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Caduta di un Grave

La trasformazione continua di energia potenziale in energia cinetica.

Al termine di questa lezione saprai

descrivere come si ripartisce l'energia durante una caduta;
calcolare velocità e altezza in qualunque punto della traiettoria;
dimostrare che la velocità di caduta non dipende dalla massa;
trattare anche il caso di velocità iniziale diversa da zero;
riconoscere che la stessa relazione descrive il lancio verso l'alto.

1. Il caso più semplice, e il più istruttivo

Un corpo viene lasciato cadere da fermo da un'altezza h. Durante la caduta l'unica forza che agisce è il peso, che è conservativa: nessuna forza non conservativa compie lavoro, quindi l'energia meccanica si conserva.

Prendiamo il suolo come piano di riferimento. Nell'istante iniziale il corpo è fermo in alto, nell'istante finale è al suolo alla massima velocità:

E_A = m · g · h E_B = ½ · m · v_B²

m · g · h = ½ · m · v_B²

La massa compare in entrambi i membri e si semplifica, lasciando:

v_B = √(2 · g · h)

La scoperta di Galileo, in due righe

La massa è sparita: tutti i corpi lasciati cadere dalla stessa altezza arrivano al suolo con la stessa velocità, che siano una piuma di piombo o una palla di cannone. Nell'aria la piuma vera cade più lentamente, ma non per il suo peso: per la resistenza dell'aria, che è una forza non conservativa esclusa dalle nostre ipotesi.

2. Che cosa succede durante la caduta

La conservazione non vale solo fra partenza e arrivo: vale in ogni istante. In un punto generico a quota y, con velocità v:

m · g · h = m · g · y + ½ · m · v² La somma resta costante: quello che l'energia potenziale perde, l'energia cinetica lo guadagna.

Seguiamo un corpo di 2,0 kg che cade da 20 m (g = 9,8 m/s², E totale = 392 J):

Quota y	U = m g y	E_c = E − U	Velocità	Totale
20 m (partenza)	392 J	0 J	0 m/s	392 J
15 m	294 J	98 J	9,9 m/s	392 J
10 m (metà)	196 J	196 J	14,0 m/s	392 J
5 m	98 J	294 J	17,1 m/s	392 J
0 m (suolo)	0 J	392 J	19,8 m/s	392 J

Figura 1 — Durante la caduta il serbatoio si svuota da una parte e si riempie dall'altra, ma il totale resta 392 J.

Un dettaglio che sorprende

A metà altezza l'energia è divisa esattamente a metà, ma la velocità non è la metà di quella finale: è 14,0 m/s contro 19,8 m/s, cioè circa il 71%. Il motivo è la dipendenza quadratica dell'energia cinetica dalla velocità: metà energia significa velocità pari a 1/√2 di quella finale.

3. Caduta con velocità iniziale

Se il corpo viene lanciato verso il basso con velocità v_A, all'energia potenziale iniziale si aggiunge un termine cinetico:

m · g · h + ½ · m · v_A² = ½ · m · v_B²

Semplificando la massa e ricavando la velocità finale:

v_B = √(v_A² + 2 · g · h)

Vale anche verso l'alto

La stessa equazione descrive un corpo lanciato verso l'alto: essendo la velocità elevata al quadrato, il verso non conta. Un corpo lanciato verso l'alto a 10 m/s ripassa dallo stesso punto, scendendo, esattamente a 10 m/s. Nel punto più alto la velocità è nulla e tutta l'energia è potenziale: da lì si ricava l'altezza massima h = v² / (2 g).

4. Esempi svolti

Esempio 1 — Velocità di impatto

Una tegola si stacca da un tetto alto 12 m. Con quale velocità arriva al suolo?

v = √(2 · 9,8 · 12) = √235,2 = 15,3 m/s (circa 55 km/h)

Il risultato non dipende dalla massa della tegola.

Esempio 2 — Velocità a metà strada

Lo stesso corpo che cade da 20 m: quanto vale la velocità a 8,0 m dal suolo?

m g h = m g y + ½ m v² → v² = 2 g (h − y) = 2 · 9,8 · 12 = 235,2

v = 15,3 m/s

Conta solo il dislivello già percorso, 12 m: è come se il corpo fosse partito da lì.

Esempio 3 — Lanciato verso il basso

Una palla viene lanciata verso il basso a 6,0 m/s da un balcone alto 9,0 m. Con quale velocità tocca terra?

v_B = √(6,0² + 2 · 9,8 · 9,0) = √(36 + 176,4) = √212,4 = 14,6 m/s

Senza la spinta iniziale sarebbe arrivata a 13,3 m/s: i 6,0 m/s iniziali aggiungono meno di quanto ci si aspetterebbe, sempre per via del quadrato.

Esempio 4 — Da che altezza?

Da quale altezza deve cadere un corpo per arrivare al suolo a 30 m/s?

h = v² / (2 g) = 900 : 19,6 = 45,9 m

5. Che cosa cambia nella realtà

Tutto quanto detto vale trascurando la resistenza dell'aria. È un'approssimazione ottima per corpi compatti e cadute brevi, pessima per una piuma o per un paracadutista.

Con la resistenza dell'aria una parte dell'energia meccanica viene dissipata e la velocità di arrivo è minore di √(2 g h). Il bilancio diventa quello delle forze non conservative, che studieremo più avanti:

m · g · h + L_nc = ½ · m · v_B² con L_nc negativo. La differenza fra la velocità teorica e quella misurata permette di calcolare l'energia dissipata.

In sintesi

Nella caduta libera agisce solo la forza peso: l'energia meccanica si conserva.
Da fermo: m g h = ½ m v², da cui v = √(2 g h).
La massa si semplifica: tutti i corpi arrivano alla stessa velocità.
La conservazione vale in ogni punto: m g h = m g y + ½ m v².
A metà altezza l'energia è divisa a metà, ma la velocità è il 71% di quella finale.
Con velocità iniziale: v_B = √(v_A² + 2 g h), valida anche per il lancio verso l'alto.
La resistenza dell'aria riduce la velocità di arrivo e va trattata come lavoro non conservativo.

Verifica se hai capito

1. Due corpi, uno di 1 kg e uno di 10 kg, cadono dalla stessa altezza. Chi arriva prima? Chi arriva più veloce?

Arrivano insieme e alla stessa velocità, se si trascura l'aria. Il corpo più pesante ha più energia potenziale, ma ha anche più massa da mettere in movimento: i due effetti si compensano esattamente.

2. Per raddoppiare la velocità di impatto, di quanto va aumentata l'altezza di caduta?

Di quattro volte, perché h = v² / (2 g): l'altezza è proporzionale al quadrato della velocità.

3. A quale quota l'energia cinetica di un corpo che cade da 12 m è pari a tre volte la sua energia potenziale?

Se E_c = 3U e E_c + U = m g · 12, allora 4U = m g · 12 e U = m g · 3, cioè y = 3,0 m.

4. Una palla lanciata verso l'alto a 12 m/s: che altezza raggiunge e con che velocità torna al punto di lancio?

h = 144 : 19,6 = 7,3 m; torna al punto di lancio a 12 m/s, perché l'energia meccanica si conserva e la quota è la stessa.

5. Un corpo cade da 10 m e arriva a 12 m/s invece dei 14 m/s previsti. Che cosa è successo?

La resistenza dell'aria ha dissipato parte dell'energia meccanica. Per m = 1 kg: E iniziale 98 J, E finale 72 J, quindi 26 J dissipati.

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