Officina delle Forze › Parte 3 › Effetti statici: la forza elastica
Quando una forza non mette in moto ma deforma: la molla, la legge di Hooke e lo strumento che ne nasce.
Fin qui abbiamo studiato l'effetto dinamico: la forza che cambia lo stato di moto. Torniamo ora all'altro effetto, quello statico, che avevamo solo nominato nella prima lezione: la forza che deforma il corpo, cambiandone forma o dimensioni.
Se appendi un peso a un elastico, l'elastico si allunga. Se ti siedi su un divano, i cuscini si schiacciano. Se premi una gomma da cancellare, si comprime. In tutti questi casi il corpo non si sposta: cambia forma. E quando la forza cessa, possono succedere due cose diverse.
In questa lezione ci occupiamo del primo caso, e lo studiamo sull'oggetto più comodo di tutti: la molla.
Prendiamo una molla appesa a un sostegno e misuriamo la sua lunghezza a riposo. Poi appendiamo un peso al suo estremo libero e misuriamo di quanto si è allungata: chiamiamo questa quantità allungamento x. Ripetendo con pesi diversi si scopre una regolarità molto semplice: raddoppiando la forza raddoppia l'allungamento, triplicandola lo triplica. Forza e allungamento sono direttamente proporzionali.
L'allungamento x si misura sempre a partire dalla posizione di riposo, non dal punto di sospensione.
Questa regolarità fu scoperta da Robert Hooke nel Seicento e porta il suo nome.
È l'errore più comune negli esercizi. Se una molla lunga 20 cm a riposo diventa lunga 26 cm sotto carico, allora x = 6 cm, non 26 cm. Nella formula entra sempre la variazione di lunghezza.
La molla, dal canto suo, risponde: reagisce con una forza uguale in modulo e opposta in verso, che tende a riportarla alla lunghezza di riposo. È la forza elastica di richiamo, e per questo spesso la legge si scrive con un segno meno davanti, a ricordare che punta sempre verso la posizione di riposo.
Il numero k è una caratteristica della singola molla e misura quanto è dura: più k è grande, più forza serve per ottenere lo stesso allungamento. Ricavandolo dalla formula, k = F / x, se ne ricava anche l'unità di misura.
| Molla | Costante elastica indicativa | Effetto |
|---|---|---|
| Elastico da cancelleria | qualche N/m | si allunga moltissimo con poco |
| Molla di una penna a scatto | circa 100 N/m | cede sotto la pressione di un dito |
| Molla di un dinamometro scolastico | circa 50–200 N/m | allungamenti ben leggibili |
| Ammortizzatore di un'automobile | decine di migliaia di N/m | cede solo sotto carichi grandi |
A una molla appendiamo una massa di 200 g e la molla si allunga di 8,0 cm. Il peso applicato vale F = 0,200 · 9,8 = 1,96 N; l'allungamento in metri è x = 0,080 m. Quindi k = F / x = 1,96 / 0,080 ≈ 25 N/m. Appendendo una massa doppia, l'allungamento diventerebbe 16 cm.
Riportiamo su un grafico gli allungamenti in ascissa e le forze applicate in ordinata. Poiché le due grandezze sono direttamente proporzionali, i punti sperimentali si dispongono lungo una retta passante per l'origine: allungamento nullo con forza nulla, come deve essere.
Il tratto rettilineo è la zona in cui vale la legge di Hooke; la sua pendenza è la costante elastica.
Il grafico dice due cose che vale la pena fissare. La prima: la pendenza della retta è proprio k, perché k = ΔF / Δx. Una molla dura dà una retta ripida, una molla morbida una retta poco inclinata. La seconda: la retta non prosegue all'infinito.
Oltre un certo carico, il grafico si incurva: la molla continua ad allungarsi, ma non più in proporzione alla forza. Quel punto si chiama limite di elasticità. Superato quel limite, la molla non torna più alla lunghezza di riposo quando togli il carico: la deformazione è diventata plastica, e la molla è rovinata. Tirando ancora, si arriva alla rottura.
La legge di Hooke non è una verità universale: vale entro il limite di elasticità del materiale. È un ottimo esempio di come funzionano le leggi fisiche: ciascuna ha un campo in cui descrive bene la realtà e fuori dal quale va sostituita con qualcosa di più complicato.
La proporzionalità fra forza e allungamento ha una conseguenza pratica notevole: se misuri l'allungamento, puoi risalire alla forza. È esattamente il principio del dinamometro, lo strumento che avevamo incontrato nella prima lezione.
Dentro il dinamometro c'è una molla di costante k nota. Il gancio trasmette la forza alla molla, la molla si allunga, un indice scorre lungo una scala graduata. Poiché F = k · x, allungamenti uguali corrispondono a forze uguali: per questo la scala del dinamometro ha le tacche equidistanti. Se la legge di Hooke non valesse, le tacche dovrebbero infittirsi verso il fondo scala e lo strumento sarebbe molto più scomodo.
Ed è anche il motivo per cui ogni dinamometro ha una portata indicata sul tubo: è il carico oltre il quale la molla supererebbe il proprio limite di elasticità. Sforare quella portata non significa solo leggere un valore sbagliato: significa tarare male lo strumento per sempre.
Nella simulazione La forza elastica puoi appendere carichi diversi alla molla e costruire punto per punto il grafico forza-allungamento. Raccogli almeno cinque coppie di valori prima di tracciare la retta: la proporzionalità si riconosce solo quando i punti sono abbastanza da vedere se stanno davvero allineati.
Prima converti: x = 0,15 m. Poi F = k · x = 40 · 0,15 = 6,0 N. Se avessi lasciato i centimetri avresti ottenuto 600, cioè un valore cento volte sbagliato: in questa formula le lunghezze vanno sempre in metri.
L'allungamento è x = 18 − 12 = 6 cm = 0,06 m, quindi k = 3,0 / 0,06 = 50 N/m. L'errore classico sarebbe usare 0,18 m e ottenere circa 17 N/m.
Quella con la retta più ripida, perché la pendenza è k: a parità di allungamento richiede una forza maggiore. La retta poco inclinata corrisponde a una molla che si allunga molto con poca forza.
Perché forza e allungamento sono direttamente proporzionali: a ogni newton in più corrisponde sempre lo stesso allungamento in più. È la legge di Hooke tradotta in una scala regolare.
La molla supera il proprio limite di elasticità e si deforma in modo permanente: quando togli il carico l'indice non torna a zero. Da quel momento lo strumento è scalibrato e tutte le misure successive sono sbagliate.