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Dalla forza a distanza alla modifica dello spazio: definizione, linee di forza e configurazioni a più cariche.
La legge di Coulomb descrive con precisione la forza tra due cariche, ma lascia aperta una questione fondamentale: come fa una carica ad accorgersi della presenza di un'altra carica senza alcun contatto materiale? Nel modello dell'azione a distanza, l'interazione si propagherebbe istantaneamente attraverso il vuoto: un'ipotesi smentita dalla fisica moderna, secondo cui nessun segnale può superare la velocità della luce.
Michael Faraday propose una soluzione che ha rivoluzionato la fisica: la presenza di una carica elettrica sorgente Q altera le proprietà fisiche dello spazio circostante, generando un campo elettrico. Quando una seconda carica viene posta nelle vicinanze, non interagisce direttamente con la sorgente lontana, ma risente localmente dello stato dello spazio modificato in quel punto preciso.
Il campo elettrico esiste nello spazio indipendentemente dal fatto che ci sia o meno un'altra carica a rilevarlo. La carica sorgente crea il campo; la seconda carica risente della forza prodotta localmente dal campo.
Per misurare il campo elettrico in un punto P dello spazio, si posiziona in quel punto una carica di prova (o carica esploratrice) q0, positiva e di valore sufficientemente piccolo da non alterare la distribuzione delle cariche che generano il campo.
Sulla carica di prova agirà una forza elettrostatica F misurabile. Il vettore campo elettrico E nel punto P è definito come il rapporto tra la forza agente sulla carica di prova e la carica stessa:
Dalla definizione derivano due proprietà direzionali fondamentali:
Consideriamo una singola carica puntiforme Q posta nel vuoto. Per determinare il campo che essa genera in un punto P a distanza r, immaginiamo di porre in P una carica di prova positiva q0. La forza di Coulomb agente su q0 vale:
F = k0 · ( |Q| · q0 ) / r2
Applicando la definizione di campo E = F / q0, il valore di q0 si semplifica e si ottiene il modulo del campo generato da Q:
| Sorgente | Segno della carica | Direzione del vettore E | Verso del vettore E |
|---|---|---|---|
| Carica positiva | Q > 0 | Radiale (lungo la retta passante per la carica e per P) | Uscente (allontanamento dalla sorgente) |
| Carica negativa | Q < 0 | Radiale (lungo la retta passante per la carica e per P) | Entrante (diretto verso la sorgente) |
Per visualizzare l'andamento geometrico del campo elettrico nello spazio, Faraday introdusse le linee di forza. Una linea di campo è una curva continua tracciata in modo tale che, in ogni suo punto, il vettore campo elettrico E risulti tangente alla curva e orientato nello stesso verso.
Quando nello spazio sono presenti due cariche puntiformi, il campo elettrico risultante in qualsiasi punto P è dato dal principio di sovrapposizione:
Un dipolo elettrico è costituito da due cariche di valore assoluto identico ma di segno opposto (+q e −q), poste a una distanza fissa d. Le linee di campo partono dalla carica positiva e si incurvano fino a chiudersi sulla carica negativa.
Figura 1 — Linee di campo di un dipolo elettrico: partono dalla carica positiva e convergono su quella negativa. Lungo l'asse mediano il campo è diretto parallelamente alla congiungente.
Supponiamo che la carica positiva sia a sinistra e quella negativa a destra. Nel punto medio del segmento che le unisce, il campo dovuto alla carica positiva è diretto verso destra (esce da essa) e anche il campo dovuto alla carica negativa è diretto verso destra (entra in essa). I due contributi si sommano costruttivamente: Etot = E1 + E2 ≠ 0.
Se entrambe le cariche sono positive, le linee di campo divergono allontanandosi da entrambe e si respingono lateralmente, curvando nello spazio senza mai congiungersi. Nel punto medio esatto tra le due cariche uguali, i campi E1 ed E2 hanno modulo identico ma versi opposti:
Con tre cariche (q1, q2, q3), la determinazione del campo in un punto P richiede l'applicazione del principio di sovrapposizione esteso a tre vettori:
Il metodo operativo più efficace si sviluppa in quattro passaggi analitici:
Ex,tot = E1x + E2x + E3x
Ey,tot = E1y + E2y + E3y
Finora abbiamo studiato campi che cambiano da punto a punto. Esiste però una configurazione di enorme importanza pratica in cui il campo è uniforme, cioè ha lo stesso modulo, la stessa direzione e lo stesso verso in ogni punto della regione considerata.
Si realizza nello spazio compreso fra due lastre metalliche piane e parallele, molto estese rispetto alla loro distanza, cariche con quantità di carica uguali e di segno opposto: è il modello del condensatore piano. Le linee di campo sono segmenti rettilinei, paralleli ed equidistanti, che escono dall'armatura positiva ed entrano in quella negativa.
Nota la differenza sostanziale rispetto al campo di una carica puntiforme: qui il campo non dipende dalla distanza dalle armature. Spostandosi da un'armatura all'altra si misura sempre lo stesso valore di E.
Il campo è davvero uniforme solo nella regione centrale fra le armature. Ai bordi le linee si incurvano verso l'esterno (i cosiddetti effetti di bordo) e la formula non vale più. L'approssimazione è tanto migliore quanto più le armature sono estese rispetto alla loro distanza.
In un campo uniforme una carica q risente di una forza F = qE costante in modulo, direzione e verso. Se la carica parte da ferma, il suo moto è uniformemente accelerato con accelerazione a = qE/m, esattamente come un grave in caduta libera. Se entra nel campo con una velocità perpendicolare alle linee, la traiettoria è una parabola, come nel moto di un proiettile: è il principio su cui funzionavano i vecchi tubi catodici e su cui si basano oggi i deflettori degli acceleratori di particelle.
Calcola l'intensità del campo elettrico generato da una carica puntiforme Q = +5,0 nC a una distanza r = 30 cm nel vuoto.
Q = 5,0 × 10−9 C r = 0,30 m
E = k0 · |Q| / r2 = ( 9,0 × 109 N·m2/C2 · 5,0 × 10−9 C ) / (0,30 m)2
E = 45 / 0,09 = 500 N/C
Il vettore ha direzione radiale ed è rivolto verso l'esterno (uscente dalla carica positiva).
Due cariche puntiformi q1 = +16 μC e q2 = +4,0 μC sono collocate sull'asse x alle posizioni x1 = 0 m e x2 = 3,0 m. Determina il punto in cui il campo elettrico totale si annulla.
Essendo entrambe positive, i vettori E1 ed E2 hanno versi opposti solo nei punti interni al segmento congiungente (0 < x < 3). Ponendo la distanza da q1 pari a x, la distanza da q2 è (3,0 − x):
E1 = E2 → k0 · q1 / x2 = k0 · q2 / (3,0 − x)2
16 / x2 = 4 / (3,0 − x)2
Estraendo la radice quadrata da ambo i membri:
4 / x = 2 / (3,0 − x) → 2 · (3,0 − x) = x → 6,0 − 2x = x → 3x = 6,0 → x = 2,0 m
Il campo si annulla nel punto di coordinate x = 2,0 m (a 2,0 m da q1 e a 1,0 m da q2).
Tre cariche identiche q1 = q2 = q3 = +2,0 μC occupano tre vertici consecutivi di un quadrato di lato L = 1,0 m: q1 in (0, 1), q2 nell'origine (0, 0) e q3 in (1, 0). Calcola il modulo del campo risultante nel quarto vertice libero P(1, 1).
Distanza da q1: r1 = 1,0 m → E1 = 9,0 × 109 · 2,0 × 10−6 / 1,02 = 18 000 N/C (verso +x)
Distanza da q3: r3 = 1,0 m → E3 = 9,0 × 109 · 2,0 × 10−6 / 1,02 = 18 000 N/C (verso +y)
Distanza da q2 (diagonale): r2 = √(12 + 12) = √2 m → r22 = 2,0 m2
E2 = 9,0 × 109 · 2,0 × 10−6 / 2,0 = 9 000 N/C (inclinato a 45° rispetto a x e y)
Scomposizione di E2: E2x = E2 · cos 45° = 9 000 · 0,707 ≈ 6 364 N/C; E2y ≈ 6 364 N/C.
Ex,tot = E1 + E2x = 18 000 + 6 364 = 24 364 N/C
Ey,tot = E3 + E2y = 18 000 + 6 364 = 24 364 N/C
Etot = √( 24 3642 + 24 3642 ) = 24 364 · √2 ≈ 34 456 N/C ≈ 3,45 × 104 N/C
| Errore comune | Spiegazione corretta |
|---|---|
| Pensare che il campo elettrico dipenda dalla carica di prova q0 | La carica di prova serve solo a rilevarlo operativamente: nel calcolo di E il valore di q0 si semplifica sempre. |
| Orientare il campo di una carica negativa verso l'esterno | Il campo generato da cariche negative è sempre entrante (diretto verso la carica sorgente). |
| Confondere forza elettrica e campo elettrico | La forza si misura in newton (N) e richiede due cariche; il campo si misura in N/C ed è generato da una distribuzione di carica in un punto dello spazio. |
| Disegnare linee di campo che si incrociano | Le linee di campo non possono mai intersecarsi, poiché in ogni punto il vettore E è univocamente determinato. |
| Sommare scalarmente i campi di cariche non allineate | Il campo elettrico è un vettore: la sovrapposizione richiede obbligatoriamente la scomposizione e somma vettoriale. |
Resta invariato. Raddoppiando q₀ raddoppia proporzionalmente anche la forza F agente su di essa. Il loro rapporto E = F / q₀ rimane rigorosamente costante, poiché il campo dipende unicamente dalle cariche sorgente.
Si muoverà nel verso opposto a quello del vettore E. Dalla relazione F = q · E, se la carica q è negativa il vettore forza ha verso contrario al campo.
In nessun punto a distanza finita. Lungo la retta congiungente i campi delle due cariche non si cancellano mai (tra le cariche sono concordi, all'esterno prevale sempre la carica più vicina). Il campo tende a zero soltanto a distanza infinita.
Perché in ogni punto dello spazio il campo elettrico risultante è unico e ben definito. Se due linee si intersecassero in un punto, in quel punto esisterebbero due diverse tangenti e quindi due direzioni distinte per il vettore E, il che è impossibile.
No: nella regione centrale il campo è uniforme, quindi ha lo stesso valore in ogni punto. È una differenza netta rispetto al campo di una carica puntiforme, che invece decresce come 1/r2. Il campo diminuisce solo avvicinandosi ai bordi delle armature, dove l'approssimazione di uniformità cade.
L'intensità si riduce a un quarto del valore iniziale (1/4), poiché il modulo del campo è inversamente proporzionale al quadrato della distanza (1/r2).