Officina del Moto › Parte 4 › Il grafico posizione-tempo
Quando la traiettoria è una retta, tutto il moto si legge in un grafico.
Fin qui abbiamo descritto il moto in generale, con vettori che possono puntare in qualunque direzione. Ora restringiamo lo sguardo al caso più semplice, quello con cui lavoreremo a lungo: il moto lungo una retta, come un treno sui binari o una biglia in una scanalatura. Qui la traiettoria è già nota, e per descrivere il moto basta un solo asse, disposto lungo la retta.
Fissiamo un'origine O, scegliamo un verso positivo (di solito verso destra) e un'unità di misura. A questo punto la posizione di un corpo è individuata da un unico numero, che indichiamo con s e che porta con sé anche un segno. Il vettore posizione, su una retta, ha una sola componente e può quindi essere rappresentato da questo numero: il valore assoluto ne dà il modulo, il segno ne indica il verso rispetto all'asse scelto.
A e B distano entrambi 3 metri dall'origine, ma si trovano in posizioni diverse: il segno della posizione dice da quale parte.
Il segno non è un dettaglio. Le posizioni −3 m e +3 m corrispondono a due punti distinti, entrambi a 3 metri di distanza dall'origine ma da parti opposte. Il numero senza segno dice quanto lontano; il segno dice da che parte.
Una posizione negativa non significa «il corpo si sta muovendo all'indietro» e nemmeno «la distanza è negativa». Le distanze non sono mai negative. Il segno riguarda soltanto la posizione rispetto all'origine nel verso che abbiamo scelto noi.
Nel moto rettilineo il vettore spostamento ha una sola componente, e tutto si riduce a una sottrazione fra due posizioni:
Qui compare una distinzione importante. Nel moto rettilineo s1 e s2 indicano le posizioni sulla retta orientata e Δs è lo spostamento. La stessa lettera s viene però spesso usata nei testi anche per indicare lo spazio percorso, cioè la lunghezza totale della strada effettivamente coperta. Il significato si riconosce dal contesto.
Se il corpo procede sempre nello stesso verso, lo spazio percorso coincide con |Δs|. Se invece torna indietro, i due valori sono diversi: lo spostamento dipende soltanto dalla posizione iniziale e finale, lo spazio percorso tiene conto di tutti i tratti percorsi.
Facciamo qualche conto su un asse orientato verso destra.
Una biglia passa dalla posizione s1 = 20 cm alla posizione s2 = 85 cm.
Δs = 85 − 20 = +65 cm. Il segno positivo dice che si è spostato nel verso positivo dell'asse, cioè verso destra.
La biglia passa da s1 = 85 cm a s2 = 20 cm.
Δs = 20 − 85 = −65 cm. Stesso modulo dello spostamento di prima, ma segno negativo: si è spostato verso sinistra. Lo spazio percorso, in entrambi i casi, è 65 cm senza segno.
La biglia va da s = 20 cm fino a s = 85 cm e poi torna indietro fino a s = 40 cm.
Spazio percorso: 65 cm all'andata più 45 cm al ritorno, in totale 110 cm.
Spostamento: Δs = 40 − 20 = +20 cm soltanto, perché conta solo dove è partito e dove è arrivato.
Questo è il caso in cui i due numeri sono più diversi fra loro, ed è quello su cui vale la pena tornare finché non è chiarissimo.
Se gli spostamenti sono più d'uno, uno dopo l'altro, su una retta basta sommarli con il loro segno. Nell'esempio 3: Δs1 = +65 cm, Δs2 = −45 cm, e la somma è +20 cm, proprio lo spostamento totale calcolato direttamente. È un buon modo per controllarsi.
Su una retta la posizione è un numero, e un numero si può mettere su un grafico. Mettiamo il tempo sull'asse orizzontale e la posizione s su quello verticale: otteniamo il grafico posizione-tempo.
Sull'asse verticale c'è la posizione del corpo in ogni istante. Lo spostamento e lo spazio percorso si ricavano dal grafico, ma non sono ciò che vi è riportato.
Partiamo dal moto vero. Il corpo si muove lungo la retta qui sotto, e ne fotografiamo la posizione a intervalli regolari, un istante ogni secondo. I punti numerati sono le posizioni occupate agli istanti 1, 2, 3 e 4 secondi.
Quattro posizioni del corpo, a un secondo di distanza l'una dall'altra. A intervalli di tempo uguali corrispondono spostamenti sempre più grandi: il corpo sta andando sempre più veloce.
Ora riportiamo gli stessi quattro punti nel grafico. Per ciascuno conosciamo due numeri: l'istante in cui il corpo ci passa e la posizione che occupa. Il primo va sull'asse orizzontale, il secondo su quello verticale. L'asse verticale del grafico è proprio la retta di sopra, messa in piedi: le posizioni 1, 2, 4 e 7 m le ritrovi lì, nello stesso ordine.
Unendo i punti con una linea continua si ottiene la curva arancione, che descrive il moto in ogni istante e non solo nei quattro fotografati. È una curva e non una retta perché la velocità non resta costante: si tratta di un moto vario.
Gli stessi quattro punti, ora con il tempo in orizzontale. La secante unisce il punto 1 e il punto 4: in Δt = 3 s il corpo si è spostato di Δs = 6 m, quindi la sua velocità media in quell'intervallo è 6 m / 3 s = 2 m/s.
La retta azzurra unisce due punti della curva: si chiama secante. Il suo dislivello verticale è lo spostamento Δs, la sua base orizzontale è Δt, e il loro rapporto è la velocità media:
A questo punto possiamo introdurre anche la velocità scalare media, che tiene conto dello spazio complessivamente percorso e non dello spostamento:
Se il corpo procede sempre nello stesso verso, lo spazio percorso coincide con |Δs| e i due valori coincidono in modulo. Se invece il corpo torna indietro, non coincidono più: la pendenza della secante continua a dare Δs / Δt, non lo spazio percorso diviso il tempo. In altre parole:
Nella lezione sulla velocità istantanea abbiamo ristretto l'intervallo di tempo sempre di più, fino a ottenere la velocità in un singolo istante. Sul grafico posizione-tempo questo passaggio diventa un disegno — probabilmente il più importante di tutta la cinematica.
Fissiamo il punto P sul grafico, quello che corrisponde all'istante che ci interessa. Prendiamo un secondo punto Q più avanti e tracciamo la secante PQ: la sua pendenza è la velocità media fra i due istanti. Adesso facciamo scivolare Q verso P.
Il punto Q scivola verso P: da Q₁ a Q₂ a Q₃. Le secanti ruotano e la loro pendenza si avvicina sempre di più a quella della tangente in P, in azzurro. Al limite, quando Q raggiunge P, la secante diventa la tangente. La curva sale sempre più ripida: il corpo va sempre più veloce, è un moto vario.
Mano a mano che Q si avvicina a P, le secanti cambiano inclinazione e si stringono attorno a una posizione limite: la retta tangente alla curva nel punto P. La sua pendenza è la velocità istantanea in quell'istante.
Da qui nasce una regola di lettura che ti servirà sempre:
Nel moto rettilineo la velocità istantanea v può essere positiva o negativa a seconda del verso. La corrispondente velocità scalare istantanea è invece il suo modulo:
No. Sono alla stessa distanza dall'origine, 5 m, ma da parti opposte: il segno della posizione dice da quale parte si trovano.
Spostamento: Δs = 15 − 10 = +5 m. Spazio percorso: 20 m all'andata più 15 m al ritorno, cioè 35 m. I due numeri sono diversi perché il corpo è tornato indietro.
È fermo: il tempo passa ma la posizione non cambia. Attenzione a non leggerlo come «il corpo si muove in orizzontale»: sul grafico non c'è lo spazio reale, ci sono posizione e tempo.
La secante scende, perché la posizione finale è minore di quella iniziale. vm = (4 − 12) / 2 = −4 m/s: il segno meno dice che il corpo si è spostato nel verso opposto a quello scelto come positivo.
La pendenza della secante dà la velocità media fra due istanti; la pendenza della tangente dà la velocità istantanea in un istante. Stesso grafico, due rette diverse, due grandezze diverse.