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Perché la stessa legge può essere scritta con k0, ε0, ε ed εr.
Nel vuoto la legge di Coulomb viene spesso scritta nella forma:
Nel Sistema Internazionale si introduce anche la permittività del vuoto ε0. Le due costanti sono legate da:
Sostituendo questa relazione nella legge di Coulomb:
Le due forme sono quindi esattamente equivalenti.
Partendo da k0 ≈ 8,988 × 109 N·m2/C2:
Conoscendo ε0 si ritrova k0 con k0 = 1/(4πε0). Le due costanti non sono quindi indipendenti.
L'espressione 4πr2 è l'area della superficie di una sfera di raggio r. Attorno a una carica puntiforme tutte le direzioni sono equivalenti, perciò la geometria naturale del problema è sferica.
Se la distanza raddoppia, l'area della sfera diventa quattro volte più grande. Nello stesso tempo, la legge di Coulomb mostra che, a parità di cariche, la forza diventa quattro volte più piccola. La superficie sferica fornisce quindi un'immagine geometrica molto efficace della dipendenza 1/r2.
La geometria della sfera non serve a ricavare ε0. La permittività del vuoto viene introdotta attraverso il legame k0 = 1/(4πε0). Il fattore 4πr2 permette poi di interpretare geometricamente la forma ottenuta.
Figura 2 — Sezione di due superfici sferiche centrate sulla carica sorgente +Q. In tutti i punti della sfera di raggio r la carica di prova +q subisce una forza dello stesso modulo F, diretta lungo il raggio; sulla sfera di raggio 2r l'area è quattro volte più grande e la forza si riduce a F/4. Le cariche di prova sono disegnate insieme solo per confrontare le posizioni: ciascuna va immaginata da sola, in presenza della sola carica +Q.
Questa lettura geometrica verrà ripresa negli argomenti successivi. Qui ci basta riconoscere che essa descrive la stessa dipendenza dalla distanza già contenuta nella legge di Coulomb.
Quando le cariche sono immerse in un materiale isolante, detto dielettrico, le molecole del materiale si polarizzano. L'effetto complessivo è una riduzione dell'interazione elettrica rispetto al vuoto.
Figura 3 — Molecole di un dielettrico attorno a una carica positiva: ogni molecola polarizzata si comporta come un dipolo e rivolge verso la carica la propria estremità negativa (−), allontanando quella positiva (+).
Nel materiale si introduce la permittività ε. La legge conserva la stessa struttura:
La permittività del materiale è collegata a quella del vuoto mediante la permittività relativa εr:
Poiché εr è un rapporto fra grandezze con la stessa unità di misura, è un numero puro. Nel vuoto vale 1; nei comuni dielettrici, in condizioni elettrostatiche, è maggiore di 1.
Nel materiale si può usare anche una costante di Coulomb k:
Di conseguenza:
Una permittività maggiore corrisponde a un coefficiente 1/(4πε) minore e quindi, a parità di cariche e distanza, a una forza minore.
| Simbolo | Nome | Che cosa rappresenta | Unità |
|---|---|---|---|
| k0 | Costante di Coulomb nel vuoto | Costante universale legata a ε0 | N·m2/C2 |
| ε0 | Permittività del vuoto | Costante universale, con k0 = 1/(4πε0) | C2/(N·m2) |
| ε | Permittività del materiale | Valore della permittività nel mezzo considerato | C2/(N·m2) |
| εr | Permittività relativa | Rapporto ε/ε0; confronta il materiale con il vuoto | numero puro |
| k | Costante di Coulomb nel mezzo | k = k0/εr = 1/(4πε) | N·m2/C2 |
| Mezzo | εr circa | Forza rispetto al vuoto |
|---|---|---|
| Vuoto | 1 | Fvuoto |
| Aria secca | 1,0006 | praticamente uguale al vuoto |
| Olio minerale | 2,2 | circa 2,2 volte più piccola |
| Vetro comune | 5 – 10 | da 5 a 10 volte più piccola |
| Acqua distillata a 20 °C | 80 | circa 80 volte più piccola |
La permittività relativa dipende dalle condizioni. Per esempio, nell'acqua varia con la temperatura; inoltre può cambiare quando l'azione elettrica varia molto rapidamente. I valori tabulati vanno quindi letti insieme alle condizioni a cui si riferiscono.
La relazione si usa nel modello di un dielettrico omogeneo e isotropo che riempie tutto lo spazio circostante le cariche. Se il materiale occupa soltanto una parte della regione, la situazione richiede un'analisi più complessa.
Due cariche alla stessa distanza si attraggono nel vuoto con una forza di 12 N. Immerse completamente in un dielettrico omogeneo, la forza diventa 3 N.
Il materiale ha quindi εr = 4. La sua permittività vale ε = 4ε0 ≈ 3,54 × 10−11 C2/(N·m2).
No. ε0 è introdotta attraverso il legame k0 = 1/(4πε0). La superficie sferica fornisce un'interpretazione geometrica della dipendenza 1/r2.
Diventa un quinto: Fmezzo = Fvuoto/5.
ε è la permittività del materiale e ha unità di misura; εr = ε/ε0 è un rapporto senza unità.
k = 1/(4πε) diminuisce e, a parità di cariche e distanza, diminuisce anche la forza.