Officina dell'Energia › Parte 3 › Esempi di Applicazione della Conservazione

Esempi di Applicazione della Conservazione

Quindici situazioni tipiche, un solo metodo.

Al termine di questa lezione saprai

impostare il bilancio energetico in ogni situazione tipica;
scegliere il livello di riferimento nel modo più conveniente;
capire quando usare E_A = E_B e quando E_A + L_nc = E_B;
trattare correttamente i problemi con le molle;
risolvere problemi completi con dati numerici.

1. Il metodo, ancora una volta

Scegli i due stati da confrontare, chiamali A e B, e individua che cosa sai di ciascuno (altezza, velocità, deformazione della molla).
Fissa il livello di riferimento per le altezze: conviene sempre metterlo nel punto più basso del moto, così una delle due energie potenziali si annulla.
Scrivi E_A ed E_B includendo solo i termini presenti.
Applica il bilancio: E_A = E_B se compiono lavoro solo forze conservative, altrimenti E_A + L_nc = E_B.

Un consiglio che fa risparmiare tempo

Non sostituire i numeri subito. Scrivi prima l'equazione in forma simbolica, semplifica (spesso la massa sparisce), ricava l'incognita con la formula inversa e solo alla fine inserisci i valori numerici. Gli errori di calcolo si dimezzano.

2. Corpo lasciato cadere

Situazione	Stato A	Stato B	Bilancio
Caduta da altezza h_A con v_A = 0	E_A = m g h_A	E_B = ½ m v_B²	m g h_A = ½ m v_B²
Caduta da altezza h_A con v_A ≠ 0	E_A = m g h_A + ½ m v_A²	E_B = ½ m v_B²	m g h_A + ½ m v_A² = ½ m v_B²
Caduta con resistenza dell'aria	E_A = m g h_A	E_B = ½ m v_B²	m g h_A + L_nc = ½ m v_B²

In tutti questi casi il riferimento è posto nel punto B, che è il più basso. Nota che nelle prime due righe la massa si semplifica: la velocità finale non dipende dal peso del corpo.

3. Corpo che arriva su una molla

Situazione	Stato A	Stato B	Bilancio
Il corpo cade da h_A con v_A ≠ 0 e comprime una molla fermandosi (v_B = 0)	E_A = m g h_A + ½ m v_A²	E_B = ½ k x_B²	m g h_A + ½ m v_A² = ½ k x_B²
Il corpo è lanciato da una molla compressa di x_A e sale fino a h_B	E_A = ½ k x_A²	E_B = m g h_B + ½ m v_B²	½ k x_A² = m g h_B + ½ m v_B²

Il punto più delicato dei problemi con le molle

Nella prima riga, l'altezza h_A va misurata rispetto alla posizione finale del corpo a molla completamente compressa, non rispetto all'estremo libero della molla scarica. Se prendi come riferimento la molla a riposo, durante la compressione il corpo scende ancora di x_B e devi aggiungere a sinistra il termine m · g · x_B:

m g h_A + m g x_B + ½ m v_A² = ½ k x_B²

Su un piano inclinato di α, la discesa verticale corrispondente a una compressione x_B lungo il piano vale x_B · senα, e il termine da aggiungere diventa m · g · x_B · senα. Scegliere il riferimento nella posizione finale evita del tutto il problema: è il motivo per cui conviene farlo.

4. Moto su un piano orizzontale

Qui l'altezza non cambia mai, quindi il termine m · g · h è lo stesso nei due stati e si semplifica: restano solo energia cinetica e lavori non conservativi.

Situazione	Bilancio
Corpo spinto da una forza F parallela, senza attrito	½ m v_A² + F s = ½ m v_B²
Corpo spinto da F parallela, con attrito	½ m v_A² + F s − k_d m g s = ½ m v_B²
Corpo lanciato che si ferma per attrito	½ m v_A² − k_d m g s = 0

5. Moto su un piano inclinato

In tutte le righe che seguono, α è l'inclinazione del piano rispetto all'orizzontale, s lo spostamento lungo il piano e h = s · senα il dislivello verticale. Di conseguenza la reazione vincolare vale N = m g cosα e il lavoro dell'attrito è − k_d m g cosα s.

Situazione	Bilancio
Discesa da A a B, piano liscio, v_A ≠ 0	m g h_A + ½ m v_A² = ½ m v_B²
Discesa da A a B con attrito	m g h_A + ½ m v_A² − k_d m g cosα s = ½ m v_B²
Discesa fino a comprimere una molla, v_B = 0	m g h_A + ½ m v_A² = ½ k x_B²
Discesa fino a comprimere una molla, con attrito	m g h_A + ½ m v_A² − k_d m g cosα s = ½ k x_B²
Salita da A a B con v_A ≠ 0, piano liscio	½ m v_A² = m g h_B + ½ m v_B²
Salita da A a B con attrito	½ m v_A² − k_d m g cosα s = m g h_B + ½ m v_B²
Salita spinto da F parallela al piano, partendo da fermo al livello zero	F s = m g h_B + ½ m v_B²
Salita spinto da F parallela al piano, con attrito	F s − k_d m g cosα s = m g h_B + ½ m v_B²

Come leggere queste tabelle

Non sono formule da imparare a memoria: sono l'applicazione della stessa identica equazione E_A + L_nc = E_B a casi diversi. Ogni termine compare solo quando la situazione lo richiede. Se riesci a ricostruire una riga qualsiasi ragionando invece che ricordando, hai capito il principio.

6. Problemi risolti

Problema 1 — Il giro della morte

Una biglia parte ferma da un'altezza di 1,2 m su una pista liscia e passa per un punto alto 0,80 m. Con quale velocità lo attraversa? (g = 9,8 m/s²)

Riferimento: il punto più basso della pista.

m g h_A = m g h_B + ½ m v_B²

g (h_A − h_B) = ½ v_B² → v_B = √(2 · 9,8 · 0,40)

v_B = √7,84 = 2,8 m/s

La forma della pista non è mai entrata nel calcolo: conta solo il dislivello di 0,40 m.

Problema 2 — Discesa su piano inclinato con attrito

Un blocco di 6,0 kg parte fermo e scende per 5,0 m lungo un piano inclinato di 30°, con k_d = 0,15. Con quale velocità arriva in fondo?

h_A = 5,0 · sen 30° = 2,5 m → E_A = 6,0 · 9,8 · 2,5 = 147 J

L_nc = − 0,15 · 6,0 · 9,8 · cos30° · 5,0 = − 0,15 · 6,0 · 9,8 · 0,866 · 5,0 = −38,2 J

E_B = 147 − 38,2 = 108,8 J = ½ · 6,0 · v_B²

v_B² = 36,3 → v_B = 6,0 m/s

Senza attrito sarebbe arrivato a 7,0 m/s.

Problema 3 — Compressione di una molla

Un corpo di 2,0 kg cade da fermo da 1,5 m su una molla verticale di costante k = 4000 N/m. Di quanto si comprime la molla? Misura l'altezza rispetto alla posizione finale del corpo.

Riferimento nella posizione di massima compressione: E_A = m g h_A = 2,0 · 9,8 · 1,5 = 29,4 J

E_B = ½ k x_B² (il corpo è fermo, al livello zero)

29,4 = ½ · 4000 · x_B² → x_B² = 0,0147

x_B = 0,12 m = 12 cm

Problema 4 — Fino a dove arriva

Un carrello di 3,0 kg lanciato a 7,0 m/s risale un piano inclinato liscio di 25°. Quanto spazio percorre lungo il piano prima di fermarsi?

½ m v_A² = m g h_B → h_B = v_A² / (2 g) = 49 : 19,6 = 2,5 m

s = h_B / sen 25° = 2,5 : 0,423 = 5,9 m

Prima l'altezza, poi lo spostamento lungo il piano: tenere separati i due passaggi evita di confondere h con s.

Problema 5 — Due forze insieme

Una cassa di 15 kg, ferma alla base di un piano inclinato di 20°, viene spinta in salita per 4,0 m da una forza di 90 N parallela al piano, con k_d = 0,10. Con quale velocità arriva in cima al tratto?

h_B = 4,0 · sen 20° = 1,37 m

L_F = + 90 · 4,0 = 360 J

L_attrito = − 0,10 · 15 · 9,8 · cos20° · 4,0 = −55,3 J

E_A = 0 → 0 + 360 − 55,3 = 15 · 9,8 · 1,37 + ½ · 15 · v_B²

304,7 = 201,4 + 7,5 v_B² → v_B² = 13,8

v_B = 3,7 m/s

7. Gli errori più frequenti

Errore	Come evitarlo
Usare E_A = E_B in presenza di attrito	Prima di scrivere l'equazione, elenca le forze e chiediti quali compiono lavoro
Cambiare livello di riferimento a metà problema	Disegnalo e scrivilo accanto al disegno prima di iniziare
Confondere lo spostamento lungo il piano s con il dislivello h	Ricorda h = s · senα e calcolalo come passaggio separato
Usare N = m g sul piano inclinato	Sul piano inclinato N = m g cosα
Dimenticare la discesa aggiuntiva quando si comprime una molla	Metti il riferimento nella posizione finale del corpo
Scrivere il termine dell'attrito con il segno +	Il lavoro dell'attrito è sempre negativo

In sintesi

Un solo schema per tutti i casi: E_A + L_nc = E_B, con L_nc = 0 quando compiono lavoro solo forze conservative.
Conviene mettere il livello di riferimento nel punto più basso del moto.
Sul piano inclinato: h = s · senα e N = m g cosα.
Nei problemi con le molle, misura le altezze rispetto alla posizione finale del corpo.
Lavora in forma simbolica e sostituisci i numeri solo alla fine.
Nei problemi di sola gravità la massa si semplifica quasi sempre.

Verifica se hai capito

1. Perché nel Problema 1 non serve conoscere la forma della pista?

Perché la forza peso è conservativa e il suo lavoro dipende solo dal dislivello, mentre la reazione vincolare della pista è perpendicolare allo spostamento e non compie lavoro. Nessun termine dell'equazione contiene informazioni sulla traiettoria.

2. Un corpo scende lungo un piano inclinato e uno cade verticalmente dalla stessa altezza, entrambi senza attrito. Chi arriva più veloce?

Arrivano alla stessa velocità, perché l'energia meccanica si conserva e il dislivello è lo stesso. Cambia solo il tempo impiegato.

3. Nel Problema 3, che cosa succederebbe se misurassi h_A dall'estremo libero della molla a riposo?

Dovresti aggiungere al primo membro il termine m g x_B, perché durante la compressione il corpo scende di altri 12 cm. L'equazione diventerebbe di secondo grado in x_B: corretta, ma più laboriosa.

4. Un blocco viene lanciato a 6,0 m/s su un pavimento con k_d = 0,20. Dopo quanti metri si ferma?

½ v² = k_d g s → s = v² / (2 k_d g) = 36 : (2 · 0,20 · 9,8) = 36 : 3,92 = 9,2 m.

5. In quali dei casi delle tabelle la massa si semplifica?

In tutti quelli in cui compaiono solo termini gravitazionali, cinetici e di attrito, perché ciascuno contiene il fattore m. Non si semplifica quando compaiono una molla (il termine ½ k x² non contiene m) o una forza applicata F assegnata in newton.

TORNA ALL'OFFICINA DELL'ENERGIA →