Elettrostatica › Metodo per risolvere i problemi

Come risolvere i problemi sul potenziale elettrico

Una sequenza di domande da porsi, sempre nello stesso ordine, per calcolare potenziale, energia potenziale e lavoro del campo elettrico.

Prima di iniziare

Questa pagina ti guida nell'ordine delle domande da porti quando affronti un problema su lavoro, energia potenziale e potenziale elettrico. Se un passaggio non è chiaro, conviene rivedere gli argomenti di teoria sul potenziale elettrico. Le distanze si ricavano dalla posizione delle cariche come nei problemi sulla forza di Coulomb e sul campo elettrico.

Con questa guida imparerai a

riconoscere quale grandezza chiede il problema: potenziale, energia potenziale, lavoro o velocità;
distinguere il campo uniforme dal campo di cariche puntiformi e scegliere le formule adatte;
individuare lo stato iniziale e lo stato finale, gli unici che contano;
trattare i segni delle cariche e dei potenziali, che qui entrano nei calcoli;
passare dal potenziale al lavoro e, con il bilancio dell'energia, alla velocità di una carica.

1. L'idea su cui si regge tutto il metodo

La forza elettrostatica è conservativa: il lavoro che compie su una carica dipende solo dal punto di partenza e dal punto di arrivo, non dal percorso. Per questo ogni problema si risolve confrontando due stati, quello iniziale e quello finale, senza seguire il moto istante per istante.

Le quattro grandezze fondamentali sono legate a due a due. Dividendo per la carica si passa da una grandezza riferita alla carica a una grandezza che descrive il campo o il punto dello spazio:

	Riguarda la carica q	Descrive il punto (per unità di carica)
Punto di vista delle forze	Forza F [N]	Campo elettrico E = F / q [N/C]
Punto di vista dell'energia	Energia potenziale U della carica q [J]	Potenziale V = U / q [V]

Tutti i problemi si riconducono a due relazioni:

U = q · V L_{A → B} = −ΔU = q · (V_A − V_B) Qui U = q · V indica l'energia potenziale della carica q nel potenziale generato dalle altre sorgenti; non va confusa con l'energia potenziale dell'intero sistema. Inoltre ΔU = U_B − U_A.

Rispetto ai problemi sulle forze ci sono due differenze, che rendono i calcoli più semplici ma chiedono più attenzione ai segni:

potenziale ed energia sono scalari: i contributi delle diverse cariche si sommano algebricamente, senza componenti e senza angoli;
le cariche si inseriscono nelle formule con il loro segno: nel calcolo delle forze il segno serviva a decidere il verso della freccia, qui decide il segno del risultato.

Per ogni problema basta quindi chiedersi chi genera il campo, da dove parte e dove arriva la carica, e quanto vale il potenziale in quei due punti.

2. Il metodo in sei domande

Le domande vanno poste sempre in quest'ordine. Le domande 2, 3 e 4 si affrontano sul disegno, prima di iniziare i calcoli.

Che cosa mi chiede il problema?

Il potenziale in un punto, l'energia potenziale di una carica o di un sistema, il lavoro del campo, una differenza di potenziale oppure la velocità di una carica? Distingui la carica che si sposta dalle sorgenti che generano il campo: il potenziale dipende solo dalle sorgenti.

Chi genera il campo?

Due casi coprono quasi tutti i problemi. Tra due piastre piane e parallele il campo è uniforme e si lavora con ΔV = −E · d, dove d è lo spostamento con segno misurato lungo la direzione del campo. Attorno a cariche puntiformi il potenziale di ciascuna è V = k₀ · Q / r e i contributi si sommano. Riconoscere il caso indica subito quali formule servono.

Quali sono lo stato iniziale e lo stato finale?

Segna sul disegno il punto di partenza A e il punto di arrivo B. Di ciascun punto ti serve:

con cariche puntiformi, la distanza r da ogni sorgente;
in un campo uniforme, lo spostamento d lungo il campo tra A e B.

Che segno mi aspetto?

Prevedi il risultato prima di calcolare. Il potenziale diminuisce quando ci si sposta nel verso del campo elettrico e aumenta nel verso opposto. Una carica positiva lasciata libera da ferma tende ad accelerare verso potenziali minori, una negativa verso potenziali maggiori: nello spostamento spontaneo il lavoro del campo è positivo e l'energia potenziale diminuisce. Se lo spostamento imposto è contrario a quello spontaneo, il lavoro del campo è negativo. Il calcolo dovrà confermare la tua previsione.

Quanto valgono i potenziali, o le energie?

Trasforma prima i dati nelle unità del Sistema Internazionale: le cariche in coulomb (1 μC = 10⁻⁶ C, 1 nC = 10⁻⁹ C) e le distanze in metri. Calcola il potenziale in A e in B sommando i contributi di tutte le sorgenti, ciascuna con il suo segno. Per l'energia di un sistema di cariche somma invece un termine k₀ · q_i · q_j / r_ij per ogni coppia, contata una volta sola.

Come arrivo alla grandezza richiesta?

Dal potenziale all'energia: U = q · V. Dai potenziali al lavoro: L = q · (V_A − V_B). Dal lavoro alla velocità, se agisce solo la forza elettrica: l'energia cinetica varia di una quantità uguale al lavoro, ΔE_c = L. Infine controlla le unità di misura e che il segno coincida con la previsione della domanda 4.

3. Dalla posizione ai potenziali

Anche qui una parte del problema è geometria, ma più semplice che per le forze: servono soltanto distanze, mai angoli tra vettori da sommare.

Campo uniforme

Tra due piastre ideali il potenziale diminuisce linearmente andando dalla piastra positiva a quella negativa. Per due punti A e B conta soltanto lo spostamento d misurato lungo il campo, non la lunghezza del percorso:

V_B − V_A = −E · d d è positivo se da A a B ci si sposta nel verso del campo, negativo se ci si sposta nel verso opposto. Se interessano solo i moduli: |ΔV| = E · |d|.

Figura 1 — Lo spostamento s è obliquo, ma per la differenza di potenziale conta solo la sua proiezione d lungo il campo. Tutti i punti di una linea tratteggiata hanno lo stesso potenziale.

Spostarsi perpendicolarmente al campo non cambia il potenziale: si resta sulla stessa superficie equipotenziale e il lavoro del campo è nullo.

Cariche puntiformi

Il potenziale generato in un punto P da una carica Q dipende solo dalla distanza r tra la carica e il punto:

V = k₀ · Q / r k₀ = 8,99 · 10⁹ N·m²/C² nel vuoto. Q si inserisce con il suo segno; il potenziale è nullo a distanza infinita.

Con più sorgenti si calcola la distanza di ciascuna dal punto, come nei problemi sulle forze: differenza delle posizioni se sono allineate, teorema di Pitagora se sono nel piano. Poi si sommano i potenziali:

V_P = k₀ · Q₁ / r₁ + k₀ · Q₂ / r₂ + …

La distanza non è al quadrato

Per una singola carica puntiforme, il potenziale varia come 1 / r; anche ciascun termine dell'energia potenziale tra una coppia di cariche varia come 1 / r. Forza e campo, invece, variano come 1 / r². Dividere per r² in un problema sul potenziale è l'errore più frequente: il risultato avrebbe le unità di un campo elettrico, non di un potenziale.

Le situazioni più frequenti

Il problema chiede	Relazione da usare	A che cosa fare attenzione
Il lavoro in un campo uniforme	L = q · E · d	d è la componente con segno dello spostamento lungo il campo; q va inserita con il suo segno.
La differenza di potenziale tra due punti di un campo uniforme	V_B − V_A = −E · d	Il potenziale diminuisce nel verso del campo.
Il potenziale in un punto, con una o più cariche	V = somma dei termini k₀ · Q / r	Ogni carica con il suo segno; nessuna componente.
L'energia potenziale di una carica q posta in un punto	U = q · V	V è generato dalle altre cariche, non da q.
L'energia potenziale di un sistema di n cariche	Somma dei termini k₀ · q_i · q_j / r_ij	Un termine per ogni coppia: in tutto n · (n − 1) / 2.
Il lavoro del campo tra due punti	L = q · (V_A − V_B)	Potenziale iniziale meno potenziale finale.
La velocità di una carica	ΔE_c = L	Vale se agisce solo la forza elettrica; servono massa e velocità iniziale.

Punti alla stessa distanza

Se è presente una sola carica sorgente, tutti i punti che hanno la stessa distanza da essa hanno lo stesso potenziale. Se A e B si trovano alla stessa distanza dalla sorgente, il lavoro del campo tra A e B è nullo, qualunque sia il percorso: vale la pena confrontare le distanze sul disegno prima di calcolare.

4. Il metodo con le cariche puntiformi

Due cariche sono ferme nel vuoto: q₁ = +5,0 μC nell'origine e q₂ = −3,0 μC nel punto (0,40 m; 0). Una terza carica q₃ = +2,0 μC viene spostata dal punto A (0,40 m; 0,30 m) al punto B (0; 0,30 m). Si vuole il lavoro compiuto dalla forza elettrica su q₃. Proviamo a rispondere alle domande.

Figura 2 — Per ciascuno dei due punti servono le distanze dalle due sorgenti: in verde quelle di A, in viola quelle di B. La carica q₃ parte da A.

Individua sorgenti, stato iniziale e stato finale

La carica che si sposta è q₃; le sorgenti sono q₁ e q₂. Il potenziale in A e in B è quello generato dalle sole sorgenti: q₃ entrerà nel calcolo soltanto alla fine.

Punto A: dista r_1A = √(0,40² + 0,30²) = 0,50 m da q₁ e r_2A = 0,30 m da q₂.
Punto B: dista r_1B = 0,30 m da q₁ e r_2B = √(0,40² + 0,30²) = 0,50 m da q₂.

Prevedi il segno

Andando da A a B la carica q₃, positiva, si avvicina alla carica positiva q₁ e si allontana da quella negativa q₂: va verso potenziali maggiori, cioè nel verso contrario a quello spontaneo. Il lavoro del campo sarà quindi negativo e l'energia potenziale aumenterà: per compiere questo spostamento serve un agente esterno.

Calcola i potenziali

Con le cariche in coulomb, prese con il loro segno, e le distanze in metri:

Punto	Contributo di q₁	Contributo di q₂	Potenziale
A	8,99 · 10⁹ · (+5,0 · 10⁻⁶) / 0,50 = +8,99 · 10⁴ V	8,99 · 10⁹ · (−3,0 · 10⁻⁶) / 0,30 = −8,99 · 10⁴ V	V_A = 0 V
B	8,99 · 10⁹ · (+5,0 · 10⁻⁶) / 0,30 = +1,50 · 10⁵ V	8,99 · 10⁹ · (−3,0 · 10⁻⁶) / 0,50 = −0,54 · 10⁵ V	V_B = +9,6 · 10⁴ V

Passa al lavoro

L_{A → B} = q₃ · (V_A − V_B) = 2,0 · 10⁻⁶ · (0 − 9,6 · 10⁴) = −0,19 J Il lavoro è negativo, come previsto. L'energia potenziale di q₃ passa da U_A = q₃ · V_A = 0 J a U_B = q₃ · V_B = +0,19 J.

Potenziale nullo non significa campo nullo

Nel punto A il potenziale è nullo, perché i contributi delle due sorgenti sono uguali e opposti. Il campo elettrico in A invece non è nullo: vale 2,4 · 10⁵ N/C, come si ricava sommando vettorialmente i campi delle due sorgenti. I potenziali si sommano come numeri, i campi come vettori: le due somme non si annullano negli stessi punti.

L'energia del sistema

Se si chiede l'energia potenziale dell'intero sistema con q₃ ferma in A, le coppie sono tre e ciascuna va contata una volta sola. La distanza tra q₁ e q₂ è 0,40 m.

Coppia	Distanza	Energia potenziale
q₁ e q₂	0,40 m	8,99 · 10⁹ · (+5,0 · 10⁻⁶) · (−3,0 · 10⁻⁶) / 0,40 = −0,337 J
q₁ e q₃	0,50 m	8,99 · 10⁹ · (+5,0 · 10⁻⁶) · (+2,0 · 10⁻⁶) / 0,50 = +0,180 J
q₂ e q₃	0,30 m	8,99 · 10⁹ · (−3,0 · 10⁻⁶) · (+2,0 · 10⁻⁶) / 0,30 = −0,180 J
Sistema		U = −0,34 J

I due termini che contengono q₃ hanno somma nulla: è proprio U_A = q₃ · V_A = 0 J. L'energia del sistema è negativa: per portare le tre cariche a grande distanza l'una dall'altra, senza variazione complessiva dell'energia cinetica, un agente esterno deve fornire 0,34 J.

5. Il metodo nel campo uniforme e il moto di una carica

Le domande sono le stesse. Cambia la sorgente: non più cariche puntiformi ma due piastre, tra le quali il campo è uniforme. Tra due piastre piane e parallele, distanti 4,0 mm, c'è una differenza di potenziale di 120 V. Un protone parte da fermo dalla piastra positiva. Si vogliono il modulo del campo elettrico e la velocità con cui il protone raggiunge la piastra negativa.

Individua gli stati e prevedi il segno

Lo stato iniziale A è sulla piastra positiva, a potenziale maggiore; lo stato finale B è sulla piastra negativa: V_A − V_B = +120 V. Il protone ha carica positiva e si sposta nel verso del campo, verso potenziali minori: è il verso spontaneo, quindi il lavoro del campo è positivo e il protone accelera.

Calcola il campo

Con la distanza in metri:

E = |ΔV| / d = 120 / (4,0 · 10⁻³) = 3,0 · 10⁴ V/m

Passa al lavoro e alla velocità

La carica del protone è e = 1,60 · 10⁻¹⁹ C e la sua massa m_p = 1,67 · 10⁻²⁷ kg.

L = q · (V_A − V_B) = 1,60 · 10⁻¹⁹ · 120 = 1,92 · 10⁻¹⁷ J È un'energia di 120 eV: un elettronvolt è l'energia corrispondente al lavoro compiuto su una carica elementare quando attraversa una differenza di potenziale di 1 V.

Agisce solo la forza elettrica e il protone parte da fermo: tutto il lavoro diventa energia cinetica, ½ · m_p · v² = L.

v = √(2 · L / m_p) = √(2 · 1,92 · 10⁻¹⁷ / 1,67 · 10⁻²⁷) = 1,52 · 10⁵ m/s

Un controllo di buon senso

La velocità non dipende dalla distanza tra le piastre, ma solo dalla differenza di potenziale: con piastre più lontane il campo è meno intenso, ma agisce su un tratto più lungo. Se la velocità calcolata diventa una frazione significativa della velocità della luce (3,0 · 10⁸ m/s), la formula classica ½mv² non è più sufficientemente accurata e occorre usare la relazione relativistica tra energia e velocità.

E se la particella è un elettrone?

Il metodo non cambia, cambia il segno della carica. Un elettrone lasciato libero parte dalla piastra negativa e va verso potenziali maggiori: V_A − V_B = −120 V e L = (−1,60 · 10⁻¹⁹) · (−120) = +1,92 · 10⁻¹⁷ J. Il lavoro è lo stesso, ma la massa è molto minore e la velocità finale molto maggiore.

6. Errori frequenti

Errore	Domanda che lo evita
Dividere per r² invece che per r.	Sto calcolando un potenziale o un campo?
Inserire le cariche in valore assoluto, come nel calcolo delle forze.	Questa carica è positiva o negativa?
Scomporre i potenziali in componenti o cercare angoli.	La grandezza è un vettore o uno scalare?
Includere nel potenziale di un punto la carica che vi viene posta.	Quali sono le sorgenti e quale la carica che si sposta?
Scrivere L = q · (V_B − V_A), scambiando stato iniziale e finale.	Da quale punto parte la carica e in quale arriva?
Usare la lunghezza del percorso al posto dello spostamento lungo il campo.	Di quanto ci si sposta nella direzione del campo?
Contare due volte ogni coppia nell'energia di un sistema.	Quante coppie diverse formano le cariche?
Concludere che il campo è nullo dove il potenziale è nullo, o viceversa.	Sto sommando numeri o vettori?
Lasciare le cariche in μC o le distanze in cm o in mm.	I dati sono in coulomb e in metri?

In sintesi

Il campo elettrostatico è conservativo: contano solo lo stato iniziale e lo stato finale, non il percorso.
Si distingue la carica che si sposta dalle sorgenti: il potenziale di un punto dipende solo dalle sorgenti.
Potenziale ed energia sono scalari: si sommano algebricamente, con le cariche prese con il loro segno, e variano come 1 / r.
In un campo uniforme conta lo spostamento lungo il campo: V_B − V_A = −E · d.
Dal potenziale si passa all'energia con U = q · V e al lavoro con L = q · (V_A − V_B).
Se agisce solo la forza elettrica, il lavoro è la variazione di energia cinetica: da qui si ricava la velocità.

Verifica se hai capito

1. Una carica viene spostata tra due punti che distano entrambi 20 cm dall'unica carica sorgente. Quanto lavoro compie il campo?

Nessuno. I due punti hanno la stessa distanza dalla sorgente, quindi lo stesso potenziale: V_A − V_B = 0 e L = 0, qualunque sia il percorso e qualunque sia la carica spostata.

2. Una carica di +2 μC passa da un punto a 300 V a un punto a 100 V. Quanto vale il lavoro del campo? E per una carica di −2 μC?

L = q · (V_A − V_B) = 2 · 10⁻⁶ · 200 = +4 · 10⁻⁴ J: la carica positiva va verso potenziali minori, è il suo verso spontaneo. Per la carica negativa L = −4 · 10⁻⁴ J: lo stesso spostamento è contrario al suo verso spontaneo.

3. Due cariche uguali in valore assoluto e di segno opposto si trovano agli estremi di un segmento. Quanto valgono potenziale e campo nel punto medio?

Il potenziale è nullo: i due contributi hanno lo stesso modulo, perché le distanze sono uguali, e segno opposto. Il campo non è nullo: i due vettori hanno lo stesso verso, dalla carica positiva a quella negativa, e si sommano.

4. Quanti termini servono per l'energia potenziale di un sistema di quattro cariche?

Sei, uno per ogni coppia: 4 · 3 / 2 = 6. La prima carica forma tre coppie, la seconda altre due, la terza un'altra ancora.

5. In un campo uniforme di 200 N/C ci si sposta di 10 cm. Di quanto varia il potenziale se lo spostamento è nel verso del campo? E se è perpendicolare al campo?

Nel verso del campo: V_B − V_A = −E · d = −200 · 0,10 = −20 V, il potenziale diminuisce. Perpendicolarmente al campo lo spostamento lungo il campo è nullo: il potenziale non varia.

6. Un elettrone, inizialmente fermo, viene accelerato da una differenza di potenziale di 50 V. Quanta energia cinetica acquista?

50 eV, cioè 1,60 · 10⁻¹⁹ · 50 = 8,0 · 10⁻¹⁸ J. Il lavoro del campo è positivo perché l'elettrone, che ha carica negativa, si muove verso potenziali maggiori.

Esercitazioni sul potenziale elettrico