Officina dell'Energia › Parte 2 › Indipendenza dal Percorso
La proprietà che rende possibile tutto il resto.
Devi portare uno zaino di 10 kg dal cortile al terzo piano della scuola. Puoi salire per le scale, prendere l'ascensore, oppure farti issare lo zaino da una finestra con una corda. Nei tre casi hai percorso tragitti lunghissimi e diversissimi fra loro.
La domanda è: il lavoro compiuto dalla forza peso sullo zaino è lo stesso nei tre casi, oppure cambia? Intuitivamente verrebbe da dire che salire per le scale «costa di più», perché si cammina molto di più. Vediamo che cosa dice il calcolo.
Consideriamo un corpo che va da un punto A a un punto B, con un dislivello h, lungo tre percorsi diversi.
Figura 1 — Stessi estremi, stesso dislivello h, percorsi lunghissimi e diversi. Il lavoro della forza peso è identico.
La forza peso è parallela e concorde allo spostamento, α = 0°:
Lo spostamento lungo il piano vale s, e la componente del peso parallela al piano vale m · g · senα, con α l'inclinazione rispetto all'orizzontale. Quindi:
Ma il triangolo ci dice che h = s · senα, e sostituendo:
Lo stesso risultato di prima, nonostante lo spostamento s sia più lungo di h. Il motivo è che l'allungamento del percorso è compensato esattamente dalla riduzione della componente utile della forza.
Spezziamo il percorso tortuoso in tantissimi tratti rettilinei molto corti. Su ciascuno la forza peso è costante e possiamo applicare la formula del lavoro. Ma il lavoro del peso su un tratto qualsiasi dipende solo dalla sua proiezione verticale: i tratti orizzontali danno contributo nullo, quelli in discesa contributo positivo, quelli in salita contributo negativo.
Sommando tutti i contributi, le salite e le discese intermedie si elidono a coppie e resta soltanto il dislivello complessivo:
Il lavoro compiuto dalla forza peso su un corpo in movimento non dipende dal percorso seguito, ma solo dalla posizione iniziale e da quella finale. Non dipende nemmeno dalla velocità con cui si percorre il tragitto né dal tempo impiegato.
Una forza che gode di questa proprietà si chiama conservativa. La forza peso lo è; lo è anche la forza elastica di una molla e la forza elettrica fra due cariche.
Esiste un modo equivalente, e spesso più comodo, di enunciare la stessa proprietà.
Una forza è conservativa se il lavoro che compie lungo un percorso chiuso, cioè che riporta il corpo al punto di partenza, è sempre nullo.
Per la forza peso il criterio è immediato: se il corpo torna al punto di partenza, il dislivello complessivo è zero, quindi L = m · g · 0 = 0. Il lavoro negativo delle salite è compensato esattamente da quello positivo delle discese.
Mettiamo alla prova l'attrito con lo stesso criterio. Trasciniamo una cassa da A a B e poi di nuovo da B ad A, su un pavimento orizzontale.
| Tratto | Lavoro della forza peso | Lavoro dell'attrito |
|---|---|---|
| Andata A → B (lunghezza d) | 0 | − kd m g d |
| Ritorno B → A (lunghezza d) | 0 | − kd m g d |
| Totale sul percorso chiuso | 0 | − 2 kd m g d |
L'attrito fallisce il test: il suo lavoro su un percorso chiuso non è nullo, ed è sempre negativo. Il motivo è che l'attrito cambia direzione insieme al moto, opponendosi sempre: non c'è modo di recuperare al ritorno ciò che si è perso all'andata. Per questo l'attrito è una forza non conservativa, o dissipativa.
Il lavoro della forza peso su un tratto dipende solo dalla proiezione verticale dello spostamento: la lunghezza percorsa non conta. Il lavoro dell'attrito dipende dalla lunghezza effettivamente percorsa: raddoppiando la strada si raddoppia l'energia dissipata. È l'unica differenza fra le due, ed è quella che conta.
L'indipendenza dal percorso è ciò che permette di definire l'energia potenziale. Ragioniamo per assurdo: se il lavoro della forza peso dipendesse dalla strada seguita, non potremmo attribuire a ogni punto un valore di energia, perché lo stesso punto avrebbe valori diversi a seconda di come ci si è arrivati. L'espressione U = m · g · h sarebbe priva di senso.
Poiché invece il lavoro dipende solo dagli estremi, possiamo associare a ogni quota un numero ben definito, e scrivere:
| Forza conservativa | Forza non conservativa | |
|---|---|---|
| Il lavoro dipende da | Posizione iniziale e finale | Percorso seguito |
| Lavoro su percorso chiuso | Sempre nullo | Diverso da zero |
| Energia potenziale associata | Sì | No |
| L'energia è recuperabile? | Sì, interamente | No |
| Esempi | Peso, forza elastica, forza elettrica | Attrito, resistenza dell'aria |
Uno zaino di 10 kg viene portato al terzo piano, 9,0 m più in alto. Quanto lavoro compie la forza peso, salendo per le scale oppure in ascensore?
In entrambi i casi: Lpeso = − m g h = − 10 · 9,8 · 9,0 = −882 J
Identico. Se sulle scale ci si stanca di più non è per lo zaino: è perché si solleva anche il proprio corpo a ogni gradino e perché i muscoli consumano energia anche solo per restare contratti.
Due biglie identiche di 50 g partono ferme dalla stessa altezza di 1,5 m: la prima lungo uno scivolo dritto, la seconda lungo uno scivolo curvo e molto più lungo. Entrambi sono lisci. Con quale velocità arrivano in fondo?
In entrambi i casi Lpeso = m g h e per il teorema dell'energia cinetica ½ m v² = m g h
v = √(2 · 9,8 · 1,5) = √29,4 = 5,4 m/s per tutte e due
La biglia sullo scivolo lungo impiega più tempo, ma arriva alla stessa velocità.
Una cassa di 20 kg viene trascinata per 5,0 m e poi riportata indietro, su un pavimento con kd = 0,30. Verifica il criterio per peso e attrito.
Peso: spostamento sempre orizzontale → L = 0 su entrambi i tratti, totale 0 J
Attrito: Fa = 0,30 · 20 · 9,8 = 58,8 N → L = −58,8 · 10 = −588 J
Il peso supera il test, l'attrito no: 588 J sono usciti definitivamente dal bilancio meccanico.
Perché lungo il piano inclinato solo la componente m g senα della forza peso è diretta come lo spostamento, ed è più piccola del peso totale. Il prodotto m g senα · s dà esattamente m g h, perché h = s senα.
Zero, perché il punto iniziale e quello finale sono alla stessa quota. Il carburante consumato è tutta un'altra storia: serve a vincere la resistenza dell'aria, che non è conservativa.
Perché il lavoro dell'attrito dipende dal percorso: lo stesso punto avrebbe valori di energia diversi a seconda della strada fatta per arrivarci, e l'associazione punto-energia non sarebbe definita.
L = 3,0 · 9,8 · 2,0 = 58,8 J. La lunghezza di 8,0 m serve solo se bisogna calcolare l'attrito.
La domanda si può aggirare: essendo sempre perpendicolare allo spostamento, il suo lavoro è nullo su qualunque percorso, quindi anche su quelli chiusi. Non dissipa energia e non impedisce la conservazione dell'energia meccanica, anche se non le si associa alcuna energia potenziale.