Officina del Moto Parabolico › Parte 1 › Perché la traiettoria è una parabola
Eliminando il tempo fra le due leggi si scopre la forma della curva.
Le leggi orarie ricavate nella lezione precedente descrivono il moto in modo completo, ma non dicono direttamente che forma ha la traiettoria. Dicono dove si trova il corpo a ogni istante:
x = vx · t y = y0 − ½ g · t²
(prendiamo il caso del lancio orizzontale, con v0y = 0, che rende i conti più leggeri.)
In entrambe compare il tempo. Ma la traiettoria è la linea disegnata nello spazio: è una relazione fra x e y, e il tempo non c'entra. Per ottenerla dobbiamo eliminare t fra le due equazioni — la stessa operazione che avevamo fatto nell'Officina del Moto Accelerato per ricavare la formula senza il tempo.
Dalla prima equazione si ricava il tempo:
t = x / vx
Questo valore si sostituisce nella seconda al posto di t:
y = y0 − ½ g · (x / vx)²
Svolgendo il quadrato, il risultato è:
Guarda la struttura di questa espressione, ignorando per un momento i simboli fisici. C'è un numero fisso, y0, meno un altro numero fisso moltiplicato per x². È della forma y = c − k x², che in matematica è l'equazione di una parabola con la concavità rivolta verso il basso.
Nessuno ha deciso che la traiettoria dovesse essere una parabola. Abbiamo messo insieme due moti già noti, abbiamo eliminato il tempo, ed è venuta fuori una parabola. La forma della curva è una conseguenza del principio di indipendenza dei moti: è questo che rende il ragionamento di Galileo così convincente.
Nell'equazione il coefficiente che moltiplica x² vale g / 2vx². Più quel coefficiente è grande, più la parabola è stretta, cioè si incurva rapidamente; più è piccolo, più la parabola è larga e la traiettoria resta a lungo quasi piatta.
| Se aumenta | Il coefficiente | La traiettoria |
|---|---|---|
| la velocità vx | diminuisce (sta al denominatore, al quadrato) | si allunga e si appiattisce |
| la gravità g | aumenta | si incurva più rapidamente |
La prima riga corrisponde all'esperienza: lanciando più forte, il corpo va più lontano e la sua curva sembra più tesa. La seconda dice che su un pianeta con gravità maggiore lo stesso lancio produrrebbe una parabola molto più chiusa — e sulla Luna, dove g è sei volte minore, una parabola lunghissima.
Riprendiamo la pallina lanciata a 15 m/s da 20 metri d'altezza. Il coefficiente vale:
g / 2vx² = 9,8 / (2 · 225) = 0,0218
L'equazione della traiettoria è quindi y = 20 − 0,0218 x².
Proviamola: a x = 15 m si ottiene y = 20 − 0,0218 · 225 = 15,1 m. È esattamente il valore che compariva nella tabella della lezione precedente all'istante t = 1 s, quando la pallina era avanzata di 15 metri. Le due strade portano allo stesso punto.
Vale la pena fermarsi su questa distinzione, perché è la stessa incontrata all'inizio dell'Officina del Moto e qui torna con forza.
| Leggi orarie | Equazione della traiettoria | |
|---|---|---|
| Che cosa legano | posizione e tempo | y e x fra loro |
| Rispondono a | dove si trova il corpo quando | per quali punti passa |
| Contengono il tempo | sì | no |
| Che cosa disegnano | il moto istante per istante | la linea nello spazio |
L'equazione della traiettoria è più povera di informazioni: dice per dove passa il corpo, non quando ci passa. Due palline lanciate con velocità diverse dalla stessa altezza percorrono parabole diverse; ma anche a parità di traiettoria non sapremmo, guardando solo la curva, in quale istante il corpo si trovava in un certo punto.
Per questo la traiettoria non sostituisce le leggi orarie: le affianca. Nei problemi si usano quasi sempre le leggi orarie; l'equazione della traiettoria serve quando la domanda riguarda la forma del percorso, per esempio se il corpo passerà sopra un ostacolo.
Con v0y diverso da zero il procedimento è identico, solo con qualche passaggio algebrico in più. Si ottiene un'equazione della forma y = y0 + bx − kx²: compare in più un termine in x, che inclina la parabola, ma il termine in x² resta ed è ancora una parabola. Lo useremo nell'ultima tappa del percorso.
Ricavare t da una delle due equazioni e sostituirlo nell'altra, ottenendo una relazione che contiene solo x e y. È la stessa operazione che porta alla formula v² = v0² + 2aΔs nel moto accelerato.
Dalla presenza di x al quadrato e dall'assenza di potenze superiori. Il segno meno davanti al termine quadratico indica che la concavità è rivolta verso il basso.
Il coefficiente g/2vx² diventa quattro volte più piccolo, perché vx è al quadrato: la parabola diventa molto più larga e il corpo arriva assai più lontano.
Perché nell'equazione la massa non compare: ci sono solo g, vx e l'altezza iniziale. Trascurando l'aria, una biglia di piombo e una di plastica lanciate allo stesso modo descrivono la stessa parabola.
No. La traiettoria dice per quali punti passa il corpo, ma non in quale istante ci passa né quanto va veloce. Per quello servono le leggi orarie.