Officina delle Forze › Parte 1 › Il carattere vettoriale delle forze
Che cosa succede quando due forze non agiscono lungo la stessa retta: la regola punta-coda e il parallelogramma.
Nella lezione precedente abbiamo sommato forze che agivano lungo la stessa retta, e la cosa era semplice: bastava sommare o sottrarre i moduli. Ma pensa a due rimorchiatori che trainano una nave con due cavi che formano un angolo fra loro, oppure a due persone che spingono un carrello da due lati diversi. Qui la stessa retta non c'è, e la domanda si fa interessante.
Se il primo rimorchiatore tira con 3000 N e il secondo con 4000 N, la nave non viene tirata con 7000 N. Quel valore si otterrebbe solo se i due cavi fossero perfettamente paralleli e tirassero nello stesso verso. Appena c'è un angolo, parte dello sforzo di ciascun rimorchiatore va sprecata a contrastare l'altro, e la risultante è minore della somma dei moduli.
Sommare i moduli di due forze non allineate è l'errore più comune di tutta la dinamica. 3000 N + 4000 N fa 7000 N solo fra numeri: fra vettori, il risultato dipende dall'angolo e può valere qualsiasi cosa fra 1000 N e 7000 N.
Il modo più naturale di sommare due vettori è anche il più semplice da disegnare. Si traccia il primo vettore; poi si trasporta il secondo senza cambiarne né direzione né verso né lunghezza, fino a far coincidere la sua coda con la punta del primo. La risultante è la freccia che va dalla coda del primo alla punta del secondo.
Regola punta-coda: si attacca la coda di F₂ alla punta di F₁ e si chiude il triangolo.
Qui si vede subito perché i moduli non si sommano: la risultante è il terzo lato di un triangolo, e in un triangolo un lato è sempre più corto della somma degli altri due. L'unica eccezione è il caso in cui il triangolo degenera in un segmento, cioè quando le due forze sono allineate: è il caso della lezione precedente.
Esiste una seconda costruzione, che dà lo stesso risultato ed è quella che troverai più spesso sui libri. Le due forze si disegnano entrambe applicate nello stesso punto, poi da ciascuna punta si traccia la parallela all'altra: si ottiene un parallelogramma, e la risultante è la sua diagonale che parte dal punto di applicazione.
Regola del parallelogramma: la risultante è la diagonale uscente dal punto di applicazione.
Le due regole non sono in concorrenza: sono la stessa costruzione vista in due modi. Il triangolo della regola punta-coda è esattamente metà del parallelogramma. Usa quella che ti riesce più comoda: la punta-coda è più rapida quando le forze sono più di due, il parallelogramma è più chiaro quando vuoi vedere le due forze applicate nello stesso punto del corpo.
C'è un caso in cui non serve né il righello né il goniometro, perché il risultato si calcola esattamente: quello in cui le due forze formano un angolo retto. Il parallelogramma diventa un rettangolo, la diagonale diventa l'ipotenusa di un triangolo rettangolo e si applica il teorema di Pitagora.
Con forze perpendicolari la risultante si calcola esattamente: √(30² + 40²) = 50 N.
Nell'esempio del disegno: R = √(30² + 40²) = √(900 + 1600) = √2500 = 50 N. Nota che 50 N è molto meno di 70 N, che sarebbe la somma dei due moduli. La differenza è proprio la «parte sprecata» di cui parlavamo all'inizio.
Tieni fissi i moduli delle due forze e fai variare solo l'angolo α fra loro: la risultante cambia con continuità fra un valore massimo e un valore minimo. Con F1 = 30 N e F2 = 40 N si ottiene questo andamento.
| Angolo fra le due forze | Risultante | Come si ottiene |
|---|---|---|
| 0° (stesso verso) | 70 N | somma dei moduli: è il valore massimo possibile |
| 60° | circa 61 N | costruzione del parallelogramma |
| 90° | 50 N | teorema di Pitagora |
| 120° | circa 36 N | costruzione del parallelogramma |
| 180° (versi opposti) | 10 N | differenza dei moduli: è il valore minimo possibile |
La tabella dice una cosa importante: i due casi della lezione precedente non sono regole separate, sono i due estremi di un'unica regola. Con angolo zero il parallelogramma si schiaccia in un segmento e la diagonale è la somma; con angolo piatto si schiaccia dall'altra parte e la diagonale è la differenza. In mezzo c'è tutto il resto.
Riprendiamo la nave: F1 = 3000 N e F2 = 4000 N. Se i cavi formano un angolo retto, la risultante vale √(3000² + 4000²) = 5000 N, non 7000 N. Se i piloti stringono l'angolo fino ad allineare i cavi, arrivano ai 7000 N pieni: è il motivo per cui, quando si vuole il massimo effetto, si cerca sempre di tirare nella stessa direzione.
Nella simulazione Somma vettoriale di due forze puoi orientare due fili collegati allo stesso carrello e osservare la risultante che si forma. Prova a partire dai fili allineati e ad aprirli poco alla volta: vedrai la diagonale accorciarsi mentre i moduli delle due forze restano gli stessi.
R = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 N. È il classico triangolo 6-8-10, cioè il 3-4-5 raddoppiato: se lo riconosci, risparmi la calcolatrice.
No. Il massimo possibile è 20 N, che si ottiene quando le due forze sono concordi. Qualsiasi angolo diverso da zero dà un valore minore. Se in un esercizio ottieni più della somma dei moduli, hai sbagliato qualcosa.
Perché con la regola punta-coda la risultante è il terzo lato di un triangolo, e in un triangolo ogni lato è minore della somma degli altri due. L'uguaglianza vale solo quando il triangolo degenera, cioè quando le forze sono allineate e concordi.
Zero. È la condizione di equilibrio: le due forze si annullano a vicenda. È anche il valore minimo previsto dalla regola generale, cioè la differenza dei moduli, che qui è nulla.
Puoi traslarla, cioè spostarla mantenendo identiche direzione, verso e lunghezza. Quello che non puoi fare è ruotarla o accorciarla: cambieresti la forza. La traslazione serve solo a mettere la sua coda sulla punta della prima.