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Dimostrazione mediante la cancellazione progressiva dei termini intermedi.
Vogliamo capire perché l'energia potenziale elettrica di due cariche puntiformi Q e q, poste a distanza r, è:
La forza elettrica tra due cariche non rimane costante durante lo spostamento. Infatti, quando cambia la distanza r, cambia anche la forza:
Per questo non possiamo prendere un unico valore della forza e moltiplicarlo per tutto lo spostamento. Dividiamo invece il percorso in molti piccoli tratti. In ogni tratto la distanza cambia di poco e possiamo calcolare un piccolo lavoro.
Il percorso da A a B viene suddiviso in molti intervalli molto piccoli.
Indichiamo le distanze successive con rA, r1, r2, …, rB. In un piccolo tratto compreso, per esempio, tra rA e r1, il lavoro può essere scritto nella forma:
Nel tratto successivo:
Nel tratto seguente:
Ora sommiamo tutti i piccoli lavori. Scrivendo i primi termini si vede subito ciò che accade:
Il termine −1/r1 del primo tratto si cancella con +1/r1 del secondo. Allo stesso modo si cancellano i termini con r2, r3 e tutti gli altri valori intermedi.
Alla fine rimangono soltanto il termine iniziale e quello finale.
Per definire l'energia potenziale elettrica scegliamo come riferimento una configurazione in cui le due cariche sono infinitamente lontane. Per convenzione poniamo:
Se il punto finale B viene portato all'infinito, rB diventa grandissimo e quindi 1/rB tende a zero. La formula del lavoro diventa:
Questo lavoro rappresenta proprio l'energia potenziale posseduta dal sistema nella configurazione iniziale A. Otteniamo quindi: