Officina del Moto › Parte 4 › La tabella oraria
Dalle misure ai numeri: posizione, velocità e accelerazione lette in una tabella.
Nella lezione precedente abbiamo fotografato un corpo a intervalli regolari e abbiamo riportato le sue posizioni in un grafico. Prima ancora del grafico, però, quelle fotografie sono numeri: per ogni scatto conosciamo l'istante in cui è avvenuto e la posizione occupata dal corpo. Se scriviamo queste coppie una sotto l'altra otteniamo la tabella oraria del moto.
Il nome viene dall'orario dei treni, che funziona allo stesso modo: accanto a ogni stazione c'è l'ora in cui il treno vi si trova.
I numeri della tabella non si inventano: si misurano. Ci sono diversi modi per farlo:
Qualunque sia lo strumento, prima di misurare bisogna aver definito il sistema di riferimento: dov'è l'origine O, qual è il verso positivo e quale istante scegliamo come origine dei tempi, t = 0.
Ecco la tabella oraria del corpo della lezione precedente, con una misura in più:
| Istante t (s) | Posizione s (m) |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 4 |
| 4 | 7 |
| 5 | 11 |
La riga «t = 3 s ; s = 4 m» significa: all'istante 3 s il corpo si trova nella posizione 4 m. Non significa che ha percorso 4 metri, e nemmeno che ha viaggiato per 3 secondi. Nella tabella ci sono istanti e posizioni; durate e spostamenti non sono scritti da nessuna parte: vanno ricavati.
Una riga sola descrive un istante. Per parlare di moto ne servono due: una per l'inizio e una per la fine dell'intervallo che ci interessa. L'intervallo di tempo e lo spostamento sono le differenze fra i valori delle due righe, colonna per colonna:
Fra la terza e la quarta riga: Δt = 4 − 3 = 1 s e Δs = 7 − 4 = +3 m. In quel secondo il corpo si è spostato di 3 m nel verso positivo.
Le due righe non devono essere per forza consecutive. Fra la prima e la quarta: Δt = 4 − 1 = 3 s e Δs = 7 − 1 = +6 m. Sono proprio la base e l'altezza del triangolo tratteggiato sotto la secante della lezione precedente.
In questa tabella le misure sono state prese ogni secondo, ma non è obbligatorio. Se gli istanti non sono equidistanti, Δt cambia da una coppia di righe all'altra: va calcolato ogni volta con la sottrazione, senza darlo per scontato.
Una volta trovati Δs e Δt, la velocità media nell'intervallo è il loro rapporto:
Ripetiamo il calcolo per ogni coppia di righe consecutive. Con cinque righe gli intervalli sono quattro:
| Intervallo | Δt | Δs | vm = Δs / Δt | Istante centrale |
|---|---|---|---|---|
| da 1 s a 2 s | 1 s | 2 − 1 = 1 m | 1 m/s | 1,5 s |
| da 2 s a 3 s | 1 s | 4 − 2 = 2 m | 2 m/s | 2,5 s |
| da 3 s a 4 s | 1 s | 7 − 4 = 3 m | 3 m/s | 3,5 s |
| da 4 s a 5 s | 1 s | 11 − 7 = 4 m | 4 m/s | 4,5 s |
Le velocità medie crescono da un intervallo al successivo: i dati mostrano che il moto non è uniforme e sono compatibili con un corpo che aumenta progressivamente la propria velocità. Lo avevamo già visto sul grafico, dove la curva diventava sempre più ripida.
Una velocità media appartiene a un intervallo, non a un istante. Il valore 2 m/s dice che cosa è accaduto complessivamente fra 2 s e 3 s: non è la velocità all'istante 2 s e nemmeno quella all'istante 3 s.
Se però vogliamo una stima della velocità istantanea, la scelta più ragionevole è attribuire quel valore all'istante centrale dell'intervallo, cioè a metà strada fra i due istanti:
È una stima, tanto migliore quanto più breve è l'intervallo: è la stessa idea del passaggio dalla velocità media alla velocità istantanea. Una tabella con misure più fitte permette di avvicinarsi di più alla velocità in un singolo istante. Quando l'accelerazione è costante, la stima è esatta.
Abbiamo ora un secondo elenco di coppie: istanti centrali e velocità medie, considerate come stime delle velocità istantanee in quegli istanti. Con questo elenco possiamo ripetere lo stesso procedimento: prendiamo due valori, calcoliamo le differenze e dividiamo.
| Fra gli istanti | Δt | Δv | am = Δv / Δt |
|---|---|---|---|
| 1,5 s e 2,5 s | 1 s | 2 − 1 = 1 m/s | 1 m/s² |
| 2,5 s e 3,5 s | 1 s | 3 − 2 = 1 m/s | 1 m/s² |
| 3,5 s e 4,5 s | 1 s | 4 − 3 = 1 m/s | 1 m/s² |
Le tre stime dell'accelerazione risultano uguali a 1 m/s². I dati sono quindi compatibili con un'accelerazione costante di 1 m/s², cioè con un moto uniformemente vario.
L'intero procedimento si può riassumere in una scaletta: dalle posizioni si ricavano le velocità medie dei diversi intervalli; attribuendo queste velocità agli istanti centrali, si possono poi ottenere stime dell'accelerazione.
Ogni velocità media nasce da due posizioni e viene attribuita all'istante centrale fra le loro righe; da due velocità medie consecutive si può poi ottenere una stima dell'accelerazione. A ogni passaggio la colonna si accorcia di un valore: cinque posizioni, quattro velocità, tre stime dell'accelerazione.
Con una riga si conosce soltanto una posizione. Con due righe si calcola una velocità media. Con almeno tre righe si possono ricavare due velocità medie e, attribuendole agli istanti centrali, ottenere una stima dell'accelerazione.
Nella tabella precedente tutte le differenze erano positive. Non è sempre così: se il corpo torna indietro, Δs diventa negativo e con esso la velocità media. Le regole restano le stesse, basta rispettare l'ordine «finale meno iniziale».
Tabella oraria: all'istante 0 s il corpo è in s = 6 m; a 1 s in 8 m; a 2 s in 8 m; a 3 s in 5 m.
Velocità medie: (8 − 6) / 1 = +2 m/s; (8 − 8) / 1 = 0 m/s; (5 − 8) / 1 = −3 m/s.
Nel primo secondo il corpo avanza. Nel secondo intervallo la posizione finale coincide con quella iniziale: lo spostamento è nullo, ma la tabella non permette di sapere se il corpo sia rimasto fermo o se sia andato avanti e poi tornato. Nel terzo secondo si sposta nel verso negativo.
Stime dell'accelerazione: (0 − 2) / 1 = −2 m/s²; (−3 − 0) / 1 = −3 m/s². I due valori sono diversi: i dati non sono compatibili con un'accelerazione costante.
La tabella oraria conosce il moto soltanto negli istanti in cui è stata fatta una misura. Su ciò che accade fra una riga e l'altra non contiene alcuna informazione: è lo stesso limite che abbiamo incontrato nel grafico, quando per unire i punti abbiamo dovuto introdurre un'ipotesi sul moto.
Per questo le velocità ricavate direttamente dalla tabella sono valori medi, mentre le velocità istantanee e le accelerazioni ottenute con questo procedimento sono stime. Senza introdurre un modello matematico del moto, per avvicinarsi ai valori istantanei bisogna misurare più spesso, cioè costruire una tabella con righe più fitte.
Tabella e grafico raccontano lo stesso moto in due linguaggi. Ogni riga della tabella oraria è un punto del grafico posizione-tempo, e la velocità media fra due righe è la pendenza della secante fra i due punti corrispondenti. Allo stesso modo, le velocità che abbiamo calcolato, riportate ciascuna al proprio istante centrale, sono i punti di un nuovo grafico: il grafico velocità-tempo, che studieremo nella prossima lezione.
No. La riga dice soltanto che all'istante 3 s il corpo si trova nella posizione 4 m. Per conoscere uno spostamento e il tempo impiegato servono due righe, di cui fare la differenza.
Δs = 11 − 2 = 9 m e Δt = 5 − 2 = 3 s, quindi vm = 9 / 3 = 3 m/s. Le due righe non devono essere consecutive.
Tre. Con tre righe si hanno due intervalli e quindi due velocità medie; attribuendole ai rispettivi istanti centrali, dalla loro differenza divisa per il tempo che separa tali istanti si ottiene una stima dell'accelerazione.
Le velocità medie sono (6 − 10) / 2 = −2 m/s e (2 − 6) / 2 = −2 m/s. Sono uguali: i dati sono quindi compatibili con un moto uniforme nel verso negativo dell'asse.
Gli istanti centrali sono 1 s e 3 s, quindi Δt = 2 s. Δv = 7 − 3 = 4 m/s, e a = 4 / 2 = 2 m/s². Attenzione a non dividere per 1 s soltanto per abitudine.