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Due corpi nello stesso verso

Il problema dell'inseguimento: chi raggiunge chi, dove e dopo quanto tempo.

Al termine di questa lezione saprai

• scrivere le leggi orarie di due corpi in un unico sistema di riferimento;
• impostare la condizione d'incontro s_A = s_B;
• risolvere un problema di inseguimento con un metodo in quattro passi;
• riconoscere l'incontro sul grafico come intersezione di due rette;
• capire quando l'inseguimento non si conclude mai.

1. Una legge, scritta due volte

Fin qui abbiamo studiato un corpo alla volta. La legge oraria s = s₀ + v · t però non ha nulla di speciale: si può scrivere per quanti corpi si vuole, e ciascuno avrà il suo spazio iniziale e la sua velocità.

2. Che cosa significa «si incontrano»

Due corpi si incontrano quando si trovano nello stesso punto nello stesso istante. Tradotto in formule, significa che le loro posizioni sono uguali:

Sostituendo le due leggi orarie si ottiene un'equazione in cui l'unica incognita è il tempo:

s_0A + v_A · t = s_0B + v_B · t

Risolvendola si trova l'istante dell'incontro. Sostituendo poi quel valore in una qualsiasi delle due leggi si trova il punto in cui avviene. Tutto qui: non c'è altro da sapere, e questo stesso schema risolverà anche la prossima lezione.

3. Il metodo in quattro passi

1. Scegli il riferimento e dichiara origine e verso positivo. Di solito conviene mettere l'origine dove si trova il primo corpo all'istante zero.
2. Scrivi le due leggi orarie, ricavando s₀ e v di ciascun corpo dal testo del problema. Attenzione alle unità: tutto in metri e secondi.
3. Imponi s_A = s_B e risolvi rispetto a t.
4. Sostituisci il tempo trovato in una delle due leggi per ottenere la posizione, e verifica con l'altra: devono dare lo stesso risultato.

4. L'incontro sul grafico

Portando le due leggi sullo stesso grafico spazio-tempo si ottengono due rette, e il loro punto di intersezione è l'incontro: l'ascissa è l'istante, l'ordinata è la posizione.

Osserva la posizione reciproca delle rette. Prima dell'incontro quella del camion sta più in alto: è più avanti. Dopo, sta più in basso: l'automobile lo ha superato. Il sorpasso, sul grafico, è il momento in cui le due linee si scambiano di posto.

5. Quando l'incontro non avviene

Il metodo funziona sempre, ma il risultato non è sempre un incontro. Vale la pena guardare i due casi in cui qualcosa «non torna», perché non sono errori di calcolo: sono informazioni.

Il secondo caso è quello anticipato nella tappa sullo spazio iniziale: due corpi con la stessa velocità mantengono per sempre lo stesso distacco. Nell'equazione i termini con t si semplificano, resta un'uguaglianza fra due numeri diversi, e questo è il modo in cui l'algebra ci dice «la domanda non ha risposta».

In sintesi

• Con due corpi si scrivono due leggi orarie, ciascuna con il proprio s₀ e la propria v, nello stesso riferimento.
• Il tempo t è lo stesso per entrambi: è l'unica incognita del problema.
• Si incontrano quando s_A = s_B: da questa condizione si ricava l'istante dell'incontro.
• Sostituendo il tempo trovato in una delle due leggi si ottiene la posizione; l'altra legge serve come verifica.
• Sul grafico l'incontro è il punto in cui le due rette si intersecano.
• Un tempo negativo significa che l'incontro sarebbe stato nel passato; un'equazione impossibile significa rette parallele, cioè nessun incontro.

Verifica se hai capito

1. Perché le due leggi orarie devono usare lo stesso riferimento?

Perché la condizione s_A = s_B confronta due posizioni: se fossero misurate da origini diverse, l'uguaglianza non significherebbe «stesso punto» e il risultato sarebbe privo di senso.

2. Un corpo parte dall'origine a 20 m/s, un altro è a 200 m e va a 12 m/s nello stesso verso. Quando si incontrano?

20t = 200 + 12t, quindi 8t = 200 e t = 25 s. La posizione è 20 · 25 = 500 m, confermata dall'altra legge: 200 + 12 · 25 = 500 m.

3. Risolvendo un problema di inseguimento ottieni t = −40 s. Che cosa significa?

Che chi insegue è più lento: le rette si sono già incrociate prima dell'istante zero. Da adesso in avanti la distanza fra i due può solo aumentare.

4. Due corpi hanno la stessa velocità ma partono da posizioni diverse. Si incontreranno?

No. Nell'equazione i termini con t si eliminano e resta un'uguaglianza falsa fra due numeri: le rette sono parallele e il distacco non cambia mai.

5. A che cosa serve sostituire il tempo trovato in entrambe le leggi?

A verificare il risultato: se i due valori non coincidono c'è un errore nei conti o nell'impostazione. È un controllo che costa pochi secondi e intercetta quasi tutti gli errori di segno.