Officina del Moto Accelerato › Parte 1 › I grafici del moto accelerato
Una retta, una parabola, e un'area che vale uno spazio.
La legge v = v0 + a · t ha la stessa struttura della legge oraria del moto uniforme, con la velocità al posto dello spazio. Non sorprende quindi che il suo grafico sia una retta.
| Sul grafico v-t | Nella formula |
|---|---|
| Il punto in cui la retta taglia l'asse verticale | v0, la velocità iniziale |
| La pendenza della retta | a, l'accelerazione |
| Retta che sale | a positiva: la velocità aumenta |
| Retta che scende | a negativa: la velocità diminuisce |
| Retta orizzontale | a = 0: moto uniforme |
È l'errore più comune di tutta la cinematica. Una retta orizzontale nel grafico spazio-tempo significa corpo fermo; nel grafico velocità-tempo significa velocità costante, cioè corpo che si muove benissimo. La stessa linea, due significati opposti: dipende da che cosa c'è scritto sull'asse verticale.
Qui arriva la parte più utile della lezione, e vale la pena seguirla con attenzione perché permette di ritrovare la legge oraria anche quando non la si ricorda.
Partiamo da un caso che conosci già: il moto uniforme. Un corpo a velocità costante v per un tempo t percorre s = v · t. Sul grafico velocità-tempo la linea è orizzontale, e la regione compresa fra la linea e l'asse dei tempi è un rettangolo di base t e altezza v. La sua area vale v · t, cioè esattamente lo spostamento, che qui coincide con lo spazio percorso perché il corpo non torna mai indietro.
Applichiamo la stessa idea al moto accelerato. Ora la linea è una retta inclinata, e la regione sotto di essa si scompone in due figure che sappiamo misurare: un rettangolo e un triangolo.
Lo spostamento è l'area totale: il rettangolo di base t e altezza v₀, più il triangolo che sta sopra.
Facciamo i conti sulle due figure.
Il rettangolo ha base t e altezza v0: la sua area vale v0 · t. È lo spazio che il corpo avrebbe percorso senza accelerare.
Il triangolo ha base t e altezza pari all'aumento di velocità, cioè a · t. La sua area è metà del prodotto base per altezza: ½ · t · (a · t) = ½ a t².
Sommando le due aree si ottiene lo spostamento:
È lo stesso risultato della lezione precedente, ottenuto però senza imparare niente a memoria: solo l'area di un rettangolo e quella di un triangolo. Ed è anche il motivo per cui in quella formula compare il fattore ½, che altrimenti sembrerebbe arbitrario: viene dal triangolo.
Poiché la posizione dipende da t², il grafico posizione-tempo non è una retta ma un arco di parabola: parte poco inclinato e si impenna sempre di più.
Il motivo, letto sul grafico, è quello già visto nel grafico posizione-tempo: la pendenza della tangente è la velocità. All'inizio il corpo è lento e la curva è quasi piatta; man mano che guadagna velocità la curva diventa più ripida. Se il corpo parte da fermo, la parabola all'origine è addirittura orizzontale.
| Moto | Grafico posizione-tempo | Grafico velocità-tempo |
|---|---|---|
| Uniforme | Retta inclinata | Retta orizzontale |
| Uniformemente accelerato | Parabola | Retta inclinata |
Questa tabella è il modo più rapido per riconoscere di che moto si tratta guardando un grafico. Una parabola nel grafico s-t e una retta inclinata nel grafico v-t descrivono lo stesso identico moto: sono due racconti dello stesso fatto.
In un grafico velocità-tempo la retta parte da 4 m/s e dopo 6 s si trova a 22 m/s. Che cosa si può dire del moto?
Velocità iniziale: v0 = 4 m/s, letta sull'asse verticale.
Accelerazione: è la pendenza, cioè (22 − 4) / 6 = 3 m/s².
Spazio percorso: è l'area. Rettangolo: 4 · 6 = 24 m. Triangolo: ½ · 6 · 18 = 54 m. In tutto 78 metri.
Controprova con la legge oraria: 4 · 6 + ½ · 3 · 36 = 24 + 54 = 78 m. Torna.
Moto uniforme: l'accelerazione è nulla perché la pendenza è nulla, quindi la velocità non cambia. Il corpo si muove, e a velocità costante.
Lo spazio percorso. Nel moto uniforme è un rettangolo e dà v·t; nel moto accelerato è un rettangolo più un triangolo e dà v0·t + ½at².
Un triangolo soltanto, perché il rettangolo ha altezza nulla. La sua area vale ½ · t · (a·t) = ½at², che è proprio la legge oraria con partenza da fermo.
a = (10 − 2) / 4 = 2 m/s². Area: rettangolo 2 · 4 = 8 m, triangolo ½ · 4 · 8 = 16 m, totale 24 m.
Perché la pendenza della tangente è la velocità, e la velocità sta aumentando. Una curva sempre più ripida è il segno visivo di un corpo che accelera.