Officina del Moto › Parte 2 › Dalla media all'istantanea
Il passaggio al limite: come si misura la velocità in un solo istante.
La velocità media descrive ciò che accade in un intero intervallo di tempo. Ma spesso vogliamo sapere come si muove il corpo proprio in un determinato istante: qual è il suo vettore velocità in quel punto della traiettoria.
Questa grandezza si chiama velocità istantanea. La formula della velocità media, però, confronta due posizioni in due istanti diversi: per usarla serve quindi un intervallo di tempo.
Come possiamo allora ricavare la velocità in un singolo istante? Possiamo partire da intervalli molto brevi e vedere che cosa accade quando li riduciamo sempre di più.
Immagina un'auto che si muove lungo una strada rettilinea e sta accelerando. Quando passa davanti a un punto P, azzeriamo il cronometro. Vogliamo sapere quale velocità aveva l'auto proprio nell'istante in cui è passata per P.
Per capirlo immaginiamo di ripetere la misura più volte. Ogni volta facciamo partire il cronometro nello stesso istante, quando l'auto passa per P, ma lo fermiamo dopo tempi diversi: prima dopo 2 s, poi dopo 1 s, 0,5 s, 0,1 s e infine 0,01 s.
Per ciascun intervallo calcoliamo la velocità media. Poiché il moto è rettilineo e il verso non cambia, nella tabella possiamo confrontare direttamente i moduli:
| Tempo trascorso Δt | Modulo dello spostamento |Δs| | Modulo di vm |
|---|---|---|
| 2 s | 18,0 m | 9,0 m/s |
| 1 s | 8,5 m | 8,5 m/s |
| 0,5 s | 4,125 m | 8,25 m/s |
| 0,1 s | 0,805 m | 8,05 m/s |
| 0,01 s | 0,08005 m | 8,005 m/s |
Osserva l'ultima colonna. Su 2 s la velocità media è 9,0 m/s; su 0,1 s è già 8,05 m/s; su 0,01 s è 8,005 m/s. Più breve è l'intervallo, più il valore si avvicina a 8 m/s.
Questo ci dice che, nell'istante in cui l'auto passa per P, la sua velocità è 8 m/s. Quel valore è la velocità istantanea in P.
Potremmo farlo, ma una sola misura molto breve non ci mostrerebbe che stiamo davvero avvicinandoci alla velocità dell'istante iniziale. Confrontando intervalli diversi vediamo invece che i valori della velocità media si stabilizzano progressivamente attorno allo stesso numero.
Quando diciamo che gli intervalli diventano sempre più brevi, non stiamo ponendo Δt uguale a zero. Stiamo osservando che cosa succede al rapporto Δs/Δt per valori di Δt sempre più piccoli, ma sempre diversi da zero.
Se la velocità media si avvicina sempre più a un valore preciso, in matematica si dice che tende a quel valore. Quel valore è la velocità istantanea.
Nel nostro esempio l'auto si muoveva lungo una retta, quindi la direzione della velocità non poneva problemi. Ma che cosa accade quando la traiettoria è curva?
Ripetiamo la stessa idea. Fissiamo il punto P e consideriamo dove si trova il corpo dopo intervalli di tempo sempre più brevi. Ogni volta il vettore spostamento parte da P e arriva alla nuova posizione. Quando l'intervallo diminuisce, il secondo punto si avvicina a P e la direzione dello spostamento si avvicina a quella della tangente alla traiettoria in P.
Sono tre misure alternative, non tre tappe consecutive del moto: ogni misura parte dallo stesso istante, quando il corpo è in P. Riducendo l'intervallo di tempo, il vettore spostamento diventa sempre più corto e la sua direzione si avvicina alla tangente in P. La direzione del vettore velocità istantanea v è proprio quella tangente.
Per questo, quando il corpo è in movimento, il vettore velocità istantanea è tangente alla traiettoria nel punto occupato dal corpo.
È il motivo per cui, se fai roteare un sasso legato a uno spago e lo lasci andare, il sasso non parte «verso l'esterno» ma lungo la tangente alla circonferenza, nel punto in cui l'hai lasciato. La stessa cosa succede al fango che schizza via da una ruota di bicicletta.
Questo passaggio si capisce ancora meglio osservandolo in movimento. Nella simulazione La velocità scegli un punto della traiettoria e riduci progressivamente l'intervallo di tempo. Vedrai il vettore spostamento diventare più corto e la sua direzione avvicinarsi alla tangente nel punto iniziale. Anche il vettore velocità media si avvicina così al vettore velocità istantanea.
Se vogliamo che velocità media e velocità istantanea coincidano per qualunque intervallo di tempo, il vettore velocità deve rimanere costante: non deve cambiare né in modulo, né in direzione, né in verso.
Se il vettore velocità resta sempre lo stesso, la velocità media calcolata su un intervallo qualsiasi è uguale alla velocità istantanea: non c'è niente a cui avvicinarsi, il valore è già quello. Se direzione e verso restano costanti, la traiettoria è rettilinea; se anche il modulo resta costante, il corpo non accelera né frena.
Questo moto si chiama moto rettilineo uniforme, ed è il più semplice che esista. Sarà il primo dei casi particolari che studieremo.
Perché in un intervallo molto breve il corpo ha poco tempo per cambiare velocità: la velocità media su quell'intervallo rappresenta quindi sempre meglio la velocità che il corpo aveva nell'istante iniziale.
Sì. Il modulo resta costante, ma la direzione cambia continuamente, perché il vettore velocità è sempre tangente alla traiettoria. Cambiando la direzione, cambia il vettore velocità.
Lungo la tangente alla circonferenza nel punto in cui lo hai lasciato, perché quella è la direzione della sua velocità istantanea. Non verso l'esterno lungo il raggio, come istintivamente si tende a pensare.
A 6 m/s. In questo esempio la direzione e il verso restano fissati, quindi seguire i moduli basta per vedere il valore limite.
Nel moto rettilineo uniforme, perché il vettore velocità non cambia mai, né in valore né in direzione. In ogni altro moto la media su un intervallo e il valore in un istante sono, in generale, diversi.