Officina del Moto › Parte 1 › Posizione, traiettoria e spostamento
Dove si trova il corpo istante per istante, che linea disegna passando e di quanto si è spostato.
Nella lezione precedente abbiamo visto che su una retta la posizione di un corpo è un solo numero con segno. Ma appena il moto esce dalla retta — una palla lanciata, un'auto che curva, un pianeta in orbita — un numero solo non basta: per dire dove si trova la palla devo indicare quanto è avanti e quanto è in alto, e nello spazio anche quanto è di lato.
Lo strumento che risolve il problema in un colpo solo è il vettore posizione: la freccia che va dall'origine O del riferimento al punto P in cui si trova il corpo.
Come ogni vettore, il vettore posizione porta con sé tre informazioni contemporaneamente:
Proviamo con una situazione concreta. Devi dire a un compagno dove si trova lo zaino appoggiato sul pavimento dell'aula. Scegli come origine O un angolo della stanza e come assi i due muri che si incontrano in quell'angolo: il sistema di riferimento è pronto.
Ora costruisci il vettore posizione: congiungi l'origine con lo zaino e orienta il segmento mettendo la punta della freccia sullo zaino. La coda resta ancorata all'angolo della stanza, la punta indica l'oggetto. Se qualcuno sposta lo zaino, la freccia lo insegue: si allunga, si accorcia, ruota, ma parte sempre da quell'angolo. È questo che la rende utile: una sola freccia dice contemporaneamente quanto è lontano lo zaino e in che direzione guardare per trovarlo.
L'aula vista dall'alto. Preso un angolo come origine e i due muri come assi, il vettore posizione s individua lo zaino: le sue proiezioni sugli assi, 4 m e 3 m, sono le componenti, cioè le coordinate del punto.
Le due proiezioni del vettore sugli assi si chiamano componenti, e sono proprio le coordinate del punto. Dire «lo zaino si trova nel punto di coordinate (4 m; 3 m)» e dire «il suo vettore posizione ha componenti 4 m e 3 m» è la stessa identica cosa, detta in due modi.
Se conosci le componenti, il modulo del vettore posizione si ottiene con il teorema di Pitagora: con x = 4 m e y = 3 m si ha un modulo di 5 m, perché 4² + 3² = 25. Il modulo è una distanza, quindi è sempre positivo, anche quando le componenti sono negative.
Finché il corpo sta fermo, il vettore posizione è uno solo e non cambia mai. Quando il corpo si muove, invece, a ogni istante corrisponde un vettore posizione diverso: la freccia ruota, si allunga, si accorcia, segue il corpo.
Descrivere un moto significa esattamente questo: saper dire quale sia il vettore posizione in ogni istante. Tutta la cinematica, dalle formule più semplici a quelle più complicate, non fa altro che rispondere a questa domanda in modo sempre più efficiente.
Se potessimo fotografare il corpo in tutti gli istanti del suo moto e sovrapporre le fotografie, otterremmo una fila fittissima di punti. La linea che li unisce tutti è la traiettoria.
La forma della traiettoria è il primo modo con cui classifichiamo i moti, ed è il criterio che troverai in tutti i nomi che incontrerai da qui in avanti:
| Traiettoria | Nome del moto | Esempi |
|---|---|---|
| Una retta | Moto rettilineo | Treno su un binario rettilineo, ascensore, corpo in caduta libera |
| Una circonferenza | Moto circolare | Punto sulla lancetta di un orologio, giostra, valvola della ruota |
| Una parabola | Moto parabolico | Pallone calciato, getto d'acqua, proiettile |
| Un arco che va e torna | Moto oscillatorio | Pendolo, altalena, massa attaccata a una molla |
| Una linea qualunque | Moto curvilineo | Automobile su una strada di montagna, mosca in volo |
Un pallone calciato: le posizioni che occupa istante dopo istante disegnano una parabola. Per questo il suo moto si chiama parabolico. La linea non esiste nello spazio, è l'impronta che il movimento lascia dietro di sé.
Torniamo alla moneta lasciata cadere sul treno in corsa, perché adesso possiamo dire con precisione che cosa succede.
Per il passeggero, il vettore posizione della moneta cambia solo nella componente verticale: quella orizzontale resta la stessa per tutto il tempo. La linea che unisce le posizioni è un segmento verticale: moto rettilineo.
Per l'osservatore sul marciapiede, mentre la componente verticale diminuisce quella orizzontale cresce, perché la moneta avanza insieme al treno. La linea che unisce le posizioni è una parabola: moto parabolico.
La moneta è una sola e cade una volta sola. Eppure la sua traiettoria è una retta in un riferimento e una parabola in un altro. La traiettoria non è una proprietà del corpo: è una proprietà della coppia corpo-riferimento, esattamente come la posizione e come la velocità.
C'è un limite della traiettoria che conviene mettere a fuoco subito, perché è la ragione per cui tutte le lezioni successive esistono.
Immagina due automobili che percorrono la stessa identica strada. Hanno la stessa traiettoria, punto per punto. Ma la prima viaggia tranquilla a velocità costante, la seconda accelera nei rettilinei, frena nelle curve e si ferma dieci minuti all'area di servizio. Stessa traiettoria, moti completamente diversi.
La traiettoria dice per dove è passato il corpo. Non dice quando ci è passato, né quanto rapidamente. Manca la variabile tempo, e senza quella la descrizione del moto è muta proprio sulla domanda più interessante.
Per questo la traiettoria è solo il primo passo. Le informazioni che mancano si aggiungono una alla volta: si comincia qui, con di quanto il corpo si è spostato; poi verranno in quanto tempo e quanto rapidamente cambia la sua velocità.
Un corpo si trova nel punto P1 all'istante t1 e nel punto P2 all'istante t2. La domanda naturale è: di quanto si è spostato?
La risposta è un vettore, e si costruisce nel modo più semplice possibile: la freccia che va dalla posizione iniziale alla posizione finale.
Quel simbolo Δ ti accompagnerà per tutta la fisica, e l'ordine in cui si fa la sottrazione non è mai indifferente: prima il finale, poi l'iniziale. Invertirli inverte il verso del vettore risultante, e quindi il verso dello spostamento.
I vettori posizione s1 e s2 individuano il punto di partenza e quello di arrivo. La linea arancione è la traiettoria; il vettore spostamento Δs è invece la freccia azzurra, differenza fra i due vettori posizione: dipende solo da dove parte e dove arriva.
Guarda bene la figura, perché contiene tutto il senso di questa lezione. Il vettore spostamento non tiene conto del percorso. Non gli interessa se il corpo ha fatto una curva, se è tornato indietro, se si è fermato a metà strada. Gli interessano solo due punti: quello di partenza e quello di arrivo.
Nella simulazione Introduzione al moto puoi muovere il corpo e osservare il vettore posizione che lo insegue, mentre la traiettoria si disegna dietro di lui. Guarda in particolare che cosa succede al vettore quando il corpo passa dall'altra parte dell'origine.
Se un corpo compie più spostamenti uno dopo l'altro, lo spostamento complessivo è la somma vettoriale dei singoli spostamenti.
La somma si fa con la regola del parallelogramma oppure mettendo le frecce in fila, una dopo l'altra: la freccia che va dalla coda della prima alla punta dell'ultima è lo spostamento totale. Se le frecce formano una linea chiusa che torna al punto di partenza, lo spostamento totale è nullo.
Nella prossima lezione definiremo la velocità media a partire proprio dal vettore spostamento. Il fatto che lo spostamento abbia direzione e verso farà sì che anche la velocità sia una grandezza vettoriale.
No, mai: è la lunghezza di una freccia, cioè una distanza. Possono essere negative le sue componenti, quando il corpo si trova dalla parte opposta al verso positivo di un asse, ma il modulo resta positivo.
A 10 metri: (−6)² + 8² = 36 + 64 = 100, la cui radice è 10. Il segno meno indica solo che il corpo sta a sinistra dell'origine, e sparisce elevando al quadrato.
No. La traiettoria dice solo per quali punti sono passati. Possono averli percorsi a velocità diverse, in tempi diversi, uno fermandosi e uno no. Per descrivere il moto serve anche il tempo.
Dipende dal riferimento. Per il telaio della bicicletta è una circonferenza. Per la strada è una curva a festoni, chiamata cicloide, perché la ruota gira e contemporaneamente avanza. Stesso punto, stesso istante, due traiettorie diverse.
Resta sempre lo stesso: stesso modulo, stessa direzione, stesso verso in ogni istante. Un vettore posizione che non cambia nel tempo è esattamente la definizione di corpo in quiete in quel riferimento.
Mettendo le due frecce in fila, il vettore spostamento complessivo va dal punto di partenza a quello di arrivo: il suo modulo è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo con cateti 3 m e 4 m, quindi vale 5 m ed è diretto verso nord-est.
Perché è la convenzione che dà al risultato il verso giusto: la freccia deve puntare da dove il corpo era verso dove è arrivato. Invertendo l'ordine si otterrebbe un vettore della stessa lunghezza ma con verso opposto, che descriverebbe il viaggio al contrario.