Officina del Moto Uniforme › Parte 2 › Due corpi in versi opposti
Lo stesso metodo dell'inseguimento, con una velocità che cambia segno.
Il metodo della lezione precedente non cambia di una virgola: due leggi orarie, la condizione sA = sB, l'equazione risolta in t. L'unica novità è che ora i due corpi si muovono in versi opposti, e questo ha una conseguenza precisa.
Il verso positivo è uno solo, valido per entrambi i corpi. Chi si muove in quel verso ha velocità positiva, chi si muove nell'altro ha velocità negativa. Non esiste la possibilità di dare a ciascuno il proprio verso comodo: sarebbe come usare due riferimenti diversi, e i conti non tornerebbero.
Da qui in poi, tutto il resto è automatico: basta scrivere la velocità con il segno giusto e lasciare che l'algebra faccia il suo lavoro.
Due ciclisti si trovano agli estremi di una strada rettilinea lunga 600 metri e partono nello stesso istante uno incontro all'altro. Il primo va a 12 m/s, il secondo a 8 m/s. Dopo quanto tempo si incontrano e in quale punto?
Passo 1. Origine sul primo ciclista, verso positivo verso il secondo.
Passo 2. Il primo parte dall'origine e va nel verso positivo: s0A = 0, vA = +12 m/s. Il secondo parte da 600 metri e viene incontro, quindi si muove nel verso negativo: s0B = 600 m, vB = −8 m/s. Le leggi sono:
sA = 12 t sB = 600 − 8 t
Passo 3. Imponiamo sA = sB: 12 t = 600 − 8 t. Portando i termini con t a sinistra: 20 t = 600, quindi t = 30 s.
Passo 4. sA = 12 · 30 = 360 m. Verifica: sB = 600 − 8 · 30 = 600 − 240 = 360 m. Coincidono.
Si incontrano dopo mezzo minuto, a 360 metri dal punto di partenza del primo ciclista — cioè a 240 metri da quello del secondo. E infatti 360 + 240 = 600, l'intera lunghezza della strada.
Una retta sale e l'altra scende: si tagliano nel punto in cui i due ciclisti si trovano nello stesso luogo.
La differenza rispetto all'inseguimento si vede subito: lì le rette salivano entrambe, qui una sale e l'altra scende. L'incontro resta il punto in cui si tagliano, e con rette che vanno in versi opposti quell'incrocio c'è sempre: due corpi che si vengono incontro non possono mancarsi.
C'è una domanda che questo tipo di problema porta con sé: a che distanza si trovano i due corpi in un istante qualsiasi? Basta fare la differenza fra le loro posizioni.
Nel nostro esempio: d = sB − sA = (600 − 8t) − 12t = 600 − 20 t.
| t (s) | sA (m) | sB (m) | Distanza (m) |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 600 | 600 |
| 10 | 120 | 520 | 400 |
| 20 | 240 | 440 | 200 |
| 30 | 360 | 360 | 0 |
La distanza cala di 20 metri ogni secondo, e 20 è proprio la somma dei moduli delle due velocità: 12 + 8. Non è un caso.
Il motivo è intuitivo: se ognuno mangia strada da una parte, i metri che li separano si consumano due volte più in fretta. Se invece vanno nella stessa direzione, quello che conta è solo il vantaggio di rapidità di chi insegue. Ecco perché un inseguimento dura tanto e un incontro frontale è rapidissimo.
Da qui si ricava un metodo rapido: tempo d'incontro = distanza iniziale diviso velocità di avvicinamento, cioè 600 : 20 = 30 s. È comodo e dà lo stesso risultato, ma funziona solo nei casi semplici. Il metodo delle due leggi orarie funziona sempre, anche quando le partenze non sono simultanee o le posizioni sono scomode: conviene imparare quello, e usare la scorciatoia per controllare.
Con questa lezione il percorso si chiude, ed è il momento di notare che le due tappe della Parte 2 non erano due problemi diversi: erano lo stesso problema, risolto con lo stesso schema.
| Stesso verso | Versi opposti | |
|---|---|---|
| Leggi orarie | s = s0 + v · t per ciascun corpo | |
| Condizione d'incontro | sA = sB | |
| Segni delle velocità | Entrambe positive | Una positiva e una negativa |
| Sul grafico | Due rette che salgono | Una sale, una scende |
| L'incontro avviene? | Solo se chi insegue è più veloce | Sempre |
Un solo strumento — la legge oraria — e una sola idea — due corpi si incontrano quando occupano la stessa posizione nello stesso istante. Da qui si risolvono tutti i problemi di questo tipo, compresi quelli in cui uno dei due parte in ritardo o in cui uno è fermo.
Nella simulazione Moto di due corpi in versi opposti puoi cambiare le velocità e la distanza iniziale e osservare l'incontro con le due rette che si tagliano. Prova a rendere un corpo molto più veloce dell'altro e guarda dove si sposta il punto d'incontro: verso il corpo lento.
Perché si muove nel verso opposto a quello che abbiamo dichiarato positivo. Il segno non descrive il corpo, descrive il suo moto rispetto alla scelta che abbiamo fatto all'inizio.
15t = 500 − 10t, quindi 25t = 500 e t = 20 s. Con la scorciatoia: 500 : (15 + 10) = 20 s. Il punto d'incontro è a 15 · 20 = 300 m dal primo.
Perché la distanza si consuma alla somma delle due velocità invece che alla loro differenza. Nell'inseguimento conta solo il vantaggio di rapidità di chi sta dietro, che è un numero molto più piccolo.
No. Le due rette hanno pendenze di segno opposto, quindi si tagliano sempre: prima o poi si trovano nello stesso punto. È una differenza importante rispetto all'inseguimento, dove l'incontro può non avvenire.
Vicino alla posizione di partenza di quello lento: nel tempo disponibile il corpo veloce copre molta più strada. Al limite, se uno dei due fosse fermo, l'incontro avverrebbe esattamente dove si trova lui.