Officina dell'Energia › Parte 3 › Energia sui Piani Inclinati
Perché la velocità in fondo non dipende dalla pendenza.
Un corpo scivola lungo un piano inclinato liscio. Su di esso agiscono due forze: la forza peso, conservativa, e la reazione vincolare N del piano, che è una forza esterna ma è sempre perpendicolare allo spostamento.
Poiché il lavoro di N è nullo, l'unica forza che compie lavoro è il peso, che è conservativa. Quindi l'energia meccanica si conserva, esattamente come nella caduta libera. La presenza del piano non cambia nulla dal punto di vista energetico: cambia solo la traiettoria.
Se il piano è liscio, il vincolo si limita a deviare il moto. Non aggiunge né sottrae energia, perché non può spingere il corpo nella direzione in cui si muove. È il motivo per cui uno scivolo liscio, per quanto lungo e tortuoso, restituisce sempre la stessa velocità finale.
Un corpo parte fermo dalla sommità di un piano inclinato, a un'altezza hA dalla base, e scivola fino in fondo. Prendiamo la base come riferimento:
È esattamente la stessa formula della caduta libera. Nell'equazione non compare l'angolo di inclinazione.
Figura 1 — L'inclinazione non compare nell'equazione della conservazione.
La velocità finale è la stessa, ma il tempo impiegato no: sul piano dolce il corpo percorre più strada con un'accelerazione minore, quindi ci mette di più. Il principio di conservazione non dice nulla sui tempi, e per quelli serve la cinematica. Non confondere «arriva alla stessa velocità» con «arriva nello stesso istante».
Nei problemi il dato assegnato è spesso la lunghezza del piano, non l'altezza. Il legame è quello geometrico, con α l'inclinazione rispetto all'orizzontale:
Sostituendo nella conservazione si ottiene la forma più usata nei problemi:
Il passaggio più sicuro è calcolare il dislivello h come primo passo, scriverlo a parte, e poi lavorare con h. Confondere s con h è l'errore più frequente in questi problemi, e mantenere separati i due passaggi lo previene.
Se il corpo arriva alla base con velocità vA e risale il piano liscio, l'energia cinetica si trasforma in potenziale finché il corpo si ferma:
Anche qui l'altezza raggiunta non dipende dall'inclinazione. Quello che cambia è lo spazio percorso lungo il piano, che vale s = hB / senα: su un piano dolce il corpo va molto più lontano, ma si ferma sempre alla stessa quota.
Se il piano è liscio, il corpo ridiscende e torna alla base con la stessa velocità vA con cui era partito: l'energia meccanica si conserva e la quota è la stessa.
Con velocità iniziale e quote entrambe diverse da zero, la relazione generale è:
Semplificando la massa, che compare in ogni termine:
Un carrello parte fermo e scende lungo un piano inclinato liscio lungo 6,0 m, inclinato di 25° sull'orizzontale. Con quale velocità arriva in fondo?
h = 6,0 · sen 25° = 6,0 · 0,423 = 2,54 m
v = √(2 · 9,8 · 2,54) = √49,8 = 7,1 m/s
Lo stesso carrello scende da una quota di 2,54 m lungo un piano inclinato di 45°. Con quale velocità arriva?
v = √(2 · 9,8 · 2,54) = 7,1 m/s, identica.
Cambia la lunghezza del percorso: s = 2,54 : sen 45° = 3,6 m invece di 6,0 m. Strada più corta, accelerazione maggiore, stessa velocità finale, tempo minore.
Una pallina arriva alla base di un piano inclinato liscio di 20° con velocità 5,0 m/s e risale. Quanto sale in verticale e quanto spazio percorre lungo il piano?
hB = v² / (2 g) = 25 : 19,6 = 1,28 m
s = hB / sen 20° = 1,28 : 0,342 = 3,7 m
Un blocco entra in una discesa a 3,0 m/s e scende di 4,0 m in verticale lungo un piano liscio. Con quale velocità arriva in fondo?
g hA + ½ vA² = ½ vB²
vB² = 2 · 9,8 · 4,0 + 9,0 = 78,4 + 9,0 = 87,4
vB = 9,3 m/s
Se il piano presenta attrito, la reazione vincolare genera una forza di attrito non conservativa, il cui lavoro va inserito nel bilancio. Con α l'inclinazione rispetto all'orizzontale, la reazione vincolare vale N = m · g · cosα e quindi:
Ora l'inclinazione compare nell'equazione, e la velocità finale dipende dalla pendenza: a parità di dislivello, un piano più dolce richiede un percorso più lungo e quindi dissipa più energia. La trattazione completa è nella lezione Quando c'è l'Attrito.
Perché l'energia potenziale dipende solo dal dislivello e la reazione vincolare non compie lavoro. L'inclinazione influenza l'accelerazione e quindi il tempo, ma non il bilancio energetico.
Arrivano alla stessa velocità, √(2 · 9,8 · 3,0) = 7,7 m/s, se non c'è attrito. Il primo però impiega il doppio del tempo, perché la sua accelerazione è g · sen30° = g/2.
Raggiungono la stessa quota, 0,82 m. Sul piano dolce la pallina percorre però molta più strada lungo il piano prima di fermarsi.
h = 8,0 · sen 15° = 2,07 m; v = √(2 · 9,8 · 2,07) = 6,4 m/s.
Conviene quello ripido: il percorso è più corto, quindi l'attrito ha meno spazio per dissipare energia. Sul piano dolce, inoltre, cosα è più grande e la forza di attrito è più intensa. Entrambi gli effetti vanno nella stessa direzione.