Officina del Moto Parabolico › Parte 2 › Il lancio orizzontale

Il lancio orizzontale

Quanto dura il volo, quanto lontano arriva il corpo. E una sorpresa sul tempo.

Al termine di questa lezione saprai

calcolare il tempo di volo a partire dall'altezza di lancio;
spiegare perché non dipende dalla velocità iniziale;
calcolare la gittata;
applicare il metodo «prima il tempo dall'asse y, poi la distanza dall'asse x»;
prevedere come cambia il risultato se cambiano altezza o velocità.

1. La situazione

Un corpo viene lanciato orizzontalmente da un'altezza h con velocità v_x: è il caso di una pallina che rotola via da un tavolo, di un getto d'acqua che esce da un tubo, di un sasso lanciato dal bordo di una scogliera.

Poiché la velocità iniziale è tutta orizzontale, la sua componente verticale è nulla: v_0y = 0. Le leggi orarie si semplificano.

x = v_x · t y = h − ½ g · t² Con l'origine a terra, sotto il punto di lancio.

Le due domande che ci si pone sempre sono: quanto tempo resta in aria e a che distanza tocca terra.

2. Il tempo di volo

Toccare terra significa y = 0. Imponiamolo nella seconda legge:

0 = h − ½ g t² → ½ g t² = h

t_volo = √(2h / g) Dipende solo dall'altezza di partenza.

Guarda bene questa formula, perché contiene il risultato più sorprendente della lezione: la velocità di lancio non compare.

Il tempo di volo non dipende da quanto forte lanci

È l'esperimento delle due palline della prima lezione, tradotto in formula. Lanciando il corpo a 5 m/s o a 50 m/s il tempo che impiega a toccare terra è esattamente lo stesso: cambia solo la distanza a cui atterra. Il moto verticale non sa nulla di quello orizzontale, e il tempo di caduta è deciso solo dall'altezza.

Altezza h	Tempo di volo	Gittata con v_x = 15 m/s
5 m	1,01 s	15,2 m
20 m	2,02 s	30,3 m
45 m	3,03 s	45,5 m

Nota la prima e la seconda riga: l'altezza è quadruplicata e il tempo è soltanto raddoppiato. È l'effetto della radice quadrata: per far raddoppiare il tempo di caduta bisogna quadruplicare l'altezza.

3. La gittata

La gittata è la distanza orizzontale percorsa fino all'atterraggio. Si trova portando il tempo di volo nella legge del moto orizzontale:

G = v_x · t_volo = v_x · √(2h / g) Dipende da entrambe: dalla velocità e dall'altezza.

Qui la velocità compare, ed è ragionevole: il tempo a disposizione è lo stesso, ma chi va più veloce lo sfrutta per coprire più strada.

v_x	Tempo di volo (da h = 20 m)	Gittata
5 m/s	2,02 s	10,1 m
10 m/s	2,02 s	20,2 m
15 m/s	2,02 s	30,3 m
20 m/s	2,02 s	40,4 m

La colonna centrale non cambia mai: tutti i lanci durano 2,02 secondi. La gittata invece raddoppia quando raddoppia la velocità: qui la proporzionalità è diretta, senza quadrati né radici.

4. Il metodo, applicato

Esempio svolto

Una pallina lascia un tavolo alto 1,25 m con velocità orizzontale 2,5 m/s. A che distanza dal tavolo tocca terra?

Passo 1 — il riferimento. Origine a terra sotto il bordo del tavolo, y positivo verso l'alto. Dati: h = 1,25 m, v_x = 2,5 m/s, v_0y = 0.

Passo 2 — il tempo, dall'asse y. t = √(2 · 1,25 / 9,8) = √0,255 = 0,505 s.

Passo 3 — la distanza, dall'asse x. G = 2,5 · 0,505 = 1,26 m circa.

Passo 4 — il controllo. Ha senso? Il tavolo è alto poco più di un metro e la pallina non va veloce: atterrare a poco più di un metro dal bordo è plausibile. Un risultato di 50 metri avrebbe segnalato un errore.

L'errore da non fare

Cercare il tempo usando la velocità orizzontale, per esempio dividendo l'altezza per v_x. Non ha alcun senso: sono grandezze di assi diversi. Il tempo si ricava sempre dall'asse verticale, perché è la caduta a decidere quando finisce il volo.

5. Le due dipendenze a confronto

Se raddoppi	Il tempo di volo	La gittata
la velocità v_x	non cambia	raddoppia
l'altezza h	si moltiplica per 1,4	si moltiplica per 1,4

Il fattore 1,4 della seconda riga è la radice di 2, e viene dalla radice quadrata nella formula del tempo. Per raddoppiare davvero il tempo di volo, e con esso la gittata, l'altezza va quadruplicata.

Da qui si capisce anche una cosa pratica: se vuoi che un corpo arrivi più lontano, aumentare la velocità è molto più efficace che salire più in alto. La velocità agisce in proporzione diretta, l'altezza solo sotto radice.

In sintesi

Nel lancio orizzontale v_0y = 0 e le leggi diventano x = v_xt e y = h − ½gt².
Il tempo di volo si ottiene imponendo y = 0: t = √(2h/g).
Non dipende dalla velocità di lancio: è la traduzione in formula dell'esperimento delle due palline.
La gittata vale G = v_x · t_volo e dipende sia dalla velocità sia dall'altezza.
Il metodo è sempre: prima il tempo dall'asse verticale, poi la distanza dall'asse orizzontale.
Raddoppiando la velocità la gittata raddoppia; per raddoppiare il tempo di volo serve quadruplicare l'altezza.

Verifica se hai capito

1. Due sassi lasciano la stessa scogliera, uno a 5 m/s e uno a 20 m/s. Quale tocca l'acqua per primo?

Insieme: il tempo di volo dipende solo dall'altezza. Il secondo atterra quattro volte più lontano, ma nello stesso istante.

2. Un corpo è lanciato orizzontalmente da 45 m a 10 m/s. Tempo di volo e gittata?

t = √(90/9,8) = 3,03 s; G = 10 · 3,03 = 30,3 m.

3. Perché il tempo si calcola sempre dall'asse verticale?

Perché il volo finisce quando il corpo tocca terra, cioè quando y si annulla: è la caduta a decidere la durata. L'asse orizzontale serve poi per sapere dove è arrivato in quel tempo.

4. Per far arrivare un corpo il doppio più lontano, conviene raddoppiare la velocità o l'altezza?

La velocità: la gittata è proporzionale a v_x, quindi raddoppia. Raddoppiando l'altezza la gittata cresce solo di un fattore 1,4; per ottenere il doppio bisognerebbe quadruplicare l'altezza.

5. Una pallina lascia un tavolo alto 1,25 m. Quanto resta in aria?

t = √(2,5/9,8) = 0,505 s, circa mezzo secondo, qualunque sia la sua velocità. È il motivo per cui gli oggetti che cadono da un tavolo sembrano sempre arrivare a terra con la stessa rapidità.

TORNA ALL'OFFICINA DEL MOTO PARABOLICO →