Officina del Moto Parabolico › Parte 2 › Il lancio obliquo

Il lancio obliquo

Il caso generale, e la scoperta dei 45 gradi.

Al termine di questa lezione saprai

scomporre la velocità iniziale nelle due componenti;
calcolare tempo di salita, tempo di volo e altezza massima;
calcolare la gittata di un lancio obliquo;
spiegare perché l'angolo di 45° dà la gittata massima;
riconoscere che angoli complementari danno la stessa gittata.

1. Scomporre la velocità iniziale

Nel caso generale il corpo viene lanciato con velocità v₀ che forma un angolo θ con l'orizzontale: un pallone calciato, una palla da golf, un getto d'acqua inclinato.

Il primo passo è sempre lo stesso: scomporre la velocità iniziale nelle due componenti, perché sono quelle che entrano nelle leggi orarie.

v_0x = v₀ · cosθ v_0y = v₀ · senθ Il coseno per l'orizzontale, il seno per la verticale.

Fatto questo, il problema è identico a quelli già risolti: sull'asse x moto uniforme con velocità v_0x, sull'asse y moto uniformemente accelerato con velocità iniziale v_0y. Nessuna formula nuova.

Un esempio da tenere sott'occhio

Un pallone è calciato a 20 m/s con un angolo di 30° rispetto al terreno.

v_0x = 20 · cos30° = 20 · 0,866 = 17,32 m/s

v_0y = 20 · sen30° = 20 · 0,5 = 10,00 m/s

Useremo questi numeri per tutta la lezione.

2. Salita, culmine, discesa

A differenza del lancio orizzontale, qui il corpo prima sale. La componente verticale della velocità parte positiva e diminuisce di 9,8 m/s ogni secondo, finché non si annulla: quello è il punto più alto.

t_salita = v_0y / g Il tempo impiegato a raggiungere il punto più alto, dove v_y = 0.

Nell'esempio: t_salita = 10 / 9,8 = 1,02 s.

E dopo? La discesa è simmetrica alla salita: il corpo impiega lo stesso tempo a tornare all'altezza di partenza, e ci arriva con la stessa velocità con cui era partito, soltanto inclinata verso il basso. Se il terreno è pianeggiante, quindi:

t_volo = 2 · t_salita = 2 v_0y / g Vale se il corpo atterra alla stessa quota da cui è partito.

Nell'esempio: t_volo = 2,04 s.

L'altezza massima si ottiene portando il tempo di salita nella legge di y, oppure con la formula senza il tempo dell'Officina del Moto Accelerato:

h_max = v_0y² / (2g) Dipende solo dalla componente verticale: quella orizzontale non c'entra nulla.

Nell'esempio: h_max = 100 / 19,6 = 5,10 m.

3. La gittata

Come sempre, la distanza si trova portando il tempo di volo sull'asse orizzontale:

G = v_0x · t_volo Il metodo non cambia: tempo dall'asse y, distanza dall'asse x.

Nell'esempio: G = 17,32 · 2,04 = 35,3 m.

La formula compatta

Sostituendo le espressioni delle due componenti si ottiene una formula unica per la gittata su terreno pianeggiante: G = v₀² · sen(2θ) / g. Dà lo stesso risultato: 400 · sen60° / 9,8 = 35,3 m. È comoda, ma conviene saper arrivare al risultato anche con i passaggi separati, che funzionano sempre — anche quando il terreno non è pianeggiante e la formula compatta non vale.

4. L'angolo migliore

Ecco la domanda che rende interessante questa lezione: con quale angolo il corpo arriva più lontano?

C'è un compromesso da risolvere. Un angolo piccolo dà molta velocità orizzontale, ma poco tempo di volo: il corpo corre veloce ma cade subito. Un angolo grande dà molto tempo di volo, ma poca velocità orizzontale: il corpo resta a lungo in aria, salendo però quasi in verticale. Deve esistere una via di mezzo.

Angolo	v_0x	v_0y	Tempo di volo	Altezza max	Gittata
30°	17,32	10,00	2,04 s	5,10 m	35,3 m
45°	14,14	14,14	2,89 s	10,20 m	40,8 m
60°	10,00	17,32	3,53 s	15,31 m	35,3 m

La risposta è 45 gradi: è l'angolo che bilancia esattamente le due esigenze, e dà la gittata massima. A parità di velocità iniziale, nessun altro angolo manda il corpo più lontano.

Un dettaglio elegante

Guarda la prima e la terza riga: 30° e 60° danno esattamente la stessa gittata, 35,3 metri. Non è un caso: due angoli complementari, la cui somma fa 90°, producono sempre la stessa gittata. Con l'angolo maggiore il corpo sale di più e resta in aria più a lungo, con quello minore corre più veloce: i due effetti si compensano al centimetro. Nella formula compatta si vede subito, perché sen(2 · 30°) e sen(2 · 60°) valgono entrambi 0,866.

Un lanciatore di peso, un giocatore di golf o un artigliere devono quindi scegliere l'angolo in base all'obiettivo: 45° per andare lontano, angoli più grandi per superare un ostacolo alto, angoli più piccoli per arrivare in fretta e teso.

Con l'aria le cose cambiano

Il risultato dei 45° vale nel modello che trascura l'attrito dell'aria. Nella realtà l'aria frena il corpo, e l'angolo ottimale scende sotto i 45° — per una palla da golf è intorno ai 35-40°, per il getto di una lancia antincendio ancora meno. Come sempre, la legge vale nelle condizioni in cui è stata ricavata.

5. Il metodo, in cinque passi

Con questa lezione si chiude il percorso. Ecco lo schema che risolve qualunque problema di moto parabolico.

Scomponi la velocità iniziale: v_0x = v₀cosθ e v_0y = v₀senθ.
Scrivi le due leggi orarie con i numeri del problema, segno di g compreso.
Trova il tempo lavorando sull'asse verticale: tempo di salita se cerchi il culmine, tempo di volo se cerchi l'atterraggio.
Porta quel tempo sull'asse orizzontale per ottenere la distanza.
Controlla che il risultato sia plausibile e che le unità tornino.

Sono gli stessi cinque passi della tappa 2, arricchiti del primo. E tutto discende ancora dal principio con cui il percorso è cominciato: i due moti sono indipendenti, ma condividono l'orologio.

Vai a vedere

Nella simulazione Il moto di una sfera puoi lanciare il corpo con angoli e velocità diverse. Prova a confrontare 30° e 60° a parità di velocità: la traiettoria è diversissima, il punto di atterraggio è lo stesso.

In sintesi

Nel lancio obliquo si scompone la velocità iniziale: v_0x = v₀cosθ, v_0y = v₀senθ.
Il tempo di salita vale v_0y/g ed è l'istante in cui v_y si annulla.
Su terreno pianeggiante il tempo di volo è il doppio di quello di salita: salita e discesa sono simmetriche.
L'altezza massima vale v_0y²/(2g) e dipende solo dalla componente verticale.
La gittata si ottiene come G = v_0x · t_volo, o con la formula compatta v₀²sen(2θ)/g.
L'angolo di 45° dà la gittata massima; angoli complementari danno gittate uguali.
Tenendo conto dell'aria l'angolo ottimale scende sotto i 45°.

Verifica se hai capito

1. Un corpo è lanciato a 30 m/s con un angolo di 60°. Quanto valgono le componenti?

v_0x = 30 · cos60° = 15 m/s; v_0y = 30 · sen60° = 25,98 m/s. Con angoli grandi la componente verticale prevale, ed è per questo che il corpo sale molto.

2. Con gli stessi dati, quanto dura il volo su terreno pianeggiante?

t_salita = 25,98 / 9,8 = 2,65 s, quindi t_volo = 5,30 s. La discesa dura quanto la salita.

3. Perché l'altezza massima non dipende dalla componente orizzontale?

Perché quanto in alto arriva il corpo è una questione del solo asse verticale, e i due moti sono indipendenti. La componente orizzontale determina quanto lontano va, non quanto in alto.

4. Due lanci alla stessa velocità, uno a 20° e uno a 70°. Quale arriva più lontano?

Nessuno dei due: gli angoli sono complementari, quindi la gittata è identica. Cambia tutto il resto — il secondo sale molto di più e resta in aria molto più a lungo.

5. Perché nella realtà l'angolo migliore non è 45°?

Perché il modello trascura l'attrito dell'aria, che nella realtà frena il corpo tanto più a lungo quanto più resta in volo. Conviene quindi un angolo un po' più basso, che riduce il tempo di esposizione all'aria.

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