Officina dei Vettori › Parte 4 › Prodotto scalare e prodotto vettoriale
Due modi di moltiplicare fra loro due vettori: uno restituisce un numero, l'altro un vettore perpendicolare a entrambi.
Nella lezione precedente abbiamo moltiplicato un vettore per un numero. Ora la domanda si alza di livello: che cosa significa moltiplicare un vettore per un altro vettore?
Non esiste una sola risposta, e non è un difetto della matematica: sono i problemi fisici a chiedere due cose diverse. A volte serve sapere quanto due vettori collaborano, e la risposta è un numero. Altre volte serve individuare la direzione perpendicolare al piano che li contiene, e la risposta è un vettore. Da qui i due prodotti.
Il nome dice che cosa esce, non che cosa entra. Il prodotto scalare ha per risultato uno scalare, cioè un numero. Il prodotto vettoriale ha per risultato un vettore. In entrambi i casi i due fattori sono vettori.
Si indica con un puntino fra i due vettori, e si calcola moltiplicando i due moduli per il coseno dell'angolo compreso.
Il coseno è la chiave di tutto. Ricordi la lezione su seno e coseno: a · cosθ è la proiezione di a sulla direzione di b. Quindi il prodotto scalare è il modulo di b moltiplicato per quanto di a va nella sua stessa direzione. In una parola: misura quanto i due vettori sono allineati.
Il prodotto scalare moltiplica il modulo di un vettore per la proiezione dell'altro sulla sua direzione.
Il segno del risultato racconta la relazione fra i due vettori, ed è la parte più utile da memorizzare.
| Angolo θ | cosθ | a · b | Significato |
|---|---|---|---|
| 0° | 1 | a · b, il massimo | vettori concordi: collaborazione piena |
| acuto | positivo | positivo | collaborano in parte |
| 90° | 0 | zero | perpendicolari: nessuna collaborazione |
| ottuso | negativo | negativo | si contrastano in parte |
| 180° | −1 | −a · b, il minimo | vettori opposti |
La riga dei 90° merita attenzione: due vettori perpendicolari hanno prodotto scalare nullo. È il criterio più rapido per verificare una perpendicolarità, e lo ritroverai spesso. Se conosci le componenti, il conto è ancora più diretto e non richiede angoli:
Il prodotto scalare più importante che incontrerai è il lavoro: L = F · s = F · s · cosθ. Spingendo una cassa per 10 m con 50 N nella direzione del moto, il lavoro vale 50 · 10 · 1 = 500 J. Se invece porti la cassa camminando, la forza con cui la sostieni è verticale e lo spostamento orizzontale: l'angolo è 90°, il coseno è zero e il lavoro è nullo. Fatica ne senti, lavoro in senso fisico non ne compi.
L'altra operazione risponde a una domanda geometrica diversa: dati due vettori, come individuare la direzione perpendicolare al piano che li contiene? Il risultato, stavolta, è un vettore, e si indica con una crocetta.
Poiché il seno cresce quando il coseno cala, il prodotto vettoriale è massimo a 90° e nullo a 0° e 180°. Mentre il prodotto scalare misura l'allineamento, questo misura quanto due vettori sono divergenti. Due vettori paralleli hanno prodotto vettoriale nullo, perché non individuano nessun piano.
Il modulo però è solo metà della risposta: serve anche la direzione, che è perpendicolare a entrambi i vettori. Restano due versi possibili, sopra o sotto il piano, e a deciderlo è la regola della mano destra: punta le dita nel verso del primo vettore, chiudile ruotando verso il secondo, e il pollice indica il verso del risultato.
Il prodotto vettoriale esce dal piano dei due vettori: nessuno dei due lo contiene.
Se scambi i due fattori e riapplichi la regola della mano destra, il pollice punta dalla parte opposta. Quindi b × a = −(a × b): stesso modulo, verso contrario. È una differenza sostanziale rispetto alla somma e al prodotto scalare, che sono entrambi commutativi.
| Prodotto scalare | Prodotto vettoriale | |
|---|---|---|
| Simbolo | a · b | a × b |
| Risultato | un numero | un vettore |
| Formula | a · b · cosθ | modulo a · b · senθ |
| Massimo | a 0°, vettori allineati | a 90°, vettori perpendicolari |
| Nullo | a 90° | a 0° e 180° |
| Commutativo | sì | no: cambia il verso |
| Misura | quanto sono allineati | quanto sono divergenti |
| In fisica | lavoro, flusso, potenza | momento di una forza, forza di Lorentz |
Le due righe finali spiegano perché entrambe le operazioni esistono. Il lavoro deve annullarsi quando la forza è perpendicolare allo spostamento, e infatti si scrive con il prodotto scalare. Il momento di una forza, cioè la capacità di far ruotare un corpo, deve essere massimo quando spingi perpendicolarmente alla leva e nullo quando spingi lungo la leva: comportamento opposto, quindi prodotto vettoriale.
È la stessa cosa che sperimenti aprendo una porta. Spingendo perpendicolarmente all'anta, vicino alla maniglia, la porta gira. Spingendo verso i cardini, lungo l'anta, non gira affatto per quanta forza tu ci metta: il seno dell'angolo è zero.
Questa lezione chiude il percorso sui vettori e apre quelli successivi. Il prodotto scalare torna nell'Officina dell'Energia con il lavoro; il prodotto vettoriale nello studio delle leve e del magnetismo. Per ora ti basta riconoscerli e sapere che cosa misurano: gli usi arriveranno al momento giusto.
5 · 8 · cos60° = 40 · 0,50 = 20. Il risultato è un numero puro, senza direzione: qualunque cosa rappresentino i due vettori, il prodotto scalare non è un vettore.
Che sono perpendicolari, a meno che uno dei due non sia il vettore nullo. È il test più rapido di perpendicolarità: non serve misurare angoli, basta verificare che axbx + ayby faccia zero.
Perché la forza con cui la sostieni è verticale e lo spostamento è orizzontale: l'angolo è 90°, il coseno vale zero e quindi il prodotto scalare è nullo. La fatica che senti è reale ma ha altre cause, e non coincide con il lavoro in senso fisico.
Zero, perché sen0° = 0. Due vettori paralleli non individuano un piano, quindi non c'è nessuna direzione perpendicolare da indicare. È il caso opposto a quello del prodotto scalare, che per vettori paralleli è massimo.
No: hanno lo stesso modulo e la stessa direzione, ma versi opposti. La regola della mano destra applicata nell'ordine inverso fa puntare il pollice dalla parte opposta. In simboli, b × a = −(a × b).