati dalla sorgente al bersaglio:
Le formule F cos φ per la componente x e F sin φ per la componente y valgono solo se φ è misurato rispetto all'asse x. Se la traccia fornisce l'angolo rispetto all'asse y, seno e coseno si scambiano. In caso di dubbio guarda il triangolo: il coseno accompagna sempre il cateto adiacente all'angolo, il seno quello opposto.
Spesso la traccia non fornisce le coordinate ma descrive una figura geometrica. Distanze e angoli si ricavano allora dalle proprietà della figura.
| Disposizione delle cariche | Distanze | Angoli |
|---|---|---|
| Sulla stessa retta | Differenza delle posizioni: r = |xP − xS|. | Nessuno: basta il segno lungo la retta. |
| Ai vertici di un triangolo rettangolo | I cateti sono dati; l'ipotenusa si ricava con Pitagora. | tan φ = cateto opposto / cateto adiacente. |
| Ai vertici di un triangolo equilatero di lato l | Tutte uguali a l. | Ogni lato forma 60° con gli altri due. |
| Ai vertici di un quadrato di lato l | l lungo i lati, l · √2 lungo la diagonale. | I lati sono paralleli agli assi; la diagonale forma 45° con i lati. |
| Bersaglio sull'asse perpendicolare del segmento che unisce due cariche distanti d, a distanza h dal punto medio | Uguali per le due cariche: r = √((d/2)² + h²). | cos φ = (d/2) / r, sin φ = h / r, con φ misurato rispetto al segmento. |
| Date con le coordinate | r = √(Δx² + Δy²). | cos φ = |Δx| / r, sin φ = |Δy| / r. |
Se due sorgenti uguali si trovano alla stessa distanza dal bersaglio, in posizioni simmetriche rispetto a un asse, le loro forze hanno lo stesso modulo. Le componenti perpendicolari all'asse di simmetria sono uguali e opposte e si annullano; restano solo le componenti lungo l'asse, che si sommano. Vale la pena cercare la simmetria sul disegno prima di calcolare.
Tre cariche sono ferme nel vuoto: q1 = +5,0 μC nell'origine, q2 = −3,0 μC nel punto (0,40 m; 0) e q3 = +2,0 μC nel punto (0,40 m; 0,30 m). Si vuole la forza totale che agisce su q3. Proviamo a rispondere alle domande.
Con F13 si indica la forza che la carica 1 esercita sulla carica 3: il primo indice è la sorgente, il secondo è il bersaglio. Allo stesso modo r13 è la distanza tra le cariche 1 e 3.
Figura 2 — Le forze si disegnano sul bersaglio q3: F13 è repulsiva e si allontana da q1, F23 è attrattiva e punta verso q2.
Il bersaglio è q3; le sorgenti sono q1 e q2. La forza tra q1 e q2 non interessa.
La risultante punterà quindi verso destra. Se verso l'alto o verso il basso lo dirà il confronto tra F23 e la componente y di F13: la minore distanza di q2 favorisce F23, ma solo il calcolo permette di stabilire quale contributo verticale prevale.
Con le cariche in coulomb e le distanze in metri:
| Forza | Componente x | Componente y |
|---|---|---|
| F13 | +0,360 · 0,80 = +0,288 N | +0,360 · 0,60 = +0,216 N |
| F23 | 0 | −0,599 N |
| Risultante | +0,288 N | −0,384 N |
Dalle due componenti si ricavano il modulo e la direzione della forza totale:
La risultante deve trovarsi tra le due forze che la compongono, più vicina a quella maggiore, e il suo modulo non può superare la somma dei moduli: qui 0,48 N è minore di 0,360 + 0,599 N. Sommare direttamente i moduli sarebbe corretto solo se le due forze avessero la stessa direzione e lo stesso verso.
Le domande sono le stesse. Cambia soltanto il bersaglio: non è più una carica ma un punto P dello spazio, nel quale si immagina di porre una carica di prova positiva. Il campo generato in P da una carica sorgente Q ha modulo:
La direzione è ancora quella della retta che unisce la sorgente al punto. Il verso dipende solo dal segno della sorgente:
Distanze e angoli si ricavano esattamente come nella sezione 3, e anche la regola dei segni è la stessa: le componenti del campo di una sorgente positiva hanno i segni di Δx e Δy, quelle del campo di una sorgente negativa i segni opposti.
Riprendiamo la disposizione precedente, togliendo q3: si vuole il campo generato da q1 = +5,0 μC e q2 = −3,0 μC nel punto P (0,40 m; 0,30 m).
Figura 3 — Nel punto P non c'è alcuna carica: i vettori rappresentano i campi generati dalle due sorgenti. E1 è uscente da q1, E2 è entrante in q2.
| Campo | Componente x | Componente y |
|---|---|---|
| E1 | +1,80 · 105 · 0,80 = +1,44 · 105 N/C | +1,80 · 105 · 0,60 = +1,08 · 105 N/C |
| E2 | 0 | −3,00 · 105 N/C |
| Risultante | +1,44 · 105 N/C | −1,92 · 105 N/C |
Il campo descrive il punto P, qualunque carica vi si ponga. Se in P si colloca una carica q, la forza che essa subisce è:
Con q3 = +2,0 μC si ottiene F = 2,0 · 10−6 · 2,4 · 105 = 0,48 N, nella stessa direzione e nello stesso verso del campo: è il risultato della sezione 4. Quando si deve calcolare la forza su più cariche diverse poste nello stesso punto, conviene quindi calcolare il campo una volta sola.
In un mezzo isolante di costante dielettrica relativa εr il metodo non cambia: distanze, angoli, direzioni e versi restano gli stessi. Cambiano soltanto i moduli, che vanno divisi per εr.
| Errore | Domanda che lo evita |
|---|---|
| Disegnare le forze sulle sorgenti invece che sul bersaglio. | Su quale carica, o in quale punto, mi viene chiesta la risposta? |
| Usare la distanza tra due sorgenti al posto di quella tra sorgente e bersaglio. | Quale segmento unisce questa sorgente al bersaglio? |
| Inserire nella formula le cariche con il segno. | Queste due cariche si attraggono o si respingono? |
| Lasciare le cariche in μC o le distanze in cm, oppure dimenticare il quadrato della distanza. | I dati sono in coulomb e in metri? La distanza è al quadrato? |
| Sommare i moduli di forze o campi che hanno direzioni diverse. | I vettori hanno la stessa direzione e lo stesso verso? |
| Scambiare seno e coseno nelle componenti. | Rispetto a quale asse è misurato l'angolo? |
| Dare segno positivo a tutte le componenti. | Sul disegno, questa componente punta nel verso dell'asse? |
| Far dipendere il verso del campo dalla carica posta nel punto. | La sorgente è positiva o negativa? |
Δx = 3 m e Δy = 4 m, quindi r = √(3² + 4²) = 5 m. Il segmento che le unisce forma con l'asse x un angolo φ tale che cos φ = 3/5 e sin φ = 4/5, cioè circa 53°.
È nullo. I due campi hanno lo stesso modulo, perché le cariche sono uguali e alla stessa distanza, la stessa direzione e versi opposti, perché ciascuno si allontana dalla propria sorgente. Sommare i due moduli sarebbe un errore.
Nel punto medio il campo della carica positiva si allontana da essa e quello della carica negativa punta verso di essa: i due vettori hanno lo stesso verso, dalla carica positiva a quella negativa. Il campo totale è il doppio di quello di una sola carica.
Le altre due cariche sono alla stessa distanza e in posizioni simmetriche: le due forze repulsive hanno lo stesso modulo. Le componenti perpendicolari all'asse di simmetria si annullano, quindi la risultante è diretta lungo l'asse del triangolo che passa per quel vertice e punta verso l'esterno.
Verso sinistra. Il campo ha il verso della forza che agirebbe su una carica positiva; su una carica negativa la forza ha la stessa direzione ma verso opposto. Il campo, invece, non cambia.
La forza attrattiva punta verso la sorgente, quindi verso destra e verso il basso: la componente x è positiva, la componente y è negativa. Con la regola degli spostamenti: dalla sorgente al bersaglio Δx è negativo e Δy è positivo, e per una forza attrattiva i segni si invertono.