Officina dell'Energia › Parte 3 › Piano Inclinato con Molla
Tre forme di energia che si scambiano il ruolo.
Un corpo di massa m parte da fermo sulla sommità di un piano inclinato liscio e scivola verso il basso. Alla base del piano è fissata una molla di costante elastica k. Il corpo la raggiunge, la comprime, rallenta, si ferma per un istante, e poi viene rilanciato indietro.
È la situazione più ricca di tutto il percorso, perché entrano in gioco tutte e tre le forme di energia meccanica.
Figura 1 — Dalla sommità alla molla: prima l'energia potenziale diventa cinetica, poi entrambe diventano elastica.
| Fase | Che cosa succede | Trasformazione |
|---|---|---|
| 1. Discesa libera | Il corpo scende fino a toccare la molla, accelerando | Ugrav → Ec |
| 2. Compressione | Il corpo continua a scendere comprimendo la molla, e rallenta fino a fermarsi | Ec + Ugrav → Ue |
| 3. Rilancio | La molla si distende e rispedisce il corpo verso l'alto | Ue → Ec + Ugrav |
Nella fase 2 la velocità non comincia subito a diminuire. All'inizio la molla è poco compressa e la sua forza è più debole della componente del peso lungo il piano: il corpo continua ad accelerare. Solo quando la forza elastica supera m · g · senα il corpo comincia a rallentare. La velocità massima si raggiunge quindi dentro la molla, non al momento del contatto.
Se il piano è liscio, tutte le forze che compiono lavoro sono conservative (peso ed elastica) e l'energia meccanica si conserva. Confrontiamo direttamente lo stato iniziale A, con il corpo fermo in alto, e lo stato B di massima compressione, in cui il corpo è di nuovo fermo:
Se il corpo parte da fermo, il termine cinetico sparisce e resta:
Questa scrittura è corretta a una condizione: che hA sia misurata rispetto alla posizione finale del corpo, cioè a molla completamente compressa. Con quella scelta il livello di riferimento coincide con il punto in cui il corpo si ferma, e l'energia potenziale gravitazionale finale è zero.
Se invece prendi come riferimento il punto in cui il corpo tocca la molla scarica, durante la compressione il corpo scende ancora di xB lungo il piano, cioè di xB · senα in verticale. Il bilancio corretto diventa allora:
m g hA + m g xB senα + ½ m vA² = ½ k xB²
È un'equazione di secondo grado in xB: corretta, ma inutilmente laboriosa. Mettere il riferimento nella posizione finale è quasi sempre la scelta migliore.
La molla compressa contiene ora tutta l'energia meccanica del sistema. Distendendosi la restituisce interamente al corpo, che riparte verso l'alto.
Se il piano è perfettamente liscio e la molla ideale, il corpo risale esattamente fino alla quota di partenza: l'energia meccanica non è cambiata, quindi quando l'energia cinetica torna a essere nulla anche l'energia potenziale deve valere quanto all'inizio. Il moto si ripete indefinitamente, avanti e indietro.
Basta un po' di attrito e il corpo risale meno di quanto era sceso, e a ogni passaggio un po' meno, fino a fermarsi. In quel caso al bilancio va aggiunto il termine − kd · m · g · cosα · s, con s la lunghezza effettivamente percorsa lungo il piano in ciascuna fase: è la trattazione della lezione sulle forze non conservative.
Un blocco di 2,0 kg parte fermo da un'altezza di 0,90 m sopra la posizione in cui si fermerà, lungo un piano inclinato liscio. In fondo trova una molla con k = 800 N/m. Di quanto la comprime? (g = 9,8 m/s²)
m g hA = 2,0 · 9,8 · 0,90 = 17,64 J
17,64 = ½ · 800 · xB² → xB² = 0,0441
xB = 0,21 m = 21 cm
Lo stesso blocco viene lanciato verso il basso a 3,0 m/s dalla stessa posizione. Quanto si comprime ora la molla?
EA = 17,64 + ½ · 2,0 · 9,0 = 17,64 + 9,0 = 26,64 J
26,64 = 400 · xB² → xB² = 0,0666
xB = 0,26 m = 26 cm
L'energia è aumentata del 51%, la compressione solo del 23%: il quadrato nella formula elastica smorza l'effetto.
Nell'Esempio 1, con quale velocità il blocco ripassa dalla posizione in cui la molla è di nuovo scarica? La molla scarica si trova 0,21 m più in alto lungo il piano, inclinato di 30°.
Quota della molla scarica rispetto al riferimento: 0,21 · sen 30° = 0,105 m
E totale = 17,64 J = m g h + ½ m v² = 2,0 · 9,8 · 0,105 + 1,0 · v²
17,64 = 2,06 + v² → v² = 15,58 → v = 3,9 m/s
Una molla con k = 500 N/m, compressa di 12 cm, lancia in salita lungo un piano liscio di 20° un carrello di 0,80 kg. Quanto sale in verticale? Quanto percorre lungo il piano? (Misura le quote dalla posizione iniziale del carrello.)
Ue = ½ · 500 · 0,12² = 3,6 J
3,6 = m g h → h = 3,6 : (0,80 · 9,8) = 0,46 m
s = h / sen 20° = 0,46 : 0,342 = 1,3 m
In un sistema con gravità e molla, l'energia meccanica in un punto qualsiasi è la somma di tre termini, ciascuno dei quali può essere nullo:
| Stato del corpo | Ec | Ugrav | Ue |
|---|---|---|---|
| Fermo in alto, lontano dalla molla | 0 | massima | 0 |
| In movimento, appena tocca la molla | grande | piccola | 0 |
| Fermo, massima compressione | 0 | 0 (con riferimento qui) | massima |
| In risalita, molla di nuovo scarica | grande | piccola | 0 |
Perché all'inizio la forza elastica è piccola, minore della componente del peso lungo il piano: la risultante è ancora diretta verso il basso e il corpo accelera. Il rallentamento comincia solo quando k · x supera m g senα.
Si comprime meno, perché x = √(2E/k). L'energia immagazzinata è la stessa, ma serve meno deformazione per accumularla.
Perché in quel punto sia l'energia cinetica sia l'energia potenziale gravitazionale sono nulle: resta un solo termine a destra dell'uguale, e l'equazione si risolve direttamente senza diventare di secondo grado.
m g h = 1,5 · 9,8 · 0,60 = 8,82 J = ½ k · 0,15² = 0,01125 k → k = 784 N/m.
No, risale meno: l'attrito ha dissipato energia sia in discesa sia in risalita. A ogni oscillazione l'ampiezza si riduce, finché il corpo si ferma.