Officina del Moto › Parte 2 › Dalla media all'istantanea
Il passaggio al limite: come si misura la velocità in un solo istante.
Un'auto passa davanti a un autovelox. Lo strumento non misura quanto tempo ha impiegato l'auto a venire da Napoli: misura quanto va veloce adesso, in quel punto della strada, in quell'istante. Anche il tachimetro fa la stessa cosa: se rallenti, l'ago scende subito, non aspetta la fine del viaggio.
Questa grandezza si chiama velocità istantanea, e la formula della lezione precedente sembra non poterla dare. Se l'istante è uno solo, allora Δt = 0 e Δs = 0: il rapporto diventa 0/0, che non significa niente.
Eppure la velocità istantanea esiste, la misuriamo tutti i giorni. Come se ne esce?
L'idea è semplice e potentissima: invece di pretendere subito un intervallo nullo, lo rendiamo sempre più piccolo e guardiamo che cosa succede al risultato.
Immagina un'auto che parte da ferma e accelera. Vogliamo sapere quanto va veloce all'istante t = 4 s. Calcoliamo la velocità media su intervalli via via più stretti, tutti a partire da quell'istante:
| Intervallo Δt | Spazio percorso Δs | Velocità media Δs/Δt |
|---|---|---|
| 2 s | 18,0 m | 9,0 m/s |
| 1 s | 8,5 m | 8,5 m/s |
| 0,5 s | 4,125 m | 8,25 m/s |
| 0,1 s | 0,805 m | 8,05 m/s |
| 0,01 s | 0,08005 m | 8,005 m/s |
Guarda l'ultima colonna: i valori non impazziscono e non vanno a zero. Si avvicinano sempre di più a 8 m/s. Più stringiamo l'intervallo, più il risultato si stabilizza attorno a quel numero.
Quel numero è la velocità istantanea all'istante t = 4 s.
Non stiamo dicendo che Δt diventa zero: se fosse zero, non ci sarebbe alcun rapporto da calcolare. Stiamo dicendo che, rimpicciolendolo quanto vogliamo, il rapporto si avvicina quanto vogliamo a un certo valore. È un'idea nuova in matematica, e in quinta le darai un nome preciso: derivata. Per ora ti basta l'immagine: intervalli sempre più piccoli, risultato sempre più stabile.
La stessa cosa, vista sul grafico spazio-tempo, è ancora più chiara — ed è probabilmente il disegno più importante di tutta la cinematica.
Fissiamo il punto P sul grafico, quello che corrisponde all'istante che ci interessa. Prendiamo un secondo punto Q più avanti e tracciamo la secante PQ: la sua pendenza è la velocità media fra i due istanti. Adesso facciamo scivolare Q verso P.
Avvicinando Q a P le secanti ruotano e si appoggiano sempre meglio alla curva: al limite diventano la tangente.
Mano a mano che Q si avvicina a P, le secanti cambiano inclinazione e si stringono attorno a una posizione limite: la retta tangente alla curva nel punto P. La sua pendenza è la velocità istantanea in quell'istante.
Da qui nasce una regola di lettura che ti servirà sempre:
Questo passaggio è difficile da immaginare fermo su una pagina, e molto facile da capire guardandolo accadere. Nella simulazione La velocità puoi trascinare il secondo punto verso il primo e vedere la secante ruotare finché non si appoggia alla curva. Fallo qualche volta prima di proseguire: è il momento in cui la definizione smette di essere una formula e diventa un'immagine.
C'è un secondo modo di dire «tangente», e riguarda la traiettoria vera del corpo, non il grafico.
Se restringiamo l'intervallo di tempo, anche il vettore spostamento si accorcia e si appoggia sempre di più alla traiettoria, fino a diventarne un pezzetto minuscolo. Per questo il vettore velocità istantanea è sempre tangente alla traiettoria, in ogni punto e per qualunque moto.
È il motivo per cui, se fai roteare un sasso legato a uno spago e lo lasci andare, il sasso non parte «verso l'esterno» ma lungo la tangente alla circonferenza, nel punto in cui l'hai lasciato. La stessa cosa succede al fango che schizza via da una ruota di bicicletta.
Esiste un caso, e uno solo, in cui tutta questa costruzione non serve: quando la velocità non cambia mai.
Se il corpo si muove sempre alla stessa velocità, il grafico spazio-tempo è una retta. E una retta ha la stessa pendenza dappertutto: la secante fra due punti qualsiasi è già la tangente. Media e istantanea coincidono, e coincidono anche fra intervalli diversi.
Questo moto si chiama moto rettilineo uniforme, ed è il più semplice che esista. È anche quello che studierai in laboratorio con il carrello sulla rotaia: quando vedrai i punti del grafico allinearsi su una retta, starai guardando proprio questo.
Perché in un intervallo di durata nulla anche lo spostamento è nullo, e il rapporto 0/0 non ha alcun valore definito. Si procede invece per avvicinamento: intervalli sempre più piccoli, mai nulli.
Sta accelerando: la pendenza della tangente cresce istante dopo istante, quindi la velocità istantanea aumenta. Se invece la curva si appiattisse, il corpo starebbe rallentando.
Lungo la tangente alla circonferenza nel punto in cui lo hai lasciato, perché quella è la direzione della sua velocità istantanea. Non verso l'esterno lungo il raggio, come istintivamente si tende a pensare.
6 m/s: è il valore a cui la successione si sta avvicinando. Nessuno dei valori calcolati è esattamente la velocità istantanea, ma tutti ci si accostano sempre di più.
Nel moto rettilineo uniforme, perché il grafico spazio-tempo è una retta e una retta ha ovunque la stessa pendenza. È l'unico caso in cui velocità media e istantanea sono sempre uguali.