Officina dell'Elettrostatica › Modulo 2 › La Legge di Coulomb
Dalla verifica sperimentale alla quantificazione delle forze tra cariche nel vuoto e nei mezzi materiali.
Il pendolino elettrostatico è un semplice apparato che permette di osservare e, in opportune condizioni, determinare una forza elettrica. È costituito da una sferetta conduttrice molto leggera (tipicamente polistirolo ricoperto di grafite o foglio d'alluminio) di massa m, sospesa a un supporto fisso tramite un filo isolante inestensibile di lunghezza L.
Quando una carica esterna Q viene avvicinata alla sferetta carica q, il pendolino subisce una deviazione laterale fino a raggiungere una posizione di equilibrio statico con un angolo di inclinazione θ. Se le due cariche hanno lo stesso segno la sferetta viene respinta; se hanno segno opposto viene attratta.
Nella configurazione rappresentata in figura, la carica sorgente è posta alla stessa altezza della sferetta: la forza elettrostatica è quindi orizzontale. È in questa particolare geometria che valgono le relazioni ricavate qui sotto.
Figura 1 — Diagramma delle forze agenti sulla sferetta del pendolino all'equilibrio statico: la tensione (T), cioè la forza che il filo esercita sulla sfera lungo la propria direzione, la forza peso (P) e la forza elettrostatica (Fe).
Nella simulazione Il pendolino elettrostatico puoi avvicinare la carica sorgente alla sferetta e osservare il filo che si inclina fino all'equilibrio. Puoi verificare sia il caso di attrazione sia quello di repulsione e osservare come cambia l'angolo θ al variare della carica e della distanza.
Sulla sferetta agiscono tre forze concorrenti la cui risultante deve essere nulla (ΣF = 0):
Dividendo membro a membro le due equazioni si elimina la tensione T, ottenendo una relazione diretta tra la forza elettrostatica e l'angolo θ:
Nella lezione precedente abbiamo descritto qualitativamente corpi neutri, positivi e negativi. Ora la carica elettrica viene trattata come una vera grandezza fisica: si indica generalmente con q o Q e nel Sistema Internazionale si misura in coulomb, simbolo C. Il segno + o − indica il tipo di carica.
Nelle esperienze elettrostatiche le cariche sono spesso molto più piccole di un coulomb. Per questo si usano frequentemente:
La carica elementare vale e ≈ 1,602 × 10−19 C. Il protone possiede carica +e, mentre l'elettrone possiede carica −e. Le cariche elettriche osservabili risultano da eccessi o difetti di elettroni.
Nel 1785 il fisico francese Charles-Augustin de Coulomb, per mezzo di una sensibilissima bilancia di torsione, riuscì a stabilire la legge quantitativa che governa l'interazione elettrostatica reciproca tra due cariche elettriche puntiformi ferme nel vuoto.
La formula fornisce il modulo della forza, quindi un valore sempre positivo. Per questo compare il valore assoluto del prodotto delle cariche. Il segno delle cariche serve invece a stabilire il verso dell'interazione: cariche dello stesso segno si respingono, cariche di segno opposto si attraggono.
Nella simulazione La forza fra due cariche puoi cambiare il valore delle due cariche e la loro distanza e leggere la forza che ne risulta: prova a raddoppiare una carica, poi a raddoppiare la distanza, e confronta i due effetti.
Le caratteristiche salienti della forza elettrostatica sono tre:
La legge è enunciata per cariche puntiformi, cioè per corpi le cui dimensioni sono trascurabili rispetto alla distanza che li separa. Due piccole sfere cariche sufficientemente lontane tra loro possono essere trattate, in buona approssimazione, come cariche puntiformi e la distanza r può essere presa fra i loro centri. Se invece le sfere sono vicine, la distribuzione della carica può modificarsi e questa approssimazione diventa meno accurata.
Nel Sistema Internazionale, la costante di proporzionalità k0 vale:
In fisica teorica ed elettromagnetismo, la costante k0 viene espressa in funzione di una costante fondamentale, la costante dielettrica del vuoto, detta anche permittività elettrica del vuoto, ε0:
La forza esercitata dalla carica 1 sulla carica 2 (F12) e la forza esercitata dalla carica 2 sulla carica 1 (F21) costituiscono una coppia di azione e reazione: hanno sempre lo stesso modulo, la stessa direzione, ma versi opposti (F12 = −F21), a prescindere dal fatto che una delle due cariche sia notevolmente più grande dell'altra.
Se due cariche puntiformi non si trovano nel vuoto ma immerse all'interno di un materiale isolante (dielettrico) omogeneo ed isotropo (come olio, vetro o acqua distillata), l'interazione attrattiva o repulsiva risulta attenuata a causa della polarizzazione delle molecole del mezzo circostante.
L'entità dell'indebolimento è quantificata da un numero puro adimensionale ≥ 1, denominato costante dielettrica relativa del mezzo, εr:
La relazione Fmezzo = Fvuoto / εr vale se il dielettrico riempie tutto lo spazio attorno alle due cariche ed è omogeneo e isotropo. Se il mezzo occupa solo una parte della regione, o se fra le cariche si interpone soltanto una lastra di materiale, il calcolo è più complesso e questa formula non si applica direttamente.
| Mezzo Dielettrico | Costante dielettrica relativa (εr) | Effetto sulla forza elettrostatica |
|---|---|---|
| Vuoto | εr = 1 (esatto) | Nessuna schermatura: forza massima. |
| Aria secca (a pressione standard) | εr ≈ 1,00059 | Praticamente identica al vuoto (εr ≈ 1 nei calcoli ordinari). |
| Olio minerale per trasformatori | εr ≈ 2,2 | La forza si riduce a meno della metà rispetto al vuoto. |
| Vetro comune | εr ≈ 5 – 10 | Forza ridotta da 5 a 10 volte. |
| Acqua distillata (a 20 °C) | εr ≈ 80 | Nel semplice modello di un mezzo dielettrico continuo, l'interazione elettrostatica risulta fortemente attenuata. |
In un sistema formato da più di due cariche elettriche puntiformi, la forza complessiva esercitata su una carica arbitraria q0 è determinata dal principio di sovrapposizione: la presenza di altre cariche non altera la mutua interazione tra due cariche prese singolarmente.
Nella simulazione La forza fra tre cariche puoi spostare tre cariche nel piano e vedere le singole forze accanto alla loro risultante: osserva che ciascuna coppia continua a interagire come se le altre cariche non ci fossero.
Non bisogna sommare direttamente i moduli delle forze. Se tutte le forze sono lungo la stessa retta, si può scegliere un verso positivo e sommare algebricamente le loro componenti con il relativo segno. Se invece hanno direzioni diverse, occorre scomporre ciascuna forza nelle componenti cartesiane (Fx e Fy), sommare separatamente le componenti e ricavare il modulo della risultante:
Due cariche puntiformi q1 = +4,0 μC e q2 = −6,0 μC sono poste nel vuoto a una distanza r1 = 0,20 m. Calcola la forza reciproca. Se la distanza viene triplicata (r2 = 0,60 m), come varia la forza?
F1 = k0 · ( |q1 · q2| ) / r12 = ( 9,0 × 109 · (4,0 × 10−6 · 6,0 × 10−6) ) / (0,20)2
F1 = ( 9,0 × 109 · 2,4 × 10−11 ) / 0,04 = 0,216 / 0,04 = 5,4 N (attrattiva)
Essendo la forza inversamente proporzionale a r2, se la distanza triplica (fattore 3), la forza si riduce di un fattore 32 = 9:
F2 = F1 / 9 = 5,4 N / 9 = 0,60 N
Due cariche q1 = +9,0 μC e q2 = +1,0 μC si trovano a distanza d = 1,2 m l'una dall'altra. In quale punto del segmento congiungente occorre collocare una terza carica q0 affinché rimanga in equilibrio elettrostatico?
Affinché la forza totale su q0 sia nulla, le forze F1 (dovuta a q1) e F2 (dovuta a q2) devono avere versi opposti e moduli identici. Indicando con x la distanza di q0 da q1, la distanza da q2 sarà (d − x):
k0 · ( |q1 · q0| ) / x2 = k0 · ( |q2 · q0| ) / (d − x)2
Semplificando k0 e |q0| (il segno e il valore di q0 sono del tutto ininfluenti):
q1 / x2 = q2 / (d − x)2 → 9,0 / x2 = 1,0 / (1,2 − x)2
Estraendo la radice quadrata da ambo i membri positivi:
3 / x = 1 / (1,2 − x) → 3 · (1,2 − x) = x → 3,6 − 3x = x → 4x = 3,6 → x = 0,90 m
La carica q0 deve essere posta a 0,90 m da q1 (e quindi a 0,30 m da q2), più vicina alla carica minore per compensarne il minor valore assoluto.
Esiste una sorprendente somiglianza formale tra la legge di Coulomb e la legge di gravitazione universale di Newton: entrambe le interazioni descrivono forze a distanza con proporzionalità inversa rispetto al quadrato della distanza (1/r2). Tuttavia, vi sono differenze fondamentali.
| Caratteristica | Forza di Coulomb | Forza Gravitazionale di Newton |
|---|---|---|
| Sorgente fisica | Carica elettrica (positiva o negativa) | Massa (sempre positiva) |
| Segno dell'azione | Sia attrattiva che repulsiva | Esclusivamente attrattiva |
| Influenza del mezzo | Dipende fortemente dal dielettrico frapposto (εr) | Non dipende dal mezzo interposto tra le masse |
| Costante fondamentale | k0 ≈ 8,99 × 109 N·m2/C2 | G ≈ 6,67 × 10−11 N·m2/kg2 |
| Intensità relativa | Enormemente più intensa a livello atomico | Trascurabile a livello particellare; dominante su scala cosmica |
Se calcoliamo il rapporto tra la forza elettrica di repulsione Fe e la forza gravitazionale di attrazione Fg tra due elettroni liberi posti a distanza arbitraria r:
Fe / Fg = [ k0 · e2 / r2 ] / [ G · me2 / r2 ] = ( k0 · e2 ) / ( G · me2 )
Fe / Fg ≈ ( 8,99 × 109 · (1,60 × 10−19)2 ) / ( 6,67 × 10−11 · (9,11 × 10−31)2 ) ≈ 4,17 × 1042
Tra due elettroni la forza elettrostatica è circa 4 × 1042 volte più intensa di quella gravitazionale. Su grande scala, però, i corpi astronomici sono generalmente quasi elettricamente neutri, perciò gli effetti elettrici positivi e negativi tendono in gran parte a compensarsi; la gravità, invece, è sempre attrattiva e i suoi effetti si sommano.
| Errore comune | Spiegazione corretta |
|---|---|
| Dimenticare di convertire i microcoulomb (μC) in coulomb (C) | 1 μC equivale a 10−6 C. Utilizzare valori non convertiti altera il risultato di milioni o miliardi di volte. |
| Usare i segni + e − direttamente nella formula del modulo e ottenere una "forza negativa" | La formula con |q1q2| fornisce il modulo della forza, che è sempre positivo. I segni delle cariche servono a stabilire se l'interazione è attrattiva o repulsiva. |
| Dimenticare il quadrato della distanza (r2) a denominatore | La dipendenza è da r2, non da r. Se la distanza raddoppia, la forza non si dimezza, ma diventa 1/4. |
| Sommare algebricamente i moduli con più cariche presenti | Le forze sono vettori: per sommarle occorre comporre le componenti parallele e perpendicolari tramite vettori. |
| Ritenere che la carica maggiore subisca una forza più intensa | Per il terzo principio della dinamica, le due forze di interazione costituiscono una coppia con identico modulo. |
| Moltiplicare per εr invece di dividere | Nel modello considerato, con un dielettrico omogeneo e isotropo che riempie lo spazio attorno alle cariche, la forza risulta ridotta rispetto a quella nel vuoto. |
La forza è inversamente proporzionale a r2. Se r → r/3, allora F → F / (1/3)2 = F / (1/9) = 9 F. La forza diventa 9 volte più intensa.
Nessuna delle due: per il terzo principio della dinamica (azione e reazione), entrambe le cariche risentono esattamente della medesima forza in modulo, pur avendo versi opposti.
La forza nel mezzo si ottiene dividendo la forza nel vuoto per εr: Facqua = 40 N / 80 = 0,50 N.
Perché, su grande scala, i corpi astronomici sono generalmente quasi elettricamente neutri: gli effetti delle cariche positive e negative tendono quindi in gran parte a compensarsi. La gravità, invece, è sempre attrattiva e i suoi effetti si sommano.
Ciascuna delle altre due cariche esercita una forza repulsiva diretta lungo i rispettivi lati uscenti. Per il principio di sovrapposizione e la simmetria del triangolo, la forza risultante giace esattamente lungo la bisettrice dell'angolo al vertice, orientata verso l'esterno del triangolo.