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Le due leggi orarie

Una per l'asse x, una per l'asse y: nessuna delle due è nuova.

Al termine di questa lezione saprai

scrivere le leggi orarie del moto parabolico sui due assi;
scegliere un sistema di riferimento comodo e coerente;
attribuire il segno giusto all'accelerazione di gravità;
calcolare la posizione del corpo in un istante qualsiasi;
compilare una tabella di posizioni e leggerla.

1. Prima di tutto, il riferimento

Come in ogni problema di cinematica, si comincia dichiarando il sistema di riferimento. Qui gli assi sono due, e la scelta abituale è questa:

asse x orizzontale, con verso positivo quello del moto;
asse y verticale, con verso positivo verso l'alto;
origine nel punto di lancio, oppure a terra sotto di esso;
istante t = 0 nel momento del lancio.

La conseguenza del verso positivo verso l'alto

La gravità tira verso il basso, cioè nel verso negativo. Nelle formule va quindi scritta a_y = −g, con g = 9,8 m/s². Scrivere +9,8 è l'errore più frequente di tutto il capitolo, e produce corpi che salgono da soli. Il segno meno non è un dettaglio: discende dalla scelta di riferimento dichiarata sopra.

2. Il moto orizzontale

Sull'asse x nulla agisce: il moto è rettilineo uniforme, e la legge è quella dell'Officina del Moto Uniforme.

x = v_x · t Con l'origine nel punto di lancio, x₀ = 0. La velocità v_x resta la stessa per tutto il volo.

Una sola cosa da ricordare, ed è la più importante: v_x non cambia mai. Né mentre il corpo sale, né nel punto più alto, né mentre scende. È lo stesso valore dal primo all'ultimo istante.

3. Il moto verticale

Sull'asse y agisce la gravità, costante: il moto è uniformemente accelerato, e la legge è quella dell'Officina del Moto Accelerato, con a = −g.

y = y₀ + v_0y · t − ½ g · t² y₀ è l'altezza di partenza, v_0y la componente verticale della velocità iniziale.

Accanto alla posizione serve anche la velocità verticale, che invece cambia in continuazione:

v_y = v_0y − g · t Diminuisce di 9,8 m/s ogni secondo: il corpo rallenta salendo, si ferma un istante in verticale, poi scende sempre più in fretta.

	Asse x	Asse y
Che moto è	rettilineo uniforme	uniformemente accelerato
Accelerazione	nulla	−g = −9,8 m/s²
Legge della posizione	x = v_xt	y = y₀ + v_0yt − ½gt²
Legge della velocità	v_x costante	v_y = v_0y − gt

4. Il lancio orizzontale, passo per passo

Vediamo le formule all'opera nel caso più semplice: un corpo lanciato orizzontalmente, cioè con v_0y = 0.

Esempio

Una pallina viene lanciata orizzontalmente a 15 m/s dal bordo di una terrazza alta 20 m. Dove si trova dopo 0,5 s, 1 s, 1,5 s e 2 s?

Con l'origine a terra sotto il punto di lancio: y₀ = 20 m, v_0y = 0, v_x = 15 m/s. Le leggi diventano:

x = 15 t y = 20 − 4,9 t²

t (s)	x (m)	y (m)	Scesa di (m)
0	0	20,0	0
0,5	7,5	18,8	1,2
1,0	15,0	15,1	4,9
1,5	22,5	9,0	11,0
2,0	30,0	0,4	19,6

Confronta le due colonne centrali, perché è lì che si vede tutto.

La colonna x cresce a passi uguali: 7,5 metri ogni mezzo secondo, sempre. È il moto uniforme.

La colonna y cala a passi sempre più grandi: prima 1,2 metri, poi 3,7, poi 6,1, poi 8,6. È il moto accelerato, quello in cui gli spazi crescono con il quadrato del tempo.

Il corpo avanza regolarmente e scende sempre più in fretta: ecco perché la traiettoria all'inizio è quasi piatta e poi si incurva verso il basso. La forma della parabola non è un'ipotesi estetica, è il risultato di questo incrocio.

Un controllo di coerenza

All'istante t = 2 s la pallina è quasi a terra: y vale 0,4 m. Il tempo di volo esatto è quello che annulla y, cioè poco più di 2 secondi. Nella prossima parte del percorso impareremo a calcolarlo con precisione invece di stimarlo dalla tabella.

5. Come si affronta un problema

Lo schema è sempre lo stesso, e conviene applicarlo con ordine invece di cercare «la formula giusta».

Disegna la situazione e fissa gli assi: dove metti l'origine e dove punta il verso positivo di y.
Scomponi i dati: quali riguardano x e quali riguardano y.
Scrivi le due leggi orarie con i numeri del problema, segno di g compreso.
Usa l'asse y per trovare il tempo, che è quasi sempre l'incognita nascosta.
Porta quel tempo sull'asse x per trovare la distanza.

Il quarto e il quinto passo sono il cuore del metodo, e derivano direttamente dalla lezione precedente: i due moti sono indipendenti, ma condividono l'orologio. Il tempo calcolato su un asse vale anche per l'altro.

In sintesi

Si sceglie l'asse x orizzontale e l'asse y verticale con verso positivo verso l'alto.
Con quella scelta la gravità entra nelle formule come a_y = −g.
Sull'asse x vale x = v_x · t, con v_x costante per tutto il volo.
Sull'asse y valgono y = y₀ + v_0yt − ½gt² e v_y = v_0y − gt.
Nel lancio orizzontale v_0y = 0 e le formule si semplificano.
Il corpo avanza a passi uguali e scende a passi sempre più grandi: da qui la forma della traiettoria.
Nei problemi si ricava il tempo dall'asse y e lo si usa sull'asse x.

Verifica se hai capito

1. Perché l'accelerazione si scrive con il segno meno?

Perché abbiamo scelto positivo il verso verso l'alto, mentre la gravità tira verso il basso. Con la scelta opposta si scriverebbe +g, ma allora anche le altezze cambierebbero segno: l'importante è restare coerenti.

2. Durante il volo la velocità orizzontale cambia?

No, mai: in orizzontale non agisce nulla. È la sola grandezza del problema che resta identica dal lancio all'atterraggio.

3. Un corpo è lanciato orizzontalmente a 10 m/s da 45 m di altezza. Dove si trova dopo 2 s?

x = 10 · 2 = 20 m; y = 45 − 4,9 · 4 = 45 − 19,6 = 25,4 m. È avanzato di 20 metri ed è sceso di quasi 20.

4. Nella tabella la colonna x cresce a passi uguali e la y cala a passi diversi. Perché?

Perché sull'asse x il moto è uniforme, quindi in tempi uguali si percorrono spazi uguali; sull'asse y è accelerato, e gli spazi percorsi in tempi uguali aumentano.

5. Perché nei problemi si parte quasi sempre dall'asse verticale?

Perché è l'asse che determina la durata del volo, e il tempo serve poi per calcolare la distanza orizzontale. Essendo l'orologio in comune, il tempo trovato su un asse vale anche per l'altro.

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