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Dalla legge di Coulomb al lavoro e all’energia potenziale: piccoli spostamenti, semplificazioni e cancellazione dei termini intermedi.
Partendo dalla legge di Coulomb e dalla definizione di lavoro, vogliamo ricavare il lavoro della forza elettrica nello spostamento di una carica q da A a B nel campo di una carica puntiforme fissa Q. Da questo risultato ricaveremo l’energia potenziale elettrica:
Nel campo della carica sorgente Q, la forza sulla carica q varia con la distanza. In direzione radiale, considerando positiva la direzione che si allontana da Q, la componente della forza è:
La formula conserva il segno algebrico di Q e q: se Qq è positivo, la forza è diretta verso l’esterno; se è negativo, verso Q. Non possiamo quindi calcolare il lavoro sull'intero percorso usando un unico valore della forza.
Dividiamo uno spostamento radiale da A a B in moltissimi tratti piccoli. In ciascuno la forza varia pochissimo e possiamo usare, con ottima approssimazione, la formula del lavoro di una forza costante:
Il segmento rosso rappresenta soltanto il primo piccolo spostamento, da A (distanza rA) a r1. Gli altri punti indicano i tratti successivi.
Supponiamo che la carica si sposti verso l'esterno, perciò r1 > rA. Il primo piccolo spostamento è:
Nel primo tratto la forza è quasi costante e possiamo calcolarla alla distanza iniziale rA. Il piccolo lavoro è allora:
Poiché lo spostamento è molto piccolo, r1 è quasi uguale a rA. Di conseguenza i due prodotti rA2 e rA · r1 sono molto vicini: possiamo quindi scrivere, ancora in modo approssimato:
Non è un artificio: lungo il tratto il modulo della forza varia tra il valore che ha in rA e quello che ha in r1, e il prodotto rA · r1 è compreso tra rA2 e r12. Stiamo quindi usando un valore intermedio della forza, legittimo quanto quello iniziale.
Sostituiamo questa approssimazione e Δr1 = r1 − rA nella formula del lavoro:
Moltiplichiamo il numeratore per il piccolo spostamento:
Separiamo ora i due termini del numeratore, dividendo ciascuno per il denominatore comune:
Semplificando r1 nella prima frazione e rA nella seconda otteniamo:
Se invece la carica si sposta verso l'interno, r1 < rA e Δr1 = r1 − rA è negativo: gli stessi passaggi valgono senza alcuna modifica e portano alla stessa formula.
Per un tratto di lunghezza finita, la forza non è esattamente costante e rA2 non è esattamente uguale a rAr1. Se rendiamo tutti i tratti sempre più piccoli, entrambe le approssimazioni diventano sempre più precise. Nel limite di tratti infinitamente piccoli si ottiene il lavoro esatto.
Ripetiamo gli stessi passaggi per ogni piccolo intervallo. Per esempio, dal punto r1 al punto r2:
Dal punto r2 al punto r3:
Il lavoro complessivo è la somma di tutti i piccoli lavori. Per una suddivisione molto fine:
Il termine negativo con r1 del primo tratto si cancella con quello positivo del secondo. Allo stesso modo si cancellano i termini che contengono r2, r3 e tutte le distanze intermedie. Rimangono soltanto il termine iniziale e quello finale.
Dopo la cancellazione, il secondo membro non dipende più dal numero di tratti. Quando il numero dei tratti aumenta e la loro lunghezza tende a zero, l'errore dell'approssimazione tende a zero mentre il risultato resta lo stesso: è quindi il valore esatto del lavoro. Otteniamo:
Abbiamo così ricavato la formula del lavoro a partire dalla legge di Coulomb. Il risultato non cambia per un percorso non radiale: la forza elettrica è radiale e in ogni piccolo tratto conta solo la proiezione dello spostamento lungo il raggio. Gli spostamenti perpendicolari al raggio non producono lavoro. Perciò anche in questo caso il risultato dipende soltanto dalle distanze iniziale e finale, non dalla traiettoria percorsa.
Quando abbiamo studiato l'energia potenziale gravitazionale vicino alla superficie terrestre, abbiamo scelto un piano di riferimento, per esempio quello su cui appoggia un corpo, e gli abbiamo attribuito energia potenziale nulla. Misurando da quel piano l'altezza h, scriviamo Ug = mgh: se h = 0, anche Ug = 0.
Per l'energia potenziale elettrica di interazione tra due cariche puntiformi Q e q, scegliamo invece come riferimento una configurazione in cui le cariche sono infinitamente lontane. Il motivo è che, aumentando la loro distanza, la forza elettrica diventa sempre più debole e l'interazione tende a scomparire. È quindi naturale porre per convenzione:
Lo zero dell'energia potenziale può essere scelto liberamente: ciò che conta nei fenomeni fisici è la sua variazione. Vicino alla Terra è pratico usare il piano su cui appoggia il corpo, anche se lì la forza peso non è nulla. Per due cariche puntiformi isolate è invece comodo scegliere la distanza infinita, dove la loro interazione tende a zero.
La differenza non è fondamentale: anche per l'attrazione gravitazionale tra due masse, quando si considera la legge di gravitazione universale anziché l'approssimazione Ug = mgh, si sceglie spesso l'energia potenziale nulla all'infinito.
Se il punto finale B viene portato all'infinito, rB diventa arbitrariamente grande e 1rB tende a zero. Di conseguenza, il lavoro compiuto dal campo nello spostamento da A all'infinito è:
Definiamo energia potenziale elettrica del sistema nella configurazione A, rispetto all'infinito, proprio il lavoro che la forza elettrica compie portando q da A all'infinito. Quindi:
Con questa definizione, la formula del lavoro ricavata nella sezione 3 si riscrive come differenza tra l'energia potenziale iniziale e quella finale: