Officina del Moto Uniforme › Parte 1 › Lo spazio iniziale s₀
Il pezzo che mancava: la legge oraria completa del moto uniforme.
La formula s = v · t vale a una condizione precisa: che all'istante t = 0 il corpo si trovi esattamente nell'origine. Ma nella maggior parte delle situazioni reali non è così.
Pensa a un'autostrada con i cartelli chilometrici. Un'automobile entra al chilometro 12 e viaggia a 30 m/s. Quando il cronometro parte, la sua posizione non è zero: è 12 km. Quella posizione di partenza si chiama spazio iniziale e si indica con s0, dove lo zero ricorda che si riferisce all'istante zero.
Letta a parole, la formula dice una cosa ovvia: la posizione attuale è la posizione di partenza più lo spazio percorso nel frattempo. Il termine v·t è il tratto coperto dall'istante zero in poi; s0 è il vantaggio che il corpo aveva già.
Attenzione a non confondere s e s0: s è la posizione in un istante qualsiasi e cambia continuamente, s0 è un numero fisso, deciso all'inizio e mai più modificato. La formula precedente, s = v·t, è semplicemente il caso particolare in cui s0 = 0.
L'effetto di s0 sul grafico spazio-tempo è netto e facile da ricordare: la retta non parte più dall'origine, ma da un punto più in alto sull'asse verticale. La sua inclinazione invece resta identica, perché la velocità non è cambiata.
Stessa velocità, spazi iniziali diversi: le rette sono parallele e il tratto rosso sull'asse verticale è proprio s₀.
Da qui nasce un modo rapidissimo di leggere un grafico spazio-tempo, che vale la pena memorizzare:
| Sul grafico | Nella formula |
|---|---|
| Il punto in cui la retta taglia l'asse verticale | s0, lo spazio iniziale |
| La pendenza della retta | v, la velocità |
| Rette parallele | Stessa velocità, s0 diversi |
| Rette che partono dallo stesso punto | Stesso s0, velocità diverse |
Un'auto entra in autostrada al km 12 e viaggia a 30 m/s. Dove si trova dopo 5 minuti?
Unità: s0 = 12 000 m, t = 300 s.
s = 12 000 + 30 · 300 = 12 000 + 9 000 = 21 000 m, cioè il chilometro 21.
Con gli stessi dati, dopo quanto tempo l'auto raggiunge il chilometro 30?
Si parte dalla legge e si isola t: 30 000 = 12 000 + 30 · t, quindi 30 · t = 18 000 e infine t = 600 s, cioè 10 minuti.
In generale: t = (s − s0) / v. Nota che al numeratore c'è la differenza fra arrivo e partenza, cioè lo spazio da percorrere, non la posizione finale.
Dividere la posizione finale per la velocità dimenticando s0: nell'esempio 2 si otterrebbe 30 000 : 30 = 1000 s, che è il tempo che l'auto avrebbe impiegato se fosse partita dal casello zero. La posizione non è lo spazio percorso: lo diventa solo quando s0 = 0.
C'è un modo intuitivo di vedere s0 che tornerà utilissimo nella Parte 2: è il vantaggio con cui un corpo comincia.
Due ciclisti partono nello stesso istante alla stessa velocità, ma uno è cento metri più avanti. Le loro leggi orarie hanno lo stesso v e s0 diversi, le loro rette sul grafico sono parallele, e il distacco fra loro resta di cento metri per sempre: chi sta dietro non recupererà mai.
Perché il secondo raggiunga il primo deve succedere qualcos'altro: deve andare più forte. Allora le due rette non sono più parallele, prima o poi si incrociano, e il punto in cui si incrociano è il momento del sorpasso. È esattamente il problema che affronteremo nella tappa cinque.
Nella simulazione Lo spazio iniziale puoi cambiare s0 e osservare la retta sollevarsi o abbassarsi mantenendo la stessa inclinazione. Prova anche a mettere un s0 negativo: significa che al tempo zero il corpo si trovava prima dell'origine, e la retta parte da sotto l'asse orizzontale.
La posizione del corpo nell'istante in cui comincia la misura del tempo. Non è uno spazio percorso: è un punto di partenza, e resta lo stesso per tutta la durata del problema.
s = 40 + 5 · 12 = 100 m. Ha percorso 60 metri, ma la sua posizione è 100 perché partiva già da 40.
La velocità, perché la pendenza è la stessa. Differiscono per lo spazio iniziale, e la distanza fra loro resta costante: non si raggiungeranno mai.
t = (440 − 200) / 8 = 240 / 8 = 30 s. Deve percorrere 240 metri, non 440: è la differenza a contare.
Che all'istante zero il corpo si trovava dalla parte opposta rispetto al verso positivo, cioè «prima» dell'origine. Non c'è nulla di strano: dipende solo da dove abbiamo deciso di mettere l'origine.