Officina dell'Energia › Parte 3 › Il Principio di Conservazione

Il Principio di Conservazione

Una sola equazione che tiene insieme tutto il percorso.

Al termine di questa lezione saprai

definire l'energia meccanica di un sistema;
dimostrare il principio di conservazione a partire dal teorema dell'energia cinetica;
enunciare con precisione le condizioni sotto cui il principio vale;
distinguere forze conservative e non conservative;
applicare il metodo in quattro passi per risolvere un problema di conservazione.

1. L'energia meccanica

Abbiamo ormai tre forme di energia: quella legata al movimento e quelle legate alla posizione o alla deformazione. La loro somma prende il nome di energia meccanica:

E = E_c + U dove U è l'energia potenziale totale, somma di quella gravitazionale e di quella elastica.

Scritta per esteso, in un sistema in cui compaiono gravità e molle:

E = ½ · m · v² + m · g · h + ½ · k · x²

2. La dimostrazione

Prendiamo un corpo di massa m e solleviamolo fino a un punto A, a un'altezza h_A da una quota di riferimento. Poi lasciamolo cadere, e osserviamolo mentre passa per un punto B, a un'altezza h_B.

Figura 1 — Il corpo cade da A a B. Durante la caduta agisce soltanto la forza peso.

Primo modo: il lavoro della forza peso

Nel tratto da A a B la forza peso compie un lavoro che dipende solo dal dislivello Δh = h_A − h_B:

L_AB = m · g · h_A − m · g · h_B

Secondo modo: il teorema dell'energia cinetica

Durante la caduta l'unica forza che agisce è il peso, quindi il suo lavoro è il lavoro totale, e possiamo applicare il teorema dell'energia cinetica:

L_AB = ½ · m · v_B² − ½ · m · v_A²

Uguagliamo

Abbiamo due espressioni per la stessa quantità L_AB: se i primi membri sono uguali, lo saranno anche i secondi.

m · g · h_A − m · g · h_B = ½ · m · v_B² − ½ · m · v_A²

Portiamo al primo membro tutti i termini con la A e al secondo quelli con la B:

m · g · h_A + ½ · m · v_A² = m · g · h_B + ½ · m · v_B²

Cioè, riconoscendo i termini:

U_A + E_cA = U_B + E_cB → E_A = E_B

Il principio di conservazione dell'energia meccanica

Se su un corpo compiono lavoro solo forze conservative, la sua energia meccanica, somma dell'energia cinetica e dell'energia potenziale, si mantiene costante durante tutto il moto.

I punti A e B sono due punti qualunque della traiettoria: il risultato non dipende da quali abbiamo scelto. L'energia meccanica ha lo stesso valore in ogni istante del moto. Cambia la ripartizione fra le due forme, non il totale.

3. Le condizioni di validità

È il punto su cui bisogna essere assolutamente precisi, perché è dove si annidano gli errori concettuali più gravi.

La formulazione corretta

La condizione è che compiano lavoro soltanto forze conservative. Non è corretto dire «che non agiscano forze esterne»: su un corpo che scivola lungo un piano inclinato liscio agisce la reazione vincolare, che è una forza esterna, eppure l'energia meccanica si conserva perfettamente. Il motivo è che quella forza è perpendicolare allo spostamento e il suo lavoro è nullo.

Quindi il principio si applica quando:

agiscono forze conservative (peso, forza elastica), che compiono lavoro ma lo «restituiscono» sotto forma di energia potenziale;
agiscono forze con lavoro nullo (reazione vincolare, tensione di un filo nel moto circolare, forza centripeta), che non scambiano energia;
non agiscono forze non conservative che compiano lavoro, come l'attrito, la resistenza dell'aria o una spinta applicata dall'esterno.

Un sistema in cui questa condizione è soddisfatta si dice conservativo. Attenzione a non chiamarlo «isolato»: in fisica un sistema isolato è un sistema che non scambia nulla con l'esterno, e un corpo soggetto alla gravità terrestre non lo è di certo.

4. Forze conservative e non conservative

	Forze conservative	Forze non conservative
Il lavoro dipende da…	Solo dalla posizione iniziale e finale	Dal percorso effettivamente seguito
Su un percorso chiuso	Il lavoro totale è nullo	Il lavoro totale è diverso da zero
Energia potenziale associata	Sì	No
L'energia si può recuperare?	Sì, interamente	No, si disperde
Esempi	Forza peso, forza elastica, forza elettrica	Attrito, resistenza dell'aria, spinta di un motore

5. Che cosa ci permette di fare

Il principio di conservazione è, dal punto di vista pratico, una macchina per calcolare velocità e altezze. Scegli due istanti del moto, scrivi l'energia meccanica in ciascuno dei due, uguaglia: l'incognita salta fuori.

Il caso più famoso è la caduta libera da fermo, da un'altezza h:

m · g · h = ½ · m · v² → v = √(2 · g · h)

La massa si semplifica

Nella formula finale la massa è sparita: tutti i corpi arrivano al suolo con la stessa velocità, indipendentemente dal loro peso, purché si possa trascurare la resistenza dell'aria. È la stessa scoperta che si attribuisce a Galileo, ritrovata qui in due righe di calcolo energetico.

6. Il metodo in quattro passi

Scegli il livello di riferimento per le altezze (di solito il punto più basso del moto) e disegnalo. Tutte le quote andranno misurate da lì.
Verifica le condizioni: ci sono attriti o forze applicate che compiono lavoro? Se sì, il principio nella forma E_A = E_B non si applica e serve la versione estesa che vedremo nella lezione sulle forze non conservative.
Scrivi l'energia meccanica nei due punti, includendo solo i termini effettivamente presenti (se il corpo è fermo, E_c = 0; se è al livello zero, U = 0; se non ci sono molle, U_e = 0).
Uguaglia e risolvi rispetto all'incognita.

Esempio 1 — Caduta da ferma

Un sasso viene lasciato cadere da 20 m. Con quale velocità arriva al suolo? (g = 9,8 m/s²)

Riferimento: il suolo. In A: E_A = m g h_A. In B: E_B = ½ m v_B²

m g h_A = ½ m v_B² → v_B = √(2 · 9,8 · 20) = √392 = 19,8 m/s

Esempio 2 — Lancio verso l'alto

Una palla viene lanciata verticalmente verso l'alto a 15 m/s. Che altezza massima raggiunge?

Nel punto più alto la velocità è nulla, quindi tutta l'energia cinetica iniziale è diventata potenziale.

½ m v_A² = m g h_B → h_B = v_A² / (2 g) = 225 : 19,6 = 11,5 m

Esempio 3 — Con velocità iniziale

Un corpo viene lanciato verso il basso a 5,0 m/s da un'altezza di 12 m. Con quale velocità tocca terra?

E_A = m g h_A + ½ m v_A² E_B = ½ m v_B²

g h_A + ½ v_A² = ½ v_B² → v_B² = 2 g h_A + v_A² = 235,2 + 25 = 260,2

v_B = 16,1 m/s

Osserva come la massa non compaia mai: nei problemi di sola gravità si semplifica sempre.

7. Che cosa il principio non dice

Due limiti da tenere presenti:

non dice quando avvengono le cose: dal principio di conservazione non si ricava il tempo di caduta, per quello serve la cinematica;
non dice dove passa il corpo: confronta due stati, non descrive la traiettoria. Ma proprio per questo funziona anche su percorsi complicatissimi, dove la dinamica sarebbe impraticabile.

In sintesi

Energia meccanica: E = E_c + U, somma di energia cinetica ed energia potenziale (gravitazionale ed elastica).
La dimostrazione nasce dal confronto fra il lavoro della forza peso e il teorema dell'energia cinetica.
Principio di conservazione: se compiono lavoro solo forze conservative, l'energia meccanica resta costante, E_A = E_B.
Le forze perpendicolari allo spostamento non violano il principio, perché il loro lavoro è nullo.
Il sistema si dice conservativo, non «isolato».
Nei problemi di sola gravità la massa si semplifica: v = √(2 g h) per la caduta da fermo.
Il principio confronta due stati e non fornisce informazioni sui tempi.

Verifica se hai capito

1. Un corpo scivola lungo un piano inclinato liscio. La reazione vincolare è una forza esterna: perché l'energia meccanica si conserva lo stesso?

Perché la reazione vincolare è perpendicolare allo spostamento e quindi non compie lavoro: non toglie né aggiunge energia al corpo. La condizione del principio riguarda le forze che compiono lavoro, non quelle che semplicemente agiscono.

2. Due biglie identiche partono ferme dalla stessa altezza, una lungo uno scivolo ripido e l'altra lungo uno scivolo dolce, entrambi lisci. Quale arriva in fondo più veloce?

Arrivano con la stessa velocità, perché il dislivello è lo stesso e l'energia meccanica si conserva in entrambi i casi. Cambia il tempo impiegato, non la velocità finale: quella lungo lo scivolo ripido arriva prima, ma non più veloce.

3. Perché è sbagliato dire che l'energia si conserva «se il sistema è isolato»?

Perché un corpo che cade non è isolato: interagisce continuamente con la Terra attraverso la forza peso. Il termine corretto è sistema conservativo, cioè in cui compiono lavoro solo forze conservative.

4. Un pendolo oscilla senza attrito. In quale punto l'energia cinetica è massima? E l'energia potenziale?

L'energia cinetica è massima nel punto più basso, dove la velocità è massima e l'altezza minima. L'energia potenziale è massima nei due punti estremi dell'oscillazione, dove la velocità è momentaneamente nulla. La somma delle due è la stessa in ogni punto.

5. Da che altezza deve cadere un corpo per arrivare al suolo a 10 m/s?

h = v² / (2 g) = 100 : 19,6 = 5,1 m, indipendentemente dalla massa.

6. Nella dimostrazione abbiamo applicato il teorema dell'energia cinetica al solo lavoro della forza peso. Non contraddice il fatto che il teorema riguardi il lavoro totale?

No, perché nella situazione considerata (caduta libera) il peso è l'unica forza che agisce: il suo lavoro coincide con il lavoro totale. Se ci fosse stata anche la resistenza dell'aria, avremmo dovuto includerla e il risultato sarebbe stato diverso.

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