Officina del Moto Accelerato › Parte 1 › La legge oraria
Tre termini, tre significati: dove parte, quanto avrebbe fatto, quanto gli aggiunge l'accelerazione.
Sappiamo che la velocità vale v = v0 + a · t. Ma per sapere dove si trova il corpo non possiamo semplicemente moltiplicare velocità per tempo, come facevamo nel moto uniforme: qui la velocità cambia a ogni istante, e non esiste un solo valore da usare.
La formula che risolve il problema è questa, e a prima vista spaventa:
In realtà è molto meno complicata di quanto sembri, perché ciascuno dei tre termini ha un significato preciso e si può leggere separatamente.
| Termine | Che cosa rappresenta | Quando è nullo |
|---|---|---|
| s0 | Dov'era il corpo all'istante zero: il punto di partenza | Se si mette l'origine dove parte il corpo |
| v0 · t | Lo spazio che avrebbe percorso se avesse mantenuto la velocità iniziale | Se il corpo parte da fermo |
| ½ a · t² | Il tratto in più dovuto all'accelerazione | Se l'accelerazione è nulla |
Il secondo e il terzo termine meritano attenzione, perché insieme raccontano bene che cosa succede.
Immagina due corpi che partono insieme dallo stesso punto alla stessa velocità: uno mantiene quella velocità, l'altro accelera. Dopo un certo tempo il primo si trova a v0·t dalla partenza. Il secondo si trova più avanti, e il vantaggio che ha accumulato è esattamente ½at².
Il tratto rosso è il guadagno dovuto all'accelerazione: cresce con il quadrato del tempo, quindi il divario si allarga sempre più in fretta.
La formula completa contiene tutte le altre come casi particolari: basta annullare i termini che non servono. È il modo migliore per non doverne imparare quattro diverse.
| Situazione | La legge diventa |
|---|---|
| Parte dall'origine e da fermo | s = ½ a · t² |
| Parte dall'origine con velocità v0 | s = v0 · t + ½ a · t² |
| Accelerazione nulla | s = s0 + v0 · t → il moto uniforme |
L'ultima riga è importante: ponendo a = 0 si ritrova esattamente la legge del moto uniforme studiata nell'altra officina. Non è una coincidenza. Una formula più generale deve sempre ridursi a quella più semplice quando le condizioni lo permettono, ed è un buon modo per controllare di averla scritta bene.
Un carrello parte da fermo dall'origine con a = 0,6 m/s². Dove si trova dopo 5 s?
s0 = 0 e v0 = 0, quindi s = ½ · 0,6 · 5² = 0,3 · 25 = 7,5 m.
Un'automobile viaggia a 20 m/s e accelera a 1,5 m/s². Che spazio percorre in 4 s?
s = 20 · 4 + ½ · 1,5 · 16 = 80 + 12 = 92 m.
Gli 80 metri li avrebbe fatti comunque, anche senza accelerare; i 12 in più sono il contributo dell'accelerazione.
Elevare al quadrato solo dopo aver moltiplicato: in ½at² il quadrato riguarda solo il tempo. Con a = 2 e t = 3 il termine vale ½ · 2 · 9 = 9, non ½ · 36. E poi: dimenticare il fattore ½, che raddoppia il risultato.
Il fatto che compaia t² e non t ha una conseguenza molto concreta: gli spazi percorsi in secondi successivi non sono uguali, ma crescono.
Prendi un corpo che parte da fermo con a = 2 m/s² e calcola dove si trova secondo per secondo.
| t (s) | Posizione s (m) | Spazio nell'ultimo secondo (m) |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 3 |
| 3 | 9 | 5 |
| 4 | 16 | 7 |
La colonna delle posizioni contiene i quadrati: 1, 4, 9, 16. E l'ultima colonna contiene i numeri dispari: 1, 3, 5, 7. Nel primo secondo il corpo percorre un metro, nel quarto ne percorre sette: sette volte tanto, perché nel frattempo è diventato molto più veloce.
Proprio questa regolarità — gli spazi percorsi in tempi successivi stanno fra loro come i numeri dispari — fu una delle prove con cui Galileo stabilì che la caduta dei gravi è un moto uniformemente accelerato. Non aveva strumenti per misurare la velocità: misurava gli spazi, e i numeri dispari gli dissero tutto.
Lo spazio che il corpo avrebbe percorso se avesse mantenuto la velocità iniziale, senza accelerare. Tutto ciò che percorre in più è dovuto all'accelerazione ed è contenuto nel termine ½at².
s = ½ · 4 · 9 = 18 m. Attenzione a fare prima il quadrato del tempo e poi le moltiplicazioni.
Il terzo termine sparisce e resta s = s0 + v0·t, cioè la legge del moto uniforme. La formula generale contiene il caso più semplice.
s = 10 · 5 + ½ · 2 · 25 = 50 + 25 = 75 m. Di questi, 50 li avrebbe fatti comunque e 25 sono merito dell'accelerazione.
Perché nel frattempo ha accumulato velocità: percorre ogni secondo un tratto maggiore del precedente. Partendo da fermo, gli spazi dei secondi successivi stanno come 1, 3, 5, 7.