Officina dell'Energia › Parte 2 › L'Energia Potenziale Elastica
L'energia immagazzinata in una molla deformata.
Prendi una molla a riposo e allungala di un tratto x. La molla reagisce con una forza che tende a riportarla alla lunghezza iniziale, tanto più intensa quanto maggiore è la deformazione. Il legame, per deformazioni non troppo grandi, è di semplice proporzionalità diretta:
La costante elastica k misura la rigidità della molla: una molla con k = 500 N/m richiede 500 newton per essere allungata di un metro (o 5 newton per un centimetro). Più k è grande, più la molla è dura.
La forza elastica è quella esercitata dalla molla sul corpo, ed è sempre diretta verso la posizione di riposo (per questo viene spesso scritta con un segno meno: F = −k·x). La forza applicata è quella che esercitiamo noi sulla molla per deformarla, ed è uguale e opposta. Nel calcolo dell'energia useremo i moduli, quindi il segno non crea problemi: basta sapere di quale forza stiamo parlando.
Per calcolare l'energia immagazzinata dovremmo calcolare il lavoro necessario a deformare la molla. Ma qui incontriamo un ostacolo: la formula L = F · s · cosα richiede una forza costante, e la forza elastica non lo è. All'inizio, quando la molla è a riposo, serve una forza praticamente nulla; alla fine, quando la deformazione è x, serve una forza k · x.
Scrivere L = k · x · x = k x² sarebbe sbagliato: significherebbe supporre che per tutta la deformazione la forza sia stata quella massima. Il valore corretto si trova osservando il grafico della forza in funzione della deformazione.
C'è una proprietà generale che vale sempre, anche quando la forza cambia: il lavoro è uguale all'area compresa fra il grafico forza-spostamento e l'asse orizzontale. Se la forza è costante, quell'area è un rettangolo e si ritrova L = F · s. Per la molla, essendo F = k · x una retta passante per l'origine, l'area è un triangolo.
Figura 1 — Il lavoro necessario a deformare la molla è l'area del triangolo colorato.
L'area di quel triangolo vale:
Il fattore ½ ha un significato semplice: durante la deformazione la forza è cresciuta linearmente da 0 a k·x, quindi il suo valore medio è (0 + k·x)/2 = ½ k x. Moltiplicando il valore medio per lo spostamento x si ottiene proprio ½ k x². È lo stesso fattore ½ che compare nell'energia cinetica, e per una ragione analoga.
Quel lavoro non è andato perduto: resta immagazzinato nella molla deformata, pronto a essere restituito appena la lasciamo libera. Lo chiamiamo energia potenziale elastica:
Osservazioni importanti:
Nella formula x è di quanto la molla si è allungata o accorciata rispetto alla lunghezza a riposo, non la sua lunghezza totale. Una molla lunga 30 cm a riposo, compressa fino a 22 cm, ha x = 8 cm = 0,08 m. Ricorda anche di convertire sempre in metri: usare i centimetri porta a risultati sbagliati di un fattore 10 000.
Se comprimi una molla e poi la lasci andare, essa restituisce esattamente tutta l'energia che le avevi fornito. Se la comprimi, la allunghi, la comprimi di nuovo e torni alla deformazione iniziale, il bilancio energetico è nullo. In altre parole, il lavoro della forza elastica dipende solo dalla deformazione iniziale e finale, non da come ci si è arrivati.
È esattamente la proprietà che definisce una forza conservativa, la stessa che abbiamo incontrato per la forza peso. Per questo l'energia potenziale elastica potrà entrare a pieno titolo nel bilancio dell'energia meccanica, accanto a quella gravitazionale e a quella cinetica.
| Forza peso | Forza elastica | |
|---|---|---|
| Formula della forza | P = m · g (costante) | F = k · x (variabile) |
| Energia potenziale | U = m · g · h | Ue = ½ · k · x² |
| Livello zero | Scelto da noi | Posizione di riposo della molla |
| Conservativa? | Sì | Sì |
Una molla di costante elastica k = 200 N/m viene compressa di 10 cm. Quanta energia immagazzina?
x = 10 cm = 0,10 m
Ue = ½ · 200 · 0,102 = 0,5 · 200 · 0,01 = 1,0 J
La stessa molla viene ora compressa di 30 cm. Quanta energia immagazzina?
Ue = ½ · 200 · 0,302 = 0,5 · 200 · 0,09 = 9,0 J
Compressione tripla, energia nove volte maggiore. È il motivo per cui tendere un arco fino in fondo richiede uno sforzo sproporzionato rispetto ai primi centimetri.
Una molla immagazzina 4,5 J quando è allungata di 15 cm. Quanto vale k?
Ue = ½ k x² → k = 2 Ue / x²
k = 2 · 4,5 : 0,152 = 9,0 : 0,0225 = 400 N/m
Vogliamo immagazzinare 2,0 J in una molla con k = 1600 N/m. Di quanto va compressa?
x² = 2 Ue / k = 2 · 2,0 : 1600 = 0,0025
x = √0,0025 = 0,050 m = 5,0 cm
Perché significherebbe supporre che la forza sia stata sempre pari al suo valore massimo k·x durante tutta la deformazione. In realtà è cresciuta da zero, quindi conta il valore medio: metà del massimo. Da qui il fattore ½.
Nessuna delle due: immagazzinano la stessa energia, perché nella formula compare x² e il segno della deformazione non influisce sul risultato.
La seconda immagazzina quattro volte l'energia della prima, perché a parità di x l'energia è direttamente proporzionale a k.
Ue = ½ · 250 · 0,20² = 0,5 · 250 · 0,04 = 5,0 J.
Perché la molla ha una configurazione privilegiata e oggettiva, quella a riposo, in cui non è deformata e non può restituire energia. Per l'altezza invece non esiste uno «zero naturale»: il pavimento, il tavolo e il livello del mare sono scelte tutte ugualmente legittime.