Officina dell'Energia › Parte 1 › Il Lavoro di una Forza
La grandezza che misura quanta energia una forza riesce a trasferire.
Nella lezione precedente abbiamo visto che l'effetto di una forza non dipende soltanto dalla sua intensità, ma anche da come e per quanto essa agisce. Per descrivere quantitativamente l'effetto energetico di una forza durante uno spostamento dobbiamo quindi tenere conto dell'intensità della forza, dello spostamento e della loro direzione reciproca.
La grandezza fisica che mette insieme questi elementi si chiama lavoro. In fisica questa parola ha un significato molto più preciso di quello del linguaggio comune: se spingi con tutte le tue forze un muro che, nel modello ideale, rimane perfettamente immobile, sarai stanchissimo, ma il lavoro della forza esercitata sul muro è zero, perché il punto di applicazione della forza non si sposta.
Il lavoro descrive l'effetto energetico di una forza durante uno spostamento. Se la forza è esercitata dall'esterno sul sistema, il lavoro può rappresentare un trasferimento di energia tra il sistema e l'ambiente. Se invece la forza è interna al sistema, il lavoro può essere collegato a una trasformazione o redistribuzione dell'energia all'interno del sistema. Il lavoro si misura in joule (J), la stessa unità di misura dell'energia.
Se una forza costante F agisce su un corpo che compie uno spostamento rettilineo s, il lavoro compiuto dalla forza è:
dove:
È α a essere l'angolo, non cosα. Il coseno è il numero (compreso fra −1 e +1) che si ottiene dall'angolo e che stabilisce quale frazione della forza è realmente utile allo spostamento.
Nella simulazione Il lavoro di una forza costante inclinata puoi variare l'angolo della forza e osservare come cambia il lavoro: guarda in particolare che cosa resta della forza quando l'angolo si avvicina a 90°.
Perché compare proprio il coseno? Perché di tutta la forza applicata, solo la parte diretta come lo spostamento contribuisce a spostare il corpo. Quella parte è la componente della forza lungo lo spostamento, e vale F · cosα. Il lavoro è dunque il prodotto di questa componente utile per lo spostamento:
È il punto in cui si sbaglia più spesso. Due regole risolvono ogni dubbio:
Figura 1 — Per individuare l'angolo α, forza e spostamento si rappresentano con la stessa origine. Il suo valore decide il segno del lavoro.
Sul piano inclinato compaiono più angoli uguali fra loro o complementari, e non tutti sono l'angolo che serve. Quello da usare nella formula del lavoro è sempre l'angolo fra la forza e lo spostamento. Per evitare confusione, indichiamo con β l'inclinazione del piano rispetto all'orizzontale. In questo caso il lavoro della forza peso lungo il piano vale +m · g · s · senβ in discesa e −m · g · s · senβ in salita. Nella lezione Esempi di calcolo del lavoro il caso è trattato per esteso.
La relazione L = F · s · cosα vale a due condizioni:
Se una di queste condizioni cade, la formula non si applica direttamente nella forma elementare usata in questa lezione. È il caso, per esempio, della forza elastica di una molla, che cambia al variare della deformazione, oppure di un moto lungo una traiettoria curva. Questi casi richiedono un trattamento più generale.
Nei casi studiati in questa lezione il moto avviene lungo un tratto rettilineo: per questo il modulo dello spostamento e la distanza percorsa coincidono. Su una traiettoria curva, invece, le due grandezze non coincidono in generale e bisogna distinguere con attenzione il punto di partenza, il punto di arrivo e la lunghezza del percorso seguito.
Il lavoro è una grandezza scalare: non ha direzione né verso, è un numero. Ma quel numero può essere positivo, nullo o negativo, e il segno ha un significato fisico preciso.
| Angolo α | cosα | Segno di L | Nome | Significato fisico |
|---|---|---|---|---|
| 0° ≤ α < 90° | positivo | L > 0 | Lavoro motore | La forza dà un contributo positivo alla variazione dell'energia cinetica |
| α = 90° | 0 | L = 0 | Lavoro nullo | La forza non contribuisce alla variazione dell'energia cinetica |
| 90° < α ≤ 180° | negativo | L < 0 | Lavoro resistente | La forza dà un contributo negativo alla variazione dell'energia cinetica |
Un lavoro negativo non è un errore di calcolo né un'assurdità: significa che quella forza dà un contributo negativo alla variazione dell'energia cinetica del corpo. Quando freni in bicicletta, per esempio, il lavoro della forza frenante è negativo e la velocità diminuisce.
Quando la forza è inclinata all'indietro rispetto allo spostamento, si può procedere in due modi equivalenti: usare direttamente α (il cui coseno è negativo, e il segno viene fuori da solo), oppure usare l'angolo supplementare β = 180° − α e mettere il segno meno a mano:
Tre configurazioni si presentano continuamente e conviene conoscerle a memoria.
| Situazione | Angolo | Lavoro | Esempio |
|---|---|---|---|
| Forza parallela e concorde allo spostamento | α = 0° | L = F · s | Spingere un carrello in avanti |
| Forza perpendicolare allo spostamento | α = 90° | L = 0 | La reazione del pavimento su una cassa trascinata |
| Forza parallela e discorde allo spostamento | α = 180° | L = − F · s | L'attrito su un corpo che scivola |
Su un corpo che scivola lungo un piano fisso, la reazione normale è perpendicolare allo spostamento e quindi compie lavoro nullo. Nel moto circolare uniforme, la risultante delle forze diretta verso il centro, cioè la risultante centripeta, è perpendicolare allo spostamento istantaneo e compie lavoro nullo. Non bisogna però trasformare questi esempi in una regola assoluta: in altre situazioni una reazione vincolare o una tensione possono compiere lavoro.
Su un corpo reale agiscono quasi sempre più forze contemporaneamente. Il lavoro totale è la somma algebrica dei lavori compiuti da ciascuna forza, ognuna con il proprio angolo:
Figura 2 — Quattro forze, quattro lavori diversi da sommare.
Per la situazione della figura:
Nella simulazione Il lavoro di due forze puoi applicare al corpo due forze insieme e leggere il lavoro di ciascuna accanto al lavoro totale: prova a rendere negativo il lavoro della seconda forza e osserva che cosa succede alla somma.
Nel termine della forza inclinata lo spostamento s non va mai dimenticato: si scrive F3 · s · cosα, non F3 · cosα. Quest'ultima espressione è una forza, non un lavoro, e si vede subito dalle unità di misura: newton invece di joule. Controllare le unità è il modo più rapido per scoprire un errore di questo tipo.
Esiste anche una seconda strada, del tutto equivalente: calcolare prima la risultante di tutte le forze e poi il lavoro della risultante. Il risultato è lo stesso, e in alcuni problemi è la via più breve.
È il caso più importante di tutti, perché aprirà la strada all'energia potenziale.
La forza peso P = m · g è diretta verso il basso, e verso il basso avviene lo spostamento: forza e spostamento sono concordi, α = 0°, quindi
Ora lo spostamento è verso l'alto mentre il peso resta verso il basso: α = 180°, e il lavoro della forza peso è negativo:
E il lavoro della forza F con cui solleviamo il corpo? Se lo solleviamo a velocità costante, la forza applicata deve equilibrare esattamente il peso, quindi F = m · g e il suo lavoro vale
La relazione LF = m · g · h vale certamente nel caso semplice di sollevamento a velocità costante, perché allora F = m · g. Se applichiamo una forza maggiore del peso e il corpo aumenta la propria velocità, il lavoro della forza applicata è maggiore di m · g · h.
Più in generale, se sul corpo compiono lavoro soltanto la forza applicata e il peso, la stessa relazione vale anche quando la forza applicata varia, purché la velocità finale sia uguale a quella iniziale. Un caso particolarmente semplice è quello in cui il corpo parte fermo e arriva fermo.
Osserva che nel sollevamento a velocità costante il lavoro totale è zero: +mgh della nostra forza e −mgh del peso si annullano. È coerente con il fatto che la velocità rimane costante e quindi l'energia cinetica non cambia. Questa osservazione anticipa il teorema dell'energia cinetica della prossima lezione.
Figura 3 — Lo stesso dislivello h, due segni opposti per il lavoro della forza peso.
Nella simulazione Il lavoro della forza peso puoi sollevare un cubo e poi lasciarlo cadere, cambiando massa e quota: confronta il lavoro della forza che solleva con quello della forza peso e verifica che nei due tratti i segni si scambiano.
Nel caso studiato qui, un corpo scivola su una superficie fissa. L'attrito dinamico è allora diretto in verso opposto allo spostamento del corpo: α = 180° e il suo lavoro è negativo. In situazioni più generali, per esempio con superfici in movimento, il segno del lavoro dell'attrito può essere diverso.
Nella simulazione Il lavoro della forza di attrito puoi cambiare la massa, la ruvidità del piano e l'inclinazione della forza motrice: osserva come varia la forza premente N e, di conseguenza, il lavoro resistente dell'attrito.
Su un piano orizzontale, se nessun'altra forza ha componenti verticali, allora N = m · g. Se invece spingi la cassa con una forza inclinata verso il basso e non c'è accelerazione verticale, la reazione aumenta. Indicando con β l'angolo della forza rispetto alla verticale, si ha N = m · g + F · cosβ. Se invece tiri verso l'alto, N diminuisce. Sul piano inclinato N assume ancora un valore diverso. Prima di calcolare l'attrito, chiediti sempre: quanto vale davvero N in questa situazione?
C'è una differenza profonda fra la forza peso e l'attrito, e vale la pena notarla subito. Il lavoro del peso dipende solo dal dislivello fra partenza e arrivo. Nel modello di attrito dinamico con modulo costante, invece, il lavoro dell'attrito dipende dalla lunghezza del percorso: seguire una strada più lunga rende maggiore il valore assoluto del lavoro resistente. Questa differenza introduce la distinzione fra forze conservative e non conservative, che sarà importante nello studio della conservazione dell'energia meccanica.
Una cassa viene trainata per 8,0 m da una fune che forma un angolo di 30° con il pavimento. La tensione della fune è 50 N. Quanto lavoro compie la fune?
L = F · s · cosα = 50 N · 8,0 m · cos 30° = 50 · 8,0 · 0,866 = 346 J
Il lavoro è positivo. Se la fune fosse orizzontale il lavoro sarebbe 400 J: poiché lo spostamento è orizzontale, soltanto la componente della forza nella direzione dello spostamento contribuisce al lavoro.
Uno scaffalista solleva a velocità costante una scatola di 12 kg fino a un ripiano alto 1,5 m. Calcola il lavoro della forza applicata, quello della forza peso e il lavoro totale (g = 9,8 m/s²).
F = m · g = 12 · 9,8 = 117,6 N
LF = + 117,6 · 1,5 = +176 J
Lpeso = − 117,6 · 1,5 = −176 J
Ltot = 176 − 176 = 0 J
Il lavoro totale nullo è coerente con il fatto che la scatola viene sollevata a velocità costante: la sua energia cinetica non cambia. L'energia fornita dallo scaffalista non è però svanita: nella prossima parte del percorso vedremo come descriverla attraverso l'energia potenziale gravitazionale.
Una cassa di 20 kg viene spinta per 5,0 m su un pavimento orizzontale con una forza di 80 N parallela allo spostamento. Il coefficiente di attrito dinamico è 0,30. Calcola tutti i lavori (g = 9,8 m/s²).
LF = + 80 · 5,0 = +400 J
N = m · g = 20 · 9,8 = 196 N → Fa = 0,30 · 196 = 58,8 N
Lattrito = − 58,8 · 5,0 = −294 J
Lpeso = 0 (perpendicolare allo spostamento)
Lreazione = 0 (perpendicolare allo spostamento)
Ltot = 400 − 294 = +106 J
Il lavoro totale è +106 J. Nella prossima lezione vedremo che questo valore è direttamente collegato alla variazione dell'energia cinetica della cassa. I 294 J associati al lavoro dell'attrito vengono trasformati principalmente in energia interna della cassa e del pavimento.
| Errore | Perché è sbagliato |
|---|---|
| Usare l'angolo che la forza forma con la verticale (o con il piano) invece che con lo spostamento | La formula richiede l'angolo fra i due vettori applicati nello stesso punto: ogni altro angolo dà un risultato diverso |
| Dimenticare s nel termine con il coseno | F · cosα è una forza (N), non un lavoro (J) |
| Scrivere il lavoro dell'attrito con il segno + | Nel caso di un corpo che scivola su una superficie fissa, l'attrito è opposto allo spostamento e il lavoro è negativo |
| Porre N = m · g in ogni situazione | Vale solo sul piano orizzontale senza altre forze verticali |
| Considerare il lavoro un vettore | Il lavoro è uno scalare: si somma algebricamente, non con la regola del parallelogramma |
| Applicare la formula a una forza variabile (per esempio una molla) | La formula richiede forza costante: per la molla servirà un ragionamento diverso |
Zero. La forza di sostegno esercitata sul vassoio è verticale, mentre lo spostamento è orizzontale: α = 90° e cos 90° = 0. Quella forza, quindi, compie lavoro nullo sul vassoio durante il tratto orizzontale.
L = 20 · 3 · cos 120° = 20 · 3 · (−0,5) = −30 J. Lavoro resistente: la forza sottrae 30 J al corpo.
Perché la risultante centripeta è sempre diretta verso il centro, mentre lo spostamento istantaneo è tangente alla circonferenza: i due vettori sono perpendicolari. Per questo il lavoro della risultante centripeta è nullo e il modulo della velocità rimane costante.
Il lavoro della forza peso è lo stesso, perché dipende solo dal dislivello fra A e B (su un piano orizzontale è nullo in entrambi i casi). Nel modello di attrito dinamico con modulo costante, invece, il lavoro dell'attrito dipende dalla lunghezza del percorso e nel secondo caso è maggiore in valore assoluto. Questo anticipa la distinzione fra forze conservative e non conservative.
Ltot = 30 · 4 − 10 · 4 + 25 · 4 · cos 60° + 0 = 120 − 40 + 50 = +130 J.
Perché la forza elastica non è costante: cresce proporzionalmente alla deformazione. La formula richiede una forza costante durante tutto lo spostamento, condizione qui non soddisfatta.