Officina dell'Energia › Parte 1 › La Potenza
La grandezza che misura quanto rapidamente viene compiuto un lavoro.
In un cantiere bisogna caricare su un camion 12 tonnellate di terra. Il lavoro può essere svolto da un escavatore, che riempie la benna, ruota la torretta e scarica, oppure da una pala gommata, che raccoglie il materiale, si porta davanti al camion sollevando la benna e scarica. In entrambi i casi la stessa massa viene sollevata dello stesso dislivello, dal cumulo al bordo del cassone. Il lavoro compiuto sul materiale è quindi lo stesso.
Eppure le due macchine non sono equivalenti: una finisce in tre minuti, l'altra in due. Il lavoro da solo non basta a descrivere questa differenza, perché non dice nulla sul tempo impiegato per compierlo. Serve una nuova grandezza, che misuri quanto rapidamente viene compiuto un lavoro: la potenza.
La stessa situazione si presenta in molti casi quotidiani. Se sali le scale di casa camminando o correndo, il lavoro compiuto contro la forza peso è identico, perché dipende solo dalla tua massa e dal dislivello; correndo, però, arrivi in cima molto più affaticato. Quello che cambia non è il lavoro, ma la rapidità con cui lo compi.
Apri la simulazione Stesso lavoro, tempi diversi e usala come un laboratorio. Lascia le impostazioni iniziali e, prima di avviare, prova a rispondere:
Avvia l'esperimento, confronta lavori e tempi, poi confronta la tua idea con la definizione qui sotto.
Se in un intervallo di tempo Δt viene compiuto un lavoro L, la potenza media è il rapporto fra il lavoro e il tempo impiegato:
dove:
La potenza dice quanti joule vengono trasferiti in ogni secondo. Una macchina con potenza 2000 W compie 2000 J di lavoro ogni secondo; per compiere 10 000 J le servono quindi 5 s.
Dalla definizione si ricavano due conseguenze molto utili:
Nel linguaggio comune «potente» significa spesso «forte». In fisica, invece, la potenza non misura quanto è grande una forza, né quanto lavoro si compie in totale: misura la rapidità con cui il lavoro viene compiuto. Un bambino che solleva uno zaino in fretta può sviluppare, per quel breve intervallo, una potenza maggiore di un adulto che solleva lo stesso zaino con grande lentezza.
Nel Sistema Internazionale la potenza si misura in watt (W), in onore dell'ingegnere scozzese James Watt, che perfezionò la macchina a vapore. Un watt è la potenza di chi compie il lavoro di un joule in un secondo:
Il watt è un'unità piccola, per questo si usano spesso i suoi multipli: il kilowatt (1 kW = 1000 W) e il megawatt (1 MW = 106 W). Per i motori si incontra ancora il cavallo vapore, un'unità che non appartiene al Sistema Internazionale: 1 CV ≈ 735,5 W.
| Situazione | Potenza (ordine di grandezza) |
|---|---|
| Lampadina a LED | 5–10 W |
| Corpo umano a riposo | circa 100 W |
| Ciclista allenato durante uno sforzo prolungato | 300–400 W |
| Asciugacapelli | circa 2 kW |
| Motore di un'automobile utilitaria | 50–100 kW |
| Locomotiva elettrica | alcuni MW |
| Grande centrale elettrica | circa 1000 MW |
Nella bolletta della luce compare il kilowattora (kWh). Nonostante il nome, è un'unità di energia, non di potenza: è l'energia trasferita da un apparecchio di potenza 1 kW che funziona per 1 ora. Dalla relazione L = P · Δt si ottiene:
1 kWh = 1000 W · 3600 s = 3 600 000 J = 3,6 · 106 J
La bolletta, quindi, non fa pagare la potenza degli apparecchi, ma l'energia elettrica che essi hanno trasferito: un apparecchio poco potente acceso per molte ore può trasferire più energia di uno molto potente usato per pochi minuti.
Riportiamo su un grafico il lavoro compiuto dalle due macchine del cantiere in funzione del tempo. Entrambe le curve partono dall'origine e arrivano alla stessa quota, perché il lavoro totale è lo stesso; la pala gommata, però, ci arriva prima. Se congiungiamo l'origine con il punto finale di ciascuna macchina, otteniamo due rette: la potenza media è proprio la pendenza di queste rette, cioè il rapporto fra l'altezza raggiunta (il lavoro) e la base percorsa (il tempo).
Figura 1 — Stesso lavoro, tempi diversi. La retta più ripida corrisponde alla potenza media maggiore.
Nella realtà il lavoro non cresce in modo perfettamente regolare. L'escavatore, per esempio, compie lavoro sul materiale solo mentre lo solleva: quando scava, quando ruota a quota costante e quando torna indietro a benna vuota, il lavoro sul materiale non aumenta. Il grafico reale, quindi, cresce a gradini.
Figura 2 — Il lavoro compiuto dall'escavatore sul materiale cresce a gradini. La pendenza cambia da un istante all'altro; la retta tratteggiata rappresenta la potenza media sull'intero intervallo.
La pendenza del grafico in un certo istante si chiama potenza istantanea: è la potenza media calcolata su un intervallo di tempo così piccolo che, al suo interno, il lavoro cresce in modo praticamente regolare. Nei tratti orizzontali la potenza istantanea è zero; nei tratti di sollevamento è molto maggiore della media.
Quando si confrontano due macchine che svolgono lo stesso compito, conta la potenza media sull'intero lavoro, perché è quella che decide chi finisce prima. La potenza istantanea serve invece a capire che cosa succede durante il lavoro, per esempio per sapere quanta potenza deve poter erogare il motore nei momenti di massimo sforzo.
Consideriamo una forza costante F, parallela e concorde allo spostamento, che agisce su un corpo mentre questo percorre la distanza s nel tempo Δt. Il lavoro è L = F · s, quindi:
P = L / Δt = F · s / Δt = F · (s / Δt)
Il rapporto s / Δt è la velocità media del corpo. Se il corpo si muove a velocità costante v, si ottiene una relazione molto importante:
Questa relazione spiega un'esperienza comune. Il motore di un'automobile può erogare al massimo una certa potenza. In salita serve una forza motrice maggiore, perché oltre alle resistenze dell'aria e del rotolamento bisogna vincere la componente del peso lungo la strada. Se la potenza massima è fissata, una forza maggiore è possibile solo con una velocità minore: per questo in salita si procede più piano e si scala marcia.
Un ciclista può sviluppare per lungo tempo una potenza limitata, di qualche centinaio di watt. In pianura quella potenza gli basta per andare veloce, perché la forza necessaria è piccola. In salita la forza richiesta cresce molto: con la stessa potenza la velocità deve diminuire. I rapporti del cambio servono proprio a lavorare con la forza e la frequenza di pedalata più adatte alla potenza disponibile.
Nessuna macchina reale trasforma in lavoro utile tutta l'energia che riceve. Il motore di un montacarichi, per esempio, riceve energia elettrica, ma solo una parte di questa energia viene usata per sollevare il carico: il resto si trasforma soprattutto in energia interna, cioè scalda il motore, i cavi e gli ingranaggi a causa degli attriti.
Si distinguono quindi la potenza assorbita dalla macchina e la potenza utile, cioè quella effettivamente usata per il compito richiesto. Il loro rapporto si chiama rendimento:
Nella simulazione del cantiere la potenza calcolata è solo quella utile al sollevamento del materiale: per questo risulta di pochi kilowatt. Il motore di una macchina da cantiere reale sviluppa una potenza molto maggiore, perché deve anche muovere il braccio, la benna e la macchina stessa e vincere gli attriti.
Un escavatore e una pala gommata caricano ciascuno 12 000 kg di materiale, sollevandolo di 3,0 m. L'escavatore impiega 180 s, la pala gommata 120 s. Calcola il lavoro e la potenza media di ciascuna macchina (g = 9,81 m/s², come nella simulazione).
L = m · g · h = 12 000 · 9,81 · 3,0 = 353 160 J ≈ 353 kJ (per entrambe)
Pescavatore = 353 160 J / 180 s ≈ 1,96 kW
Ppala = 353 160 J / 120 s ≈ 2,94 kW
Il rapporto fra le potenze è 2,94 / 1,96 = 1,5, esattamente l'inverso del rapporto fra i tempi (180 / 120 = 1,5): a parità di lavoro, chi impiega meno tempo sviluppa una potenza maggiore nella stessa proporzione.
Uno studente di 50 kg sale tre piani di scale, per un dislivello di 9,0 m. Calcola la potenza media se sale di corsa in 15 s e se sale camminando in 45 s (g = 9,8 m/s²).
L = m · g · h = 50 · 9,8 · 9,0 = 4410 J
Pcorsa = 4410 J / 15 s = 294 W
Pcamminata = 4410 J / 45 s = 98 W
Il lavoro contro la forza peso è lo stesso nei due casi; correndo, lo studente lo compie in un terzo del tempo e sviluppa una potenza tre volte maggiore.
Un'automobile viaggia a velocità costante di 90 km/h su una strada orizzontale. Le forze resistenti (aria e rotolamento) valgono in tutto 600 N. Quale potenza deve sviluppare la forza motrice?
v = 90 km/h = 90 / 3,6 m/s = 25 m/s
A velocità costante la forza motrice equilibra le forze resistenti, quindi F = 600 N:
P = F · v = 600 N · 25 m/s = 15 000 W = 15 kW
Attenzione alle unità: nella relazione P = F · v la velocità va espressa in m/s, altrimenti il risultato non è in watt.
Un asciugacapelli di potenza 2,0 kW resta acceso per 15 minuti. Quanta energia elettrica trasferisce? Esprimi il risultato in kWh e in joule.
E = P · Δt = 2,0 kW · 0,25 h = 0,50 kWh
E = 2000 W · 900 s = 1,8 · 106 J
I due risultati coincidono: 0,50 · 3,6 · 106 J = 1,8 · 106 J. Il kilowattora è comodo proprio perché evita numeri così grandi.
Il motore di un montacarichi assorbe una potenza di 5,0 kW e solleva a velocità costante un carico di 500 kg di 12 m in 16 s. Calcola la potenza utile e il rendimento (g = 9,8 m/s²).
Lutile = m · g · h = 500 · 9,8 · 12 = 58 800 J
Putile = 58 800 J / 16 s = 3675 W ≈ 3,7 kW
η = 3675 W / 5000 W ≈ 0,74 = 74%
Circa un quarto della potenza assorbita non serve a sollevare il carico: si trasforma soprattutto in energia interna del motore e degli ingranaggi.
| Errore | Perché è sbagliato |
|---|---|
| Pensare che la macchina più potente compia sempre più lavoro | La potenza dice quanto rapidamente si compie il lavoro, non quanto se ne compie in totale: nel cantiere le due macchine compiono lo stesso lavoro con potenze diverse |
| Usare il tempo in minuti o in ore insieme al lavoro in joule | Il watt è un joule al secondo: il tempo va convertito in secondi |
| Considerare il kilowattora un'unità di potenza | Il kWh è un'unità di energia: potenza per tempo, pari a 3,6 · 106 J |
| Ritenere che a lavoro doppio corrisponda sempre potenza doppia | È vero solo se il tempo resta lo stesso: se raddoppiano sia il lavoro sia il tempo, la potenza non cambia |
| Usare P = F · v con la velocità in km/h | Per ottenere watt la forza va in newton e la velocità in m/s |
| Confondere potenza media e potenza istantanea | La potenza media riguarda l'intero intervallo; quella istantanea può essere molto più grande o anche nulla in certi momenti |
Il lavoro è lo stesso, perché dipende solo dalla massa e dal dislivello. Lo studente che corre impiega meno tempo e quindi sviluppa una potenza media maggiore.
Il tempo va espresso in secondi: 2 min = 120 s. P = 6000 J / 120 s = 50 W. Usando i minuti si otterrebbe 3000, un valore sbagliato di un fattore 60.
E = 10 W · 18 000 s = 180 000 J. In kilowattora: E = 0,010 kW · 5 h = 0,050 kWh.
La pendenza è il rapporto fra lavoro e tempo, cioè la potenza media. La retta più ripida corrisponde alla macchina che compie lavoro più rapidamente, quindi con potenza maggiore.
Da P = F · v si ricava F = P / v = 60 000 W / 30 m/s = 2000 N.
Il lavoro raddoppia, perché dipende dalla massa sollevata. Anche il numero di carichi raddoppia, e con esso il tempo. Il rapporto L / Δt resta quindi circa lo stesso: la potenza media non cambia (a meno di piccole differenze dovute all'ultimo carico, che può essere parziale).
Putile = η · Passorbita = 0,75 · 4,0 kW = 3,0 kW. Il restante 1,0 kW si trasforma soprattutto in energia interna del motore e degli ingranaggi.